Reconnaître et utiliser une loi binomiale

À tenir avant

• Établir la loi d'une variable aléatoire et son espérance
• Montrer que deux événements sont indépendants

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Une urne contient quatre boules blanches et deux boules noires, indiscernables au toucher.

  1. On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. a) Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « tirer au moins une boule noire ». b) Soit l'événement $B$ : « obtenir…
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  1a) $p(A)=\dfrac{3}{5}$ (soit $\frac{9}{15}$) 1b) $p(B)=\dfrac{7}{15}$ 1c) $p(\text{exactement 3 fois } B)=\binom{5}{3}\left(\frac{7}{15}\right)^3\left(\frac{8}{15}\right)^2$ 2a) $X\in\{1,2,3\}$ 2b) $p(X=2)=\dfrac{4}{15}$ 2c) Loi de $X$ : $p(X=1)=\dfrac{2}{3}$, $p(X=2)=\dfrac{4}{15}$, $p(X=3)=\dfrac{1}{15}$ 2d) $p(\text{au moins une noire})=1-p(X=1)=\dfrac{1}{3}$

  ce que le barème veut ·

  1a) Nombre total de tirages : $\binom{6}{2}=15$. Tirer aucune noire : $\binom{4}{2}=6$ façons, donc $p(\text{aucune noire})=\frac{6}{15}$, d'où $p(A)=1-\frac{6}{15}=\frac{9}{15}=\frac35$. b) $B$ = « 2 blanches » ou « 2 noires » : $p(B)=\frac{\binom{4}{2}+\binom{2}{2}}{15}=\frac{6+1}{15}=\frac{7}{15}$. c) Loi binomiale de paramètres $n=5$, $p=\frac{7}{15}$ : $p(B=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{7}{15}\right)^3\left(\frac{8}{15}\right)^2$. 2a) On tire sans remise jusqu'à obtenir une blanche. Comme il y a seulement 2 noires, on peut au maximum tirer 2 noires avant une blanche, donc $X$ prend les valeurs $1,2,3$. b) $p(X=2)$ = (tirer une noire au premier tirage) $\times$ (tirer une blanche au second) $=\frac{2}{6}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$. c) $p(X=1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. $p(X=3)$ = (noire, noire, blanche) $=\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}\times\frac{4}{4}=\frac{1}{15}$. Vérification : $\frac23+\frac{4}{15}+\frac{1}{15}=1$. d) « Au moins une boule noire » correspond à $X\ge2$, donc $p=1-p(X=1)=1-\frac23=\frac13$.
• NATIONAL 2018 · rattrapage3 pts
  On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale à la fréquence d'apparition de la face « pile ». (c.-à-d., le nombre de fois d'apparition de la face « pile » divisé par 10) 1.a) Déterminer les valeurs…
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  1.a) La fréquence d'apparition de « pile » en 10 lancers est $\frac{k}{10}$ où $k \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}$. Donc : $X \in \left\{0, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \ldots, \frac{10}{10}\right\} = \left\{0, 0.1, 0.2, \ldots, 1\right\}$ 1.b) L'événement $[X = 0.1]$ signifie que « pile » apparaît exactement 1 fois sur 10. Le nombre de « pile » suit une loi binomiale $B(10, 0.5)$. Donc : $P(X = 0.1) = P(\text{1 pile parmi 10}) = \binom{10}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^9 = 10 \cdot \frac{1}{2^{10}} = \frac{10}{1024} = \frac{5}{512}$ 2. L'événement $[X \geq 0.5]$ signifie que « pile » apparaît au moins 5 fois sur 10. Donc : $P(X \geq 0.5) = P(\text{au moins 5 piles}) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$ $= \frac{1}{1024} \left[\binom{10}{5} + \binom{10}{6} + \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}\right]$ $= \frac{1}{1024} [252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1] = \frac{638}{1024} = \frac{319}{512}$

  ce que le barème veut ·

  Étape 1 : Identifier la loi de probabilité

  • Le nombre de « pile » sur 10 lancers suit une loi binomiale $B(n=10, p=0.5)$
  • La fréquence $X$ est ce nombre divisé par 10
  • Les valeurs de $X$ sont donc $\frac{k}{10}$ pour $k = 0, 1, \ldots, 10$

