Équations différentielles

Ce chapitre est crucial en analyse et te prépare à des concepts plus avancés. Il représente une part non négligeable de l'examen, donc maîtrise bien les méthodes de résolution.

L'intuition

Imagine que tu es en train de conduire une voiture. La vitesse à laquelle tu roules n'est pas constante, elle change en fonction du temps. Si tu veux savoir où tu seras dans 10 minutes, tu as besoin de connaître ta vitesse actuelle, mais aussi comment cette vitesse va évoluer. C'est exactement ce que font les équations différentielles : elles décrivent comment une quantité change en fonction d'une autre.

En physique, par exemple, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. L'accélération est la dérivée de la vitesse (donc la dérivée seconde de la position). Les équations différentielles nous permettent de relier ces quantités et de prédire le mouvement d'un objet.

Pour ce chapitre, on va se concentrer sur des cas spécifiques, un peu comme si on étudiait le mouvement d'une voiture sur une route droite avec une accélération constante ou un freinage proportionnel à la vitesse. On ne va pas chercher à résoudre n'importe quelle équation, mais celles qui ont une forme bien particulière et qui sont très fréquentes.

Le cours

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue, ses dérivées et la variable. Dans ce chapitre, on se limite aux équations différentielles linéaires.

Équations différentielles linéaires du premier ordre : $y' = ay + b$

Ces équations sont de la forme $y'(x) = a y(x) + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $y$ est une fonction de $x$ dérivable sur un intervalle $I$.

Cas particulier : $y' = ay$

C'est le cas le plus simple où $b=0$.

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $y(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.

Démonstration : Soit $y$ une solution de $y' = ay$. Si $y(x) = 0$ pour tout $x$, alors $y'(x) = 0$ et $a y(x) = 0$, donc $y(x) = 0 e^{ax}$ est une solution. Supposons qu'il existe $x_0$ tel que $y(x_0) \neq 0$. Considérons la fonction $h(x) = \frac{y(x)}{e^{ax}} = y(x) e^{-ax}$. $h'(x) = y'(x) e^{-ax} + y(x) (-a e^{-ax})$ $h'(x) = (ay(x)) e^{-ax} - a y(x) e^{-ax}$ (car $y' = ay$) $h'(x) = a y(x) e^{-ax} - a y(x) e^{-ax} = 0$. Puisque $h'(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$, $h(x)$ est une fonction constante. Soit $C$ cette constante. Donc $y(x) e^{-ax} = C$, ce qui implique $y(x) = C e^{ax}$. Réciproquement, si $y(x) = C e^{ax}$, alors $y'(x) = C a e^{ax} = a (C e^{ax}) = a y(x)$. Donc $y(x) = C e^{ax}$ est bien une solution.

Cas général : $y' = ay + b$

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sur $\mathbb{R}$ (avec $a \neq 0$) sont les fonctions de la forme $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.

Démonstration : On cherche une solution particulière constante $y_p(x) = k$. Alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation : $0 = ak + b$, d'où $k = -\frac{b}{a}$. Donc $y_p(x) = -\frac{b}{a}$ est une solution particulière. Soit $y_g(x)$ la solution générale de l'équation homogène $y' = ay$. On sait que $y_g(x) = C e^{ax}$. La solution générale de $y' = ay + b$ est la somme de la solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène : $y(x) = y_g(x) + y_p(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$. Vérifions : $y'(x) = C a e^{ax}$. $a y(x) + b = a (C e^{ax} - \frac{b}{a}) + b = a C e^{ax} - b + b = a C e^{ax}$. Donc $y'(x) = a y(x) + b$.

Condition initiale

Pour déterminer la constante $C$, on utilise une condition initiale, par exemple $y(x_0) = y_0$. On remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ dans la solution générale pour trouver $C$.

Équations différentielles linéaires du second ordre : $y'' + ay' + by = 0$

Ces équations sont de la forme $y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $y$ est une fonction de $x$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

Pour résoudre ce type d'équation, on utilise l'équation caractéristique.

Équation caractéristique

L'équation caractéristique associée à $y'' + ay' + by = 0$ est $r^2 + ar + b = 0$. C'est une équation du second degré dont les racines $r_1$ et $r_2$ déterminent la forme de la solution générale.

On calcule le discriminant $\Delta = a^2 - 4b$.

Cas 1 : $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$)

Propriété : Si $\Delta > 0$, les solutions de $y'' + ay' + by = 0$ sont de la forme $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Cas 2 : $\Delta = 0$ (une racine réelle double $r_0$)

Propriété : Si $\Delta = 0$, la racine double est $r_0 = -\frac{a}{2}$. Les solutions de $y'' + ay' + by = 0$ sont de la forme $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Cas 3 : $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$)

Propriété : Si $\Delta < 0$, les racines sont $r_1 = \frac{-a - i\sqrt{-\Delta}}{2} = \alpha - i\beta$ et $r_2 = \frac{-a + i\sqrt{-\Delta}}{2} = \alpha + i\beta$, avec $\alpha = -\frac{a}{2}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$. Les solutions de $y'' + ay' + by = 0$ sont de la forme $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

Conditions initiales

Pour déterminer les constantes $C_1$ et $C_2$, on a besoin de deux conditions initiales, par exemple $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$. On substitue ces conditions dans la solution générale et sa dérivée pour former un système de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "On considère l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$.

