Montrer que deux événements sont indépendants

À tenir avant

• Utiliser une probabilité conditionnelle

Cette méthode au national

Questions de type Bac qui demandent cette méthode.

• TYPE BAC2 pts
  On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ trois fois de suite. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois le nombre $6$.
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  $\binom{3}{2}\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)=\dfrac{5}{72}$

  ce que le barème veut ·

  À chaque lancer, la probabilité d'obtenir $6$ est $p=\dfrac16$. Les lancers sont indépendants. La probabilité d'obtenir exactement $2$ succès en $3$ essais est : $\binom{3}{2}p^2(1-p)$. Donc $\binom{3}{2}\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)=3\times\dfrac{1}{36}\times\dfrac56=\dfrac{5}{72}$.
• TYPE BAC2 pts
  On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ tels que $P(A)=\frac{2}{5}$ et $P(B)=\frac{3}{4}$. Calculer $P(A\cap B)$.
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  Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$.

  ce que le barème veut · Appliquer directement la définition de l'indépendance.
• TYPE BAC2 pts
  On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. Soient $A$ : « obtenir Face au premier lancer » et $B$ : « obtenir Face au deuxième lancer ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
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  Oui, $A$ et $B$ sont indépendants.

  ce que le barème veut ·

  On a $P(A)=\dfrac12$, $P(B)=\dfrac12$ et $P(A\cap B)=\dfrac14$. Or $P(A)P(B)=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$. Donc $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ainsi $A$ et $B$ sont indépendants.