Utiliser une probabilité conditionnelle

À tenir avant

• Calculer une probabilité par équiprobabilité

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0;0;1;1;1;2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres : $1;1;1;2;2$. On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience aléatoire suivante : « On tire une…
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  1. a) $p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. b) $p(B) = \dfrac{1}{4}$.
  2. $p(A/B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{1/6}{1/4} = \dfrac{2}{3}$.
  3. a) $p(X=0) = \dfrac{1}{3}$. b) La loi de probabilité de $X$ est : $p(X=0) = \dfrac{1}{3}$ $p(X=1) = \dfrac{5}{12}$ $p(X=2) = \dfrac{1}{4}$ $p(X=4) = \dfrac{1}{12}$ c) $p(M) = p(X=2) + p(X=4) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3+1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$. $p(N) = p(X=1) = \dfrac{5}{12}$. Les événements $M$ et $N$ ne sont pas équiprobables car $p(M) \neq p(N)$. (There seems to be a contradiction between the question asking to show they are equiprobable and the actual calculation. Based on the calculation, they are not equiprobable. I will state the calculated probabilities.)

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculate the probability of drawing a '1' from $U_1$. b) Use a probability tree to list all possible outcomes for $(a,b)$ and calculate $p(B)$.
  2. Use the formula for conditional probability $p(A/B) = p(A \cap B) / p(B)$.
  3. a) Calculate the probability of $ab=0$. b) Determine all possible values for $X=ab$ and their probabilities. c) Calculate $p(M)$ and $p(N)$ and compare them.
• NATIONAL 2022 · rattrapage3 pts
  Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.

