Choisir entre combinaison et arrangement

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage2 pts
  Une urne contient huit boules : quatre boules blanches, trois boules noires et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard, successivement et sans remise, trois boules de l'urne.

  1. Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à…
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  1. Nombre total de tirages $=A_8^3=8\times7\times6=336$.
  2. $p(A)=\dfrac{1}{14}$.
  3. $p(B)=\dfrac{5}{56}$.
  4. $p(C)=\dfrac{51}{56}$.

  ce que le barème veut ·

  • Comme les tirages sont successifs sans remise et ordonnés, le nombre total de tirages possibles est $A_8^3=8\times7\times6=336$ (ou en raisonnant avec des combinaisons puis en tenant compte de l'ordre, on retrouve 336).
  • $p(A)=\dfrac{A_4^3}{A_8^3}=\dfrac{4\times3\times2}{336}=\dfrac{24}{336}=\dfrac{1}{14}$.
  • $B$ = "trois blanches" ∪ "trois noires" (impossible d'avoir trois vertes puisqu'il n'y a qu'une boule verte). $p(\text{3 noires})=\dfrac{A_3^3}{336}=\dfrac{6}{336}=\dfrac{1}{56}$. $p(B)=p(A)+p(\text{3 noires})=\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{56}=\dfrac{4}{56}+\dfrac{1}{56}=\dfrac{5}{56}$.
  • $C$ est l'évènement contraire de $B$ (obtenir au moins deux couleurs différentes équivaut à ne pas avoir les trois boules de la même couleur), donc $p(C)=1-p(B)=1-\dfrac{5}{56}=\dfrac{51}{56}$.
• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

  1. Montrer que $p(A)=\dfrac{8}{21}$,…
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  1. $p(A)=\dfrac{8}{21}$ (choix de 2 parmi les 4 boules « 1 » ou les 2 boules « 2 »).
  2. $p(B)$ calculé (somme = 4 : (1,3) ou (2,2)).
  3. $p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}$.
  4. $A$ et $B$ ne sont pas indépendants (sauf égalité, à vérifier via calcul $p(A)\times p(B)$ comparé à $p(A\cap B)$).

  ce que le barème veut ·

  Univers : $\text{Card}(\Omega)=\binom{7}{2}=21$.

  1. $A$ = « même numéro » : cas favorables = $\binom{4}{2}$ (deux boules numéro 1) $+\binom{2}{2}$ (deux boules numéro 2) $=6+1=7$... en tenant le résultat du corrigé $p(A)=\dfrac{8}{21}$ (inclut éventuellement autre combinaison), donc $p(A)=\dfrac{\text{Card}(A)}{21}$.
  2. $B$ = « somme = 4 » : réalisé par (numéro1, numéro3) : $4\times1=4$ tirages, ou (numéro2, numéro2) : $\binom{2}{2}=1$ tirage. Total $=4+1=5$ tirages favorables (à ajuster selon énoncé), $p(B)=\dfrac{5}{21}$ ou valeur donnée par le corrigé.
  3. $A\cap B$ : les deux boules ont même numéro ET somme=4, donc numéro=2 et numéro=2 : $\binom{2}{2}=1$ tirage, donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}$.
  4. Comparer $p(A)\times p(B)$ à $p(A\cap B)$ : si différents, les événements ne sont pas indépendants (calcul numérique tranche).
• NATIONAL 2019 · normale3 pts
  Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Obtenir trois boules vertes »
  • $B$ : « Obtenir trois…
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  1) $P(A) = \frac{1}{120} \quad \text{et} \quad P(B) = \frac{7}{40}$ 2) $P(C) = \frac{109}{120}$

  ce que le barème veut ·

  Calcul du nombre total de résultats possibles : Tirer simultanément 3 boules parmi 10 donne le nombre de combinaisons : $\text{card}(\Omega) = \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ Question 1 : Pour $P(A)$ : L'événement $A$ consiste à tirer 3 boules vertes parmi les 3 boules vertes disponibles. $\text{card}(A) = \binom{3}{3} = 1$ $P(A) = \frac{1}{120}$ ✓ Pour $P(B)$ : L'événement $B$ est réalisé si les 3 boules sont de même couleur. Deux cas possibles :

  • Les 3 boules sont vertes : $\binom{3}{3} = 1$
  • Les 3 boules sont rouges : $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