  Étape 2 : Calculer $P(X = 0.1)$

  • $X = 0.1$ signifie $k = 1$ (exactement 1 pile)
  • Utiliser la formule de la loi binomiale : $P(K = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
  • Remplacer : $P(K = 1) = \binom{10}{1} (0.5)^1 (0.5)^9 = 10 \cdot (0.5)^{10}$

  Étape 3 : Calculer $P(X \geq 0.5)$

  • $X \geq 0.5$ signifie $k \geq 5$
  • Somme des probabilités : $\sum_{k=5}^{10} P(K = k) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} (0.5)^{10}$
  • Par symétrie de la loi binomiale : $\sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} = \sum_{k=0}^{4} \binom{10}{k} + \binom{10}{5}/2$ (pour éviter double-comptage)
  • Ou calculer directement : $\sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k}$ en additionnant les coefficients binomiaux

  Étape 4 : Simplifier

  • Facteur commun $(0.5)^{10} = \frac{1}{1024}$
  • Additionner les coefficients binomiaux : $252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 638$
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  Une urne contient 10 boules portant les nombres : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Les boules sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience suivante : on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

  1. Soit $A$ l'événement : « Obtenir deux…
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  1. Les nombres pairs dans l'urne sont : 2, 2, 4, 4, 4, 4 (6 boules paires sur 10). Le nombre de façons de choisir 2 boules parmi 10 est $\binom{10}{2} = 45$. Le nombre de façons de choisir 2 boules parmi les 6 boules paires est $\binom{6}{2} = 15$. Donc $p(A) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.
  2. a) $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, \frac{1}{3})$. $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$.

  (Note : la correction indique $\frac{12}{25}$, mais le calcul correct avec $p(A) = \frac{1}{3}$ donne $\frac{4}{9}$.) b) Loi complète de $X$ :

  • $p(X = 0) = \binom{3}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$
  • $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$
  • $p(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$
  • $p(X = 3) = \binom{3}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^0 = \frac{1}{27}$

  ce que le barème veut ·

  1) Identifier les boules paires : 2, 2, 4, 4, 4, 4 (6 boules). Utiliser le dénombrement combinatoire : $p(A) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 2 boules paires}}{\text{nombre total de façons de tirer 2 boules}} = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ 2)a) Reconnaître que $X$ suit une distribution binomiale avec $n = 3$ épreuves et probabilité de succès $p = p(A) = \frac{1}{3}$. Appliquer la formule : $p(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ Pour $k = 1$ : $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^2$. 2)b) Calculer $p(X = k)$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ en utilisant la même formule de loi binomiale.
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  Exercice 4 ( 3 points ) Une urne contient 10 boules portant les nombres 1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4 (Les boules sont indiscernables au toucher) On considère l'expérience suivante : on tire au hasard , successivement et sans remise, deux boules de l'urne .

  1. Soit $A$…
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  1. L'urne contient 10 boules. Les nombres pairs sont 2, 2, 4, 4, 4, 4. Il y a 6 boules paires et 4 boules impaires. On tire 2 boules successivement et sans remise. Le nombre total de tirages possibles est $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$. Le nombre de tirages de deux boules paires est $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$. La probabilité de l'événement $A$ est $p(A) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.
  2. L'expérience est répétée 3 fois de suite, avec remise des boules après chaque tirage. C'est une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes. La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n, p)$ avec $n=3$ (nombre de répétitions) et $p=p(A)=\frac{1}{3}$ (probabilité de succès). La probabilité $p(X=k)$ est donnée par $C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Pour $k=1$: $p(X=1) = C_3^1 (\frac{1}{3})^1 (1-\frac{1}{3})^{3-1} = 3 \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2 = 1 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$. La loi de probabilité de $X$ est: $p(X=0) = C_3^0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^3 = 1 \times 1 \times \frac{8}{27} = \frac{8}{27}$ $p(X=1) = \frac{4}{9} = \frac{12}{27}$ $p(X=2) = C_3^2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer le nombre total de tirages possibles et le nombre de tirages favorables pour l'événement A, puis calculer la probabilité. 2) Identifier que X suit une loi binomiale, déterminer ses paramètres, puis calculer $p(X=1)$ et les autres probabilités pour la loi de X.
• NATIONAL 2015 · rattrapage3 pts
  I-1- a étant un entier, montrer que si $a$ et $13$ sont premiers entre eux alors $a^{2016} \equiv 1 \pmod{13}$. 2- On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E): x^2 \equiv 7 \pmod{13}$ et soit $x$ une solution de l'équation $(E)$. a) Montrer que $x$ et $13$ sont premiers entre…
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  I-1- $a^{2016} \equiv 1 \pmod{13}$. 2-a) $x$ et $13$ sont premiers entre eux. 2-b) $x^{12} \equiv 1 \pmod{13}$. 3- L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est $S=\{7+13k/k\in\mathbb{Z}\}$. II-1- La probabilité d'obtenir une boule portant un numéro qui est solution de l'équation $(E)$ est $P = \frac{3}{50}$. 2- La probabilité d'obtenir exactement deux fois une boule portant un numéro qui est solution de l'équation $(E)$ est $P = 3 \times (\frac{3}{50})^2 \times (\frac{47}{50}) = \frac{1269}{125000}$.

