Nombres complexes

Ce chapitre sur les nombres complexes est une composante essentielle du programme de mathématiques du 2ème Bac PC au Maroc. Il représente une part significative de l'évaluation en Algèbre et Géométrie, ainsi que dans la section Nombres complexes et Probabilités. La maîtrise de ce chapitre est cruciale pour aborder des concepts plus avancés et pour résoudre des problèmes variés en mathématiques.

L'intuition

Khoya, tkhayel m3aya kan kayn ghir les nombres réels, b7al 0, 1, -2, $\sqrt{3}$... Mais chi marrat, kaytla3 lik chi problème ma3andouch 7al f had les nombres. B7al ila golna $x^2 = -1$. F les réels, ma kaynch chi 3adad ila rba3tih kay3tik -1. Hna فين kaydkhlo les nombres complexes.

C'est comme ila kenti katla3 f drroj (les réels), mais chi marrat khassek tdor (le plan complexe) bach twsel. Had "i" li kayban f les complexes, rah machi ghir ghir chi 7aja abstract, rah howa li kaykhalik tdor f le plan.

Le cours

I. L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$

1. Définition et forme algébrique

Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, qui contient $\mathbb{R}$ et possède un élément noté $i$ tel que $i^2 = -1$. Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels.

• $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.

Vocabulaire :

• Si $y = 0$, $z = x$ est un nombre réel.
• Si $x = 0$, $z = iy$ est un nombre imaginaire pur.

2. Opérations dans $\mathbb{C}$

Les règles de calcul dans $\mathbb{C}$ sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$, en remplaçant $i^2$ par $-1$. Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ deux nombres complexes.

• Addition : $z + z' = (x + x') + i(y + y')$
• Soustraction : $z - z' = (x - x') + i(y - y')$
• Multiplication : $z \cdot z' = (x + iy)(x' + iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy' = (xx' - yy') + i(xy' + yx')$
• Division : Pour $z' \neq 0$, $\frac{z}{z'} = \frac{x + iy}{x' + iy'} = \frac{(x + iy)(x' - iy')}{(x' + iy')(x' - iy')} = \frac{xx' + yy' + i(yx' - xy')}{x'^2 + y'^2} = \frac{xx' + yy'}{x'^2 + y'^2} + i\frac{yx' - xy'}{x'^2 + y'^2}$

3. Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre complexe $\bar{z} = x - iy$.

Propriétés du conjugué : Soient $z, z' \in \mathbb{C}$.

• $\overline{\bar{z}} = z$
• $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$
• $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$
• $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2$ (nombre réel positif)
• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
• $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$
• $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ (pour $z' \neq 0$)
• $z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}$
• $z$ est imaginaire pur $\iff z = -\bar{z}$

4. Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre réel positif $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Géométriquement, $|z|$ représente la distance du point $M(z)$ à l'origine $O$ dans le plan complexe.

Propriétés du module : Soient $z, z' \in \mathbb{C}$.

• $|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$
• $|z| = |\bar{z}| = |-z|$
• $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$
• $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ (pour $z' \neq 0$)
• $|z + z'| \le |z| + |z'|$ (inégalité triangulaire)

II. Forme trigonométrique et exponentielle

1. Argument d'un nombre complexe non nul

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe non nul. On peut le représenter par un point $M(x, y)$ dans le plan complexe. L'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est une mesure de l'angle $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$, où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses. L'argument est défini à $2\pi$ près. On écrit $\arg(z) = \theta \pmod{2\pi}$.

On a $x = |z|\cos\theta$ et $y = |z|\sin\theta$. Donc $\cos\theta = \frac{x}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{y}{|z|}$.

2. Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, où $r = |z|$ est le module et $\theta = \arg(z)$ est un argument. C'est la forme trigonométrique.

3. Forme exponentielle

On définit $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Ainsi, la forme trigonométrique devient $z = re^{i\theta}$. C'est la forme exponentielle.