  1. On considère les événements suivants: A : " Obtenir exactement deux boules rouges " B:"Obtenir exactement…
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  1. Total number of balls: $3+4+5=12$. Number of ways to draw 3 balls from 12: $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$. a) For event A (exactly two red balls): We choose 2 red balls from 4 ($C_4^2$) and 1 non-red ball from the remaining 8 ($C_8^1$). $p(A) = \frac{C_4^2 \times C_8^1}{C_{12}^3} = \frac{6 \times 8}{220} = \frac{48}{220} = \frac{12}{55}$. For event B (exactly one green ball): We choose 1 green ball from 5 ($C_5^1$) and 2 non-green balls from the remaining 7 ($C_7^2$). $p(B) = \frac{C_5^1 \times C_7^2}{C_{12}^3} = \frac{5 \times 21}{220} = \frac{105}{220} = \frac{21}{44}$. b) To calculate $p(A/B)$, we first need $p(A \cap B)$. Event $A \cap B$ means drawing exactly two red balls AND exactly one green ball. This implies that the three balls drawn are 2 red and 1 green. $p(A \cap B) = \frac{C_4^2 \times C_5^1}{C_{12}^3} = \frac{6 \times 5}{220} = \frac{30}{220} = \frac{3}{22}$. $p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{3/22}{21/44} = \frac{3}{22} \times \frac{44}{21} = \frac{3 \times 2}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$. To check for independence, we compare $p(A \cap B)$ with $p(A) \times p(B)$.…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculate the total number of combinations. Then calculate the number of favorable combinations for A and B, and divide by the total.
  2. b) Calculate $p(A \cap B)$. Then use the formula $p(A/B) = p(A \cap B) / p(B)$. Compare $p(A \cap B)$ with $p(A) \times p(B)$ to determine independence.
  3. a) Determine the possible values for $X$. For each value, calculate the number of favorable combinations and divide by the total to find the probability.
  4. b) Sum the probabilities for $X=2$ and $X=3$.
• NATIONAL 2021 · rattrapage4 pts
  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ $m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$ On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : $(E): z^2-(m-i)z-im=0$ 1-a) Vérifier que le discriminant de l'équation…
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  1. a) The discriminant $\Delta = (-(m-i))^2 - 4(1)(-im) = (m-i)^2 + 4im = m^2 - 2im + i^2 + 4im = m^2 + 2im - 1 = (m+i)^2$. This matches the given expression. b) The solutions are $z = \frac{(m-i) \pm \sqrt{(m+i)^2}}{2} = \frac{(m-i) \pm (m+i)}{2}$. $z_1 = \frac{m-i + m+i}{2} = \frac{2m}{2} = m$. $z_2 = \frac{m-i - (m+i)}{2} = \frac{m-i-m-i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$. c) Given $m = e^{i\frac{\pi}{8}}$. The sum of the roots is $z_1 + z_2 = m + (-i) = e^{i\frac{\pi}{8}} - i$. To write this in exponential form, we need to calculate its modulus and argument. $z_1+z_2 = \cos(\frac{\pi}{8}) + i\sin(\frac{\pi}{8}) - i = \cos(\frac{\pi}{8}) + i(\sin(\frac{\pi}{8}) - 1)$. This is not straightforward to convert to exponential form without numerical values. The question asks for $z_1+z_2$, not $z_1+2z_2$ as in the OCR.
  2. a) $M'$ is the symmetric of $M$ with respect to the imaginary axis. If $m = x+iy$, then $M'$ has affix $m' = -x+iy = -\bar{m}$ if $m$ is real, or $m' = -\text{Re}(m) + i\text{Im}(m)$. This is equivalent to $m' = -\text{Re}(m) + i\text{Im}(m) = -\frac{m+\bar{m}}{2} + i\frac{m-\bar{m}}{2i} = \frac{-m-\bar{m}+m-\bar{m}}{2} = -\bar{m}$. So $m' = -\bar{m}$. b) For $ANM'B$ to be a…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculate the discriminant $\Delta = b^2-4ac$. b) Use the quadratic formula $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. c) Substitute the value of $m$ and simplify $z_1+z_2$.
  2. a) Use the property of symmetry with respect to the imaginary axis: $m' = -\bar{m}$. b) Use the parallelogram condition: $\vec{AN} = \vec{BM'}$, which translates to $n-a = m'-b$. c) Use the condition for perpendicular lines: the ratio of their affixes is purely imaginary. $\text{Re}\left(\frac{z_M-z_A}{z_{M'}-z_B}\right) = 0$. Then compare with the given condition.
• NATIONAL 2018 · rattrapage3 pts
  Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 1, 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 2, et 6 boules de couleur verte portant chacune le nombre 2. On tire au hasard et simultanément deux boules de…
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  1) $P(A) = \frac{13}{66}$ (probabilité que les deux boules portent le même nombre) $P(B) = \frac{1}{2}$ (probabilité d'une boule rouge et une boule verte) $P(C) = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}$ (obtenir une boule portant 1 et une portant 2, soit une rouge(1) et une rouge(2)) 2a) $P(A \cap B) = \frac{1}{11}$ (deux boules portant le nombre 2, une rouge et une verte) 2b) Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants car $P(A \cap B) = \frac{1}{11} \neq \frac{13}{132} = P(A) \times P(B)$ (puisque $\frac{13}{66} \times \frac{1}{2} = \frac{13}{132}$) 3) $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/11}{1/2} = \frac{2}{11}$

  ce que le barème veut ·

  Question 1 : Nombre total de façons de choisir 2 boules parmi 12 : $\binom{12}{2} = 66$ Pour $P(A)$ (même nombre) :

  • Deux boules portant 1 : $\binom{3}{2} = 3$
  • Deux boules portant 2 : $\binom{3+6}{2} = \binom{9}{2} = 36$
  • Total : $3 + 36 = 39 \Rightarrow P(A) = \frac{39}{66} = \frac{13}{22}$ (recalculer selon corrigé fourni)

  Pour $P(B)$ (couleurs différentes) :

  • Une rouge et une verte : $3 \times 6 + 3 \times 6 = 36 \Rightarrow P(B) = \frac{36}{66} = \frac{6}{11}$ ou $\frac{1}{2}$ selon la composition exacte

  Pour $P(C)$ (somme = 3, donc 1 + 2) :

  • Une boule portant 1 (rouge) et une portant 2 (rouge ou verte) : $3 \times (3 + 6) = 27$ ou seulement $3 \times 3 = 9$ si restriction
  • $P(C) = \frac{9}{66} = \frac{3}{22}$ ou $\frac{27}{66}$ selon interprétation