  ce que le barème veut ·

  I-1- Utiliser le petit théorème de Fermat ($a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ si $p$ est premier et $p \nmid a$). 2-a) Supposer que $13 \mid x$, puis montrer une contradiction avec $x^2 \equiv 7 \pmod{13}$. 2-b) Utiliser le petit théorème de Fermat avec $x$ et $13$. 3- Résoudre l'équation $x^2 \equiv 7 \pmod{13}$ en testant les résidus modulo $13$. II-1- Trouver les solutions de $(E)$ dans l'intervalle $[1, 50]$, puis calculer la probabilité. 2- Utiliser la loi binomiale $B(n, p)$ avec $n=3$ et $p$ la probabilité trouvée en II-1.
• NATIONAL 2015 · rattrapage5 pts
  Partie I : Arithmétique

  1. $a$ étant un entier, montrer que si $a$ et $13$ sont premiers entre eux, alors $a^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
  2. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E): x^2 \equiv 5 \pmod{13}$ et soit $x$ une solution de l'équation $(E)$.

  a) Montrer que…
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  Partie I :

  1. Par le théorème de Fermat : si $\gcd(a, 13) = 1$, alors $a^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
  2. a) Si $x^2 \equiv 5 \pmod{13}$ et $\gcd(x, 13) \neq 1$, alors $13 \mid x$, ce qui implique $13 \mid x^2$, donc $13 \mid 5$, ce qui est faux. Ainsi $\gcd(x, 13) = 1$.

  b) De $x^2 \equiv 5 \pmod{13}$ et $x^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ (par Fermat), on a $(x^2)^6 \equiv 1 \pmod{13}$, donc $5^6 \equiv 1 \pmod{13}$ (ce qui se vérifie).

  3. Résoudre $x^2 \equiv 5 \pmod{13}$ :
     • Tester : $7^2 = 49 \equiv 5 \pmod{13}$ ✓
     • Tester : $6^2 = 36 \equiv 10 \pmod{13}$ ✗; $(-7)^2 = 169 \equiv 0 \pmod{13}$; $6^2 \equiv 10$; en réalité $6^2 = 36 = 2 \times 13 + 10 \equiv 10$; et $(-6)^2 \equiv 6^2 \equiv 10$
     • Correction : $x = 7$ ou $x = -7 \equiv 6 \pmod{13}$

  Solutions modulo 13 : $x \equiv 7$ ou $x \equiv 6 \pmod{13}$. Dans $[1, 50]$ : $\{7, 20, 33, 46\} \cup \{6, 19, 32, 45\}$ soit 8 solutions. Partie II :

  1. Nombre de solutions dans $[1, 50]$ : 8 boules. Probabilité = $\frac{8}{50} = \frac{4}{25}$.
  2. Tirage avec remise, 3 répétitions, exactement 2 succès :…

  ce que le barème veut ·

  Partie I :

  1. Appliquer directement le petit théorème de Fermat : $\phi(13) = 12$, donc si $\gcd(a, 13) = 1$, alors $a^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
  2. a) Raisonner par l'absurde : si $13 \mid x$, alors $13 \mid x^2$, donc $13 \mid 5$, contradiction.

  b) Utiliser Fermat appliqué à $x$ et l'équation originale.

  3. Tester systématiquement les valeurs $x \in \{1, 2, \ldots, 12\}$ modulo 13 pour résoudre $x^2 \equiv 5 \pmod{13}$. Identifier les deux solutions modulo 13, puis générer toutes les solutions dans $[1, 50]$ en ajoutant les multiples de 13.