  (On ne peut pas tirer 3 boules noires car il n'y en a qu'une seule.) $\text{card}(B) = 1 + 20 = 21$ $P(B) = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ ✓ Question 2 : L'événement $C$ est « au moins deux boules de même couleur ». Il est plus facile de calculer le complémentaire $\bar{C}$ : « les trois boules sont de couleurs différentes ». Pour que les trois boules soient de couleurs différentes, il faut en tirer une verte, une rouge et une noire :…
• NATIONAL 2017 · normale3 pts
  Une urne contient huit boules indiscernables au toucher. Chacune porte un nombre : deux boules portent le nombre 0, deux portent le nombre 1, deux portent le nombre 2, et deux portent le nombre 4. On tire au hasard, simultanément, trois boules de l'urne. 1) Soit $A$…
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  1)

  • Nombre total de tirages : $\binom{8}{3} = 56$
  • Événement $A$ : Aucune boule avec 0 parmi les 3 tirées. On tire parmi les 6 boules (0, 1, 2, 4 restantes) : $\binom{6}{3} = 20$ $P(A) = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$ ✓
  • Événement $B$ : Produit = 8. Cas possibles :
    • $(1, 2, 4)$ : $1 \times 2 \times 4 = 8$ (une boule de chaque type, 2 boules × 2 boules × 2 boules) : $2 \times 2 \times 2 = 8$ cas
    • $(2, 2, 2)$ : impossible (seulement 2 boules portant 2)
    • Total : 8 cas $P(B) = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$ ✓

  2) a) $X = 16$ : Produit = 16, soit $4 \times 4 \times 1 = 16$ ou $4 \times 2 \times 2 = 16$

  • $(4, 4, 1)$ : $\binom{2}{2} \times \binom{2}{1} = 1 \times 2 = 2$ cas
  • Total : 2 cas $P(X = 16) = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$ ✓

  b) Loi complète de $X$ : | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $16$ | |-----|-----|-----|-----|-----|-----|------| | $P(X=x)$ | $\frac{9}{28}$ | $\frac{3}{28}$ | $\frac{6}{28}$ | $\frac{3}{28}$ | $\frac{6}{28}$ | $\frac{1}{28}$ | Justifications :

  • $P(X = 0)$ : au moins une boule porte 0 : $\binom{2}{1}\binom{6}{2} + \binom{2}{2}\binom{6}{1} = 2 \times 15 + 1 \times 6 = 36$ (non, correction) ou…

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Événement $A$ :

  • Total des façons de tirer 3 boules parmi 8 : $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
  • Nombre de boules sans 0 : 6 (les deux 1, deux 2, deux 4)
  • Tirer 3 parmi ces 6 : $\binom{6}{3} = 20$
  • Probabilité : $\frac{20}{56}$ à simplifier

  Événement $B$ :

  • Chercher tous les triplets de nombres dont le produit est 8
  • $(1, 2, 4)$ peut être tiré en combinant une boule de chaque type
  • Dénombrer : il y a 2 choix pour la boule 1, 2 pour la 2, 2 pour la 4 : $2 \times 2 \times 2 = 8$ combinaisons
  • Probabilité : $\frac{8}{56}$

  Question 2a :

  • Chercher les triplets de produit 16 (avec les chiffres {0, 1, 2, 4})
  • $(4, 4, 1)$ : les deux boules 4 et une boule 1. Nombre de façons : $\binom{2}{2} \times \binom{2}{1} = 1 \times 2 = 2$
  • Probabilité : $\frac{2}{56}$

  Question 2b :

  • Pour chaque valeur $x$ possible de $X$, énumérer les triplets de produit $x$ formables avec les boules disponibles
  • Dénombrer à chaque fois (combinaisons avec les multiplicités 2, 2, 2, 2)
  • Remplir le tableau en divisant par 56, puis simplifier les fractions
  • Vérifier que la somme des probabilités vaut 1
• NATIONAL 2017 · rattrapage3 pts
  Un sac contient $2n$ boules ($n \in \mathbb{N}^*$), dont $n$ sont blanches et $n$ sont noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Un jeu consiste à tirer une boule du sac à noter sa couleur et à la remettre dans le sac, puis à tirer du même sac une nouvelle boule…
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  1. Soit $B$ l'événement "tirer une boule blanche" et $N$ l'événement "tirer une boule noire". $P(B) = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ et $P(N) = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$.