1. a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$."

1) a) Résolution de $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$

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   Étape 1 : Écrire l'équation caractéristique.

   L'équation caractéristique associée à $y'' - 3y' + 2y = 0$ est $r^2 - 3r + 2 = 0$.

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   Étape 2 : Calculer le discriminant $\Delta$.

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   Étape 3 : Trouver les racines de l'équation caractéristique.

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   Étape 4 : Écrire la solution générale.

Étape suivante

1) b) Déterminer la solution $g$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$

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   Étape 1 : Écrire la solution générale et sa dérivée.

   On a $g(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$. La dérivée est $g'(x) = C_1 e^x + 2 C_2 e^{2x}$.

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   Étape 2 : Appliquer la première condition initiale.

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   Étape 3 : Appliquer la deuxième condition initiale.

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   Étape 4 : Résoudre le système d'équations pour trouver $C_1$ et $C_2$.

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   Étape 5 : Écrire la solution particulière.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

Pour $y' = ay + b$

1. Identifier $a$ et $b$.
2. Si $a=0$ : L'équation devient $y' = b$. La solution générale est $y(x) = bx + C$.
3. Si $a \neq 0$ :
   • Trouver la solution particulière constante : $y_p = -\frac{b}{a}$.
   • Écrire la solution générale de l'équation homogène ($y' = ay$) : $y_h(x) = C e^{ax}$.
   • Combiner pour la solution générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
4. Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée :
   • Substituer $x_0$ et $y_0$ dans la solution générale pour trouver $C$.

Pour $y'' + ay' + by = 0$

1. Écrire l'équation caractéristique : $r^2 + ar + b = 0$.
2. Calculer le discriminant $\Delta = a^2 - 4b$.
3. Analyser les cas :
   • Si $\Delta > 0$ : Deux racines réelles distinctes $r_1 = \frac{-a - \sqrt{\Delta}}{2}$ et $r_2 = \frac{-a + \sqrt{\Delta}}{2}$. La solution générale est $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
   • Si $\Delta = 0$ : Une racine réelle double $r_0 = -\frac{a}{2}$. La solution générale est $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$.
   • Si $\Delta < 0$ : Deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha - i\beta$ et $r_2 = \alpha + i\beta$, avec $\alpha = -\frac{a}{2}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$. La solution générale est $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.
4. Si des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ sont données :
   • Dériver la solution générale pour obtenir $y'(x)$.
   • Substituer les conditions initiales dans $y(x)$ et $y'(x)$ pour former un système de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$).
   • Résoudre le système pour trouver $C_1$ et $C_2$.

Pièges classiques

• Erreurs de signe : Surtout dans le calcul du discriminant ou la détermination de $\alpha$ et $\beta$. Une erreur de signe peut changer complètement la nature des racines et donc la forme de la solution.
• Oubli de la constante $C$ (ou $C_1, C_2$) : La solution générale doit toujours contenir les constantes d'intégration. Sans elles, la solution n'est pas complète.
• Mauvaise application des conditions initiales : Il faut bien substituer les valeurs de $x_0$ et $y_0$ (et $y'_0$) aux bons endroits. Pour les équations du second ordre, n'oublie pas de dériver la solution générale avant d'appliquer la condition sur $y'$.
• Confondre $\Delta$ et $-\Delta$ : Dans le cas $\Delta < 0$, $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$, pas $\sqrt{\Delta}$.
• Calculs d'exponentielles et de trigonométrie : $e^0 = 1$, $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$. Ces valeurs sont souvent utilisées avec $x_0=0$.

Ce qui tombe à l'examen

Les équations différentielles sont presque toujours présentes dans la partie "Analyse" de l'examen national. Elles sont souvent intégrées dans un exercice plus large, par exemple après une étude de fonction ou avant un calcul d'intégrale.

Format des questions réelles :

• Résolution directe : "Résoudre l'équation différentielle $(E): y' = ay + b$" ou "Résoudre l'équation différentielle $(E): y'' + ay' + by = 0$". C'est l'application directe des formules du cours.
• Détermination de solution particulière : "Déterminer la solution $g$ de $(E)$ vérifiant $g(x_0) = y_0$ (et $g'(x_0) = y'_0$ pour le second ordre)". Cela implique de résoudre un système d'équations pour trouver les constantes.
• Questions liées à d'autres chapitres : Parfois, la solution d'une équation différentielle est une fonction qui doit ensuite être étudiée (limites, dérivée, variations, courbe représentative) ou intégrée.

Barème : Généralement, la résolution d'une équation différentielle est notée sur 1 à 2 points. La détermination de la solution particulière avec conditions initiales ajoute 0.5 à 1 point. La rigueur de la rédaction et la justification de chaque étape sont essentielles pour obtenir tous les points.