  Partie II :

  1. Dénombrer les solutions de $(E)$ dans $[1, 50]$ et diviser par 50.
  2. Modéliser comme loi binomiale avec $n = 3$ répétitions, $p = \frac{4}{25}$ probabilité de succès, et calculer $P(X = 2) = \binom{3}{2} p^2 (1-p)^1$.
• NATIONAL 2014 · normale3 pts
  Un sac contient neuf jetons, indiscernables au toucher portant les chiffres suivants : $0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;1 ;1 ;1 ;1$

  1. On tire simultanément et au hasard deux jetons du sac Soit l'événement : A" la somme des deux numéros portés par les deux jetons tirées est égal à 1 " Montrer…
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  1. $P(A) = \dfrac{5}{36}$
  2. a) $P(\text{gain}) = \dfrac{1}{6}$
  3. b) $P(\text{gagner exactement deux fois}) = \dfrac{5}{72}$

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer le nombre total de tirages possibles de 2 jetons parmi 9.
  2. Identifier les paires de jetons dont la somme est 1 (un 0 et un 1).
  3. Calculer la probabilité $P(A)$.
  4. Pour la partie 2a, identifier les paires de jetons où les deux sont des 1.
  5. Calculer la probabilité de gain.
  6. Pour la partie 2b, utiliser la loi binomiale pour calculer la probabilité de gagner exactement 2 fois sur 3 essais.
• NATIONAL 2013 · rattrapage3 pts
  Exercice 2 : Probabilités (3 points) Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher. Partie I — On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l'urne. On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules…
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  Partie I

  1. La loi de probabilité de $X$ : $P(X = k) = \binom{4}{k} \left(\frac{4}{7}\right)^k \left(\frac{3}{7}\right)^{4-k}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
     • $P(X=0) = \frac{81}{2401}$ ; $P(X=1) = \frac{432}{2401}$ ; $P(X=2) = \frac{864}{2401}$ ; $P(X=3) = \frac{768}{2401}$ ; $P(X=4) = \frac{256}{2401}$.
  2. $E(X) = 4 \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{7}$.

  Partie II

  1. $P(E \cap N) = P(N) \cdot P(E \mid N) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\binom{9}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{4}{7} \cdot \frac{84}{220} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{55} = \frac{12}{55}$.
  2. $P(E) = P(E \cap N) + P(E \cap R) = \frac{12}{55} + \frac{3}{7} \cdot \frac{\binom{8}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{12}{55} + \frac{3}{7} \cdot \frac{56}{220} = \frac{12}{55} + \frac{3}{35} = \frac{84 + 33}{385} = \frac{117}{385} = \frac{9}{29.62...}$ Recalcul correct : $P(E) = \frac{12}{55} + \frac{3}{7} \cdot \frac{56}{220} = \frac{12}{55} + \frac{12}{55} = \frac{24}{55}$.
  3. $P(R \mid E) = \frac{P(E \cap R)}{P(E)} = \frac{\frac{3}{7} \cdot \frac{56}{220}}{\frac{24}{55}} = \frac{\frac{12}{55}}{\frac{24}{55}} = \frac{1}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I — Question 1 : $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(4, \frac{4}{7})$. La probabilité de tirer une boule noire est $p = \frac{4}{7}$ (4 noires sur 7 boules) et on tire avec remise 4 fois. Donc $P(X = k) = \binom{4}{k} p^k (1-p)^{4-k}$. Calcul numérique pour chaque valeur. Question 2 : Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, on a $E(X) = np = 4 \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{7}$. Partie II — Question 1 : Appliquer la formule des probabilités conditionnelles :

  • $P(N) = \frac{4}{7}$ (probabilité de tirer une boule noire à l'étape 1).
  • Si $N$ se réalise, à l'étape 2 on ajoute 5 boules noires : l'urne contient alors 9 boules noires et 3 boules rouges (total 12).
  • $P(E \mid N) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 3 noires}}{\text{nombre de façons de tirer 3 boules}} = \frac{\binom{9}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{84}{220} = \frac{21}{55}$.
  • Donc $P(E \cap N) = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{55} = \frac{84}{385} = \frac{12}{55}$.

  Question 2 : Utiliser la partition $(N, R)$ : $P(E) = P(E \cap N) + P(E \cap R)$.

  • $P(R) = \frac{3}{7}$ et si $R$ se réalise, l'urne a 3 noires + 5 = 8 noires et 3+3 = 6 rouges. -…