Propriétés de la forme exponentielle : Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes non nuls.

• Produit : $z \cdot z' = (rr')e^{i(\theta + \theta')}$
  • $|z \cdot z'| = rr'$
  • $\arg(z \cdot z') = \theta + \theta' \pmod{2\pi}$
• Quotient : $\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')}$
  • $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{r}{r'}$
  • $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \theta - \theta' \pmod{2\pi}$
• Puissance : $z^n = r^n e^{in\theta}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ (Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$)
• Conjugué : $\bar{z} = re^{-i\theta}$

III. Équations dans $\mathbb{C}$

1. Équations du second degré à coefficients réels

Pour résoudre l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta > 0$, les solutions sont réelles : $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$, il y a une solution réelle double : $z_0 = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, les solutions sont complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

2. Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soit $Z = Re^{i\Phi}$ un nombre complexe non nul. Les racines n-ièmes de $Z$ sont les nombres complexes $z = re^{i\theta}$ tels que $z^n = Z$. On a $r^n = R \implies r = \sqrt[n]{R}$ (racine réelle positive). Et $n\theta = \Phi + 2k\pi \implies \theta = \frac{\Phi + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$. Il y a $n$ racines n-ièmes distinctes.

IV. Nombres complexes et géométrie

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. À tout point $M(x, y)$ du plan, on associe son affixe $z = x + iy$. À tout vecteur $\overrightarrow{AB}$, on associe son affixe $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$.

1. Interprétation géométrique du module et de l'argument

• La distance entre deux points $A$ et $B$ d'affixes $z_A$ et $z_B$ est $AB = |z_B - z_A|$.
• L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.
• L'argument de $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \pmod{2\pi}$.

2. Transformations du plan

• Translation de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $z_{\vec{w}}$ : $M'(z')$ est l'image de $M(z)$ par la translation si $z' = z + z_{\vec{w}}$.
• Homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $z_\Omega$ et de rapport $k$ : $M'(z')$ est l'image de $M(z)$ par l'homothétie si $z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)$.
• Rotation de centre $\Omega$ d'affixe $z_\Omega$ et d'angle $\alpha$ : $M'(z')$ est l'image de $M(z)$ par la rotation si $z' - z_\Omega = e^{i\alpha}(z - z_\Omega)$.

Exemple résolu

Extrait d'annale: Exercice 2: (3 points)

1. a) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 -3z+3=0$ b) On pose $a =-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, écrire $a$ sous forme trigonométrique.
2. On considère le nombre complexe $b = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$, vérifier que $b^2 = i$.
3. On pose $h = \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}$, montrer que $h^4 +1 = a$.

Solution détaillée:

1. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 -3z+3=0$ C'est une équation du second degré de la forme $az^2+bz+c=0$ avec $a=1, b=-3, c=3$. On calcule le discriminant $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Puisque $\Delta < 0$, les solutions sont complexes conjuguées: $z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) \pm i\sqrt{-(-3)}}{2(1)} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$. Donc les solutions sont $z_1 = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. b) Écrire $a = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ sous forme trigonométrique. D'abord, calculons le module de $a$: $|a| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$. Ensuite, cherchons l'argument $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{\text{Re}(a)}{|a|}$ et $\sin\theta = \frac{\text{Im}(a)}{|a|}$. $\cos\theta = \frac{-3/2}{\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. L'angle $\theta$ qui satisfait ces conditions est $\theta = \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$. Donc, la forme trigonométrique de $a$ est $a = \sqrt{3}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$.

3. Vérifier que $b^2 = i$ pour $b = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$. $b^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (1+i)^2 = \frac{2}{4} (1^2 + 2i + i^2) = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) = \frac{1}{2} (2i) = i$. Donc, $b^2 = i$.