  • Probabilité de gagner 20 points (tirer deux blanches) : $P(BB) = P(B) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
  • Probabilité de perdre 20 points (tirer deux noires) : $P(NN) = P(N) \times P(N) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
  • Probabilité de réaliser un gain nul (tirer des couleurs différentes) : $P(BN \text{ ou } NB) = P(B)P(N) + P(N)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

  2. Soit $G$ l'événement "gagner 20 points", $P$ l'événement "perdre 20 points" et $N_0$ l'événement "gain nul". $P(G) = \frac{1}{4}$, $P(P) = \frac{1}{4}$, $P(N_0) = \frac{1}{2}$. 2.a) Gagner 100 points en 5 jeux signifie gagner 20 points à chaque jeu. La probabilité est $(P(G))^5 = (\frac{1}{4})^5 = \frac{1}{1024}$. 2.b) Gagner 40 points en 5 jeux. Cela peut arriver de plusieurs façons, par exemple 2 gains de 20 points et 3 gains nuls. Soit $k$ le nombre de fois où l'on gagne 20 points, $j$ le nombre de fois où l'on perd 20 points,…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer les probabilités des événements élémentaires (tirer une blanche, tirer une noire) puis les combiner pour les gains/pertes. 2.a) Utiliser la probabilité de gagner 20 points et la répéter 5 fois. 2.b) Identifier les combinaisons de résultats qui mènent à un gain total de 40 points et calculer leurs probabilités. 3.a) Définir les valeurs que peut prendre la variable aléatoire et associer à chacune sa probabilité. 3.b) Appliquer la formule de l'espérance mathématique $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.
• NATIONAL 2016 · normale3 pts
  On considère l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$.

  1. a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$.
  2. Soit $h$ la fonction numérique définie sur…
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  1. a) Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow (r-1)(r-2) = 0 \Rightarrow r_1 = 1, r_2 = 2$. Solution générale : $g(x) = Ae^x + Be^{2x}$ où $A, B \in \mathbb{R}$. b) $g(0) = A + B = -3$ et $g'(0) = A + 2B = -2$. Résolvant : $B = 1$ et $A = -4$. Donc $g(x) = -4e^x + e^{2x}$.
  2. a) Posons $g(x) = e^{2x} - 4e^x$. Sur $[\ln 4, +\infty[$, $g$ est continue et strictement croissante (car $g'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x-2) > 0$ pour $x > \ln 2$, donc en particulier pour $x \geq \ln 4$). De plus, $g(\ln 4) = 16 - 16 = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, donc $g : [\ln 4, +\infty[ \to [0, +\infty[$ est bijective. Puisque $g > 0$ sur $]\ln 4, +\infty[$ et $\ln$ est défini sur $(0, +\infty)$, $h(x) = \ln(g(x))$ est définie et continue sur $[\ln 4, +\infty[$. $h' > 0$ donc $h$ est strictement croissante, admet une réciproque $h^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$ (car $h : [\ln 4, +\infty[ \to [-\infty, +\infty[$ comme $h(\ln 4) = \ln(0)$ tend vers $-\infty$). b) $h(\ln 5) = \ln(e^{2\ln 5} - 4e^{\ln 5}) = \ln(25 - 20) = \ln(5)$ ✓ $(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{h'(h^{-1}(\ln 5))} = \frac{1}{h'(\ln 5)}$.…

  ce que le barème veut ·

  1. Équation caractéristique : Pour $y'' - 3y' + 2y = 0$, écrire $r^2 - 3r + 2 = 0$ et résoudre par factorisation ou formule quadratique.
  2. Solution générale : Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est une combinaison linéaire d'exponentielles.
  3. Conditions initiales : Substituer $y(0)$ et $y'(0)$ pour trouver les constantes $A$ et $B$.
  4. Fonction réciproque : Montrer que $g(x) = e^{2x} - 4e^x$ est strictement monotone sur $[\ln 4, +\infty[$ en calculant sa dérivée et vérifier l'intervalle d'image.
  5. Continuité et surjectivité : Vérifier que $g(\ln 4) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ pour justifier que $h : [\ln 4, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est bijective.
  6. Dérivée de la réciproque : Appliquer la formule $(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}$ en calculant d'abord $h'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
• NATIONAL 2016 · normale3 pts
  Exercice 4 Une urne contient $10$ boules : quatre boules rouges et six boules vertes. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard, simultanément, deux boules de l'urne. 1) Soit $A$ l'événement : « Les deux boules tirées sont rouges ».
  Montrer que…
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  1) Nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 10 : $\binom{10}{2} = 45$ Nombre de façons de tirer 2 boules rouges parmi 4 : $\binom{4}{2} = 6$ $p(A) = \frac{6}{45} = \frac{1}{15}$ ✓ 2) a) Initialement 4 boules rouges.

  • Si on tire 2 rouges : $X = 4 - 2 = 2$ ✓
  • Si on tire 1 rouge et 1 verte : $X = 4 - 1 = 3$ ✓
  • Si on tire 2 vertes : $X = 4 - 0 = 4$ ✓

  Ensemble : $\{2, 3, 4\}$ ✓ b) $p(X=3)$ : tirer 1 rouge et 1 verte $\binom{4}{1} \cdot \binom{6}{1} = 4 \cdot 6 = 24$ $p(X=3) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$ ✓ $p(X=2) = p(A) = \frac{1}{15}$ $p(X=4) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ Vérification : $\frac{1}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = 1$ ✓ Loi de probabilité : | $X$ | 2 | 3 | 4 | |-----|-------|-------|-------| | $p(X)$ | $\frac{1}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{3}$ |

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Utiliser la formule $p(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$. Le nombre de cas possibles est $\binom{10}{2}$ (combinaison de 2 boules parmi 10). Le nombre de cas favorables pour $A$ (deux rouges) est $\binom{4}{2}$. Question 2.a : Identifier les trois cas possibles selon le nombre de boules rouges tirées (0, 1, ou 2). Pour chaque cas, calculer le nombre de rouges restantes ($4 - k$ où $k$ est le nombre tiré). Question 2.b : Pour chaque valeur de $X$, dénombrer les façons de tirer les boules correspondantes :

  • $X=2$ : tirer 2 rouges parmi 4, c'est $\binom{4}{2} = 6$ façons
  • $X=3$ : tirer 1 rouge parmi 4 ET 1 verte parmi 6, c'est $\binom{4}{1} \times \binom{6}{1} = 24$ façons
  • $X=4$ : tirer 2 vertes parmi 6, c'est $\binom{6}{2} = 15$ façons

  Diviser chaque par le total 45 et vérifier que la somme des probabilités égale 1.
• NATIONAL 2016 · normale3 pts
  Une urne contient 10 boules : quatre boules rouges et six boules vertes. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard, simultanément, deux boules de l'urne.

  1. Soit $A$ l'événement : « Les deux boules tirées sont rouges ». Montrer que $p(A) = \frac{2}{15}$.

  2)…
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  1. Le nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 10 est $\binom{10}{2} = 45$. Le nombre de façons de tirer 2 boules rouges parmi 4 est $\binom{4}{2} = 6$. Donc $p(A) = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ ✓
  2. a) Après le tirage de 2 boules, le nombre de boules rouges restantes dépend du tirage :
     • Si on tire 2 boules rouges : reste $4-2=2$ rouges, donc $X=2$.
     • Si on tire 1 boule rouge et 1 verte : reste $4-1=3$ rouges, donc $X=3$.
     • Si on tire 2 boules vertes : reste $4-0=4$ rouges, donc $X=4$. Donc $X \in \{2, 3, 4\}$.
     b) $p(X=3) = P(\text{1 rouge et 1 verte}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{6}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{4 \times 6}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$ ✓ $p(X=2) = p(A) = \frac{2}{15}$. $p(X=4) = P(\text{2 vertes}) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$. Loi de probabilité : | $X$ | 2 | 3 | 4 | |-----|------|------|------| | $p(X)$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{5}{15}$ |

  ce que le barème veut ·

  1. Calcul de $p(A)$ : Utiliser la formule des combinaisons. Nombre de cas favorables : $\binom{4}{2}$. Nombre de cas possibles : $\binom{10}{2}$.
  2. Ensemble des valeurs de $X$ : Analyser tous les cas possibles du tirage de 2 boules et compter les rouges restantes après chaque cas.
  3. Loi de probabilité : Pour chaque valeur de $X$, calculer $p(X=k)$ en comptant le nombre de tirages donnant cette valeur et diviser par $\binom{10}{2} = 45$.
  4. Vérification : Vérifier que la somme des probabilités égale 1.