4. Montrer que $h^4 + 1 = a$ avec $h = \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}$. On peut écrire $h$ sous forme exponentielle : $h = e^{i\frac{\pi}{12}}$. En utilisant la formule de Moivre (ou les propriétés de la forme exponentielle) : $h^4 = (e^{i\frac{\pi}{12}})^4 = e^{i\frac{4\pi}{12}} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. Convertissons $e^{i\frac{\pi}{3}}$ en forme algébrique : $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Maintenant, calculons $h^4 + 1$: $h^4 + 1 = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = \frac{1}{2} + 1 + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. On compare ce résultat avec $a = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de l'annale ou dans ma retranscription, car $h^4+1 \neq a$. Si l'énoncé était $h^4 = a$, alors $e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $a = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ces deux nombres ne sont pas égaux. Correction de l'énoncé pour que l'égalité soit vraie : Si $a$ était défini comme $a = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, alors $h^4+1 = a$ serait vrai. Ou si l'énoncé demandait de montrer $h^4+1 = \bar{a}$ (le conjugué de $a$ tel que défini). En l'état, avec $a = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, l'affirmation $h^4+1 = a$ est fausse. Assumons que l'énoncé voulait $h^4+1 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $h^4+1 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

La méthode

Pour réussir les exercices sur les nombres complexes, une approche structurée est essentielle.

1. Identifier la forme la plus adaptée | Si l'exercice implique des additions/soustractions, privilégier la forme algébrique. Pour les multiplications/divisions/puissances, la forme trigonométrique ou exponentielle est plus efficace.
2. Calculer avec rigueur | Appliquer les propriétés des opérations, du conjugué, du module et de l'argument avec précision. Ne pas oublier $i^2 = -1$.
3. Interpréter géométriquement | Utiliser les affixes pour traduire les propriétés géométriques (distances, angles, alignement, nature de figures).
4. Vérifier la cohérence | Après chaque étape de calcul, s'assurer que le résultat est plausible et cohérent avec les données de l'énoncé.

Pièges classiques

Khoya, wa7ed l'erreur li kaydiroha bzaf hiya kaykhalto bin les propriétés dyal le module w l'argument.

Had l'erreur kaytla3 lik f les calculs dyal les distances w kaykhroj lik kolchi ghalat. Dima 39el, le module d'une somme machi la somme des modules.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les nombres complexes sont très récurrentes et suivent des schémas précis. Voici les formats les plus fréquents et leur barème typique:

• Résolution d'équations du second degré dans $\mathbb{C}$

  • Calcul du discriminant $\Delta$. | 0.25 pt
  • Application de la formule des solutions. | 0.25 pt
  • Écriture des solutions. | 0.25 pt (Total: 0.75 pt)

• Passage d'une forme à l'autre (algébrique, trigonométrique, exponentielle)

  • Calcul du module. | 0.25 pt
  • Calcul de l'argument (avec $\cos\theta$ et $\sin\theta$). | 0.25 pt
  • Écriture sous la forme demandée. | 0.25 pt (Total: 0.75 pt)

• Calcul de puissances de nombres complexes (Formule de Moivre)

  • Mise sous forme trigonométrique/exponentielle. | 0.25 pt
  • Application de la formule de Moivre. | 0.25 pt
  • Retour à la forme algébrique si demandé. | 0.25 pt (Total: 0.75 pt)

• Interprétation géométrique (affixes, distances, angles)

  • Calcul de l'affixe d'un vecteur ou d'un point. | 0.25 pt
  • Calcul d'un module pour une distance. | 0.25 pt
  • Calcul d'un argument pour un angle ou alignement. | 0.25 pt
  • Conclusion géométrique (nature d'un triangle, alignement, etc.). | 0.25 pt (Total: 1 pt)

• Transformations du plan (translation, rotation, homothétie)

  • Écriture de l'expression complexe de la transformation. | 0.25 pt
  • Calcul de l'affixe de l'image d'un point. | 0.25 pt
  • Démonstration d'une propriété liée à la transformation. | 0.5 pt (Total: 1 pt)