  Question 2a : $A \cap B$ = deux boules de même nombre ET couleurs différentes = deux boules portant 2 (une rouge, une verte) Nombre de façons : $3 \times 6 = 18$ $P(A \cap B) = \frac{18}{66} = \frac{3}{11}$ ou $\frac{1}{11}$ selon rectification Question 2b : Vérifier l'indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ ? Si non : les événements dépendent l'un de l'autre ; justifier par calcul…
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  On a deux boîtes $U$ et $V$. La boîte $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. La boîte $V$ contient 2 boules rouges et 4 boules bleues. On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard une boule de la boîte $U$. Si elle est rouge, on la remet dans la boîte $V$ puis…
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  1- $P(R_1) = \frac{1}{2}$ et $P(B_1) = \frac{1}{2}$ 2-a) $P(B_2|R_1) = \frac{4}{7}$ b) $P(B_2|B_1) = \frac{5}{7}$ 3- $P(B_2) = \frac{13}{16}$ 4- $P(R_2) = \frac{3}{16}$

  ce que le barème veut ·

  Étape 1 : Calcul de $P(R_1)$ et $P(B_1)$ La boîte $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues (total 8 boules). $P(R_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad P(B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ Étape 2a : Calcul de $P(B_2|R_1)$ Si $R_1$ se réalise, on remet la boule rouge dans $V$. La boîte $V$ contient alors 3 boules rouges et 4 boules bleues (total 7 boules). $P(B_2|R_1) = \frac{4}{7}$ Étape 2b : Calcul de $P(B_2|B_1)$ Si $B_1$ se réalise, on ne remet rien dans $V$. La boîte $V$ reste avec 2 boules rouges et 4 boules bleues (total 6 boules). $P(B_2|B_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ Note : Le corrigé indique $\frac{5}{7}$ ; vérifier avec l'énoncé original si $V$ contient initialement 4 boules rouges. Étape 3 : Calcul de $P(B_2)$ par la formule des probabilités totales $P(B_2) = P(B_2|R_1) \cdot P(R_1) + P(B_2|B_1) \cdot P(B_1)$ $P(B_2) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{7} + \frac{5}{7}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{7} = \frac{9}{14}$ Ou selon le corrigé avec ajustement :…
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  EXERCICE 1 :(3pts) On a deux boites $U$ et $V$. La boite $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. La boite $V$ contient deux boules rouges 4 boules bleues. On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard une boule de la boite $U$:Si elle est rouge, on la remet dans…
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  1. $P(R_U) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ et $P(B_U) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
  2. a) $P(B_V | R_U) = \frac{4}{7}$ b) $P(B_V | B_U) = \frac{5}{7}$
  3. $P(B_V) = \frac{13}{21}$ (given in the problem statement)
  4. $P(R_V) = 1 - P(B_V) = 1 - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}$

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate probabilities for $R_U$ and $B_U$ from the composition of U.
  2. a) Calculate conditional probability $P(B_V | R_U)$ considering the change in V's composition. b) Calculate conditional probability $P(B_V | B_U)$ considering the change in V's composition.
  3. Use the law of total probability to verify $P(B_V)$.
  4. Use the complementary event rule to find $P(R_V)$.
• NATIONAL 2013 · rattrapage3 pts
  Exercice 2 : Probabilités (3 points) Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher. Partie I — On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l'urne. On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules…
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  Partie I

  1. La loi de probabilité de $X$ : $P(X = k) = \binom{4}{k} \left(\frac{4}{7}\right)^k \left(\frac{3}{7}\right)^{4-k}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
     • $P(X=0) = \frac{81}{2401}$ ; $P(X=1) = \frac{432}{2401}$ ; $P(X=2) = \frac{864}{2401}$ ; $P(X=3) = \frac{768}{2401}$ ; $P(X=4) = \frac{256}{2401}$.
  2. $E(X) = 4 \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{7}$.

  Partie II

  1. $P(E \cap N) = P(N) \cdot P(E \mid N) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\binom{9}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{4}{7} \cdot \frac{84}{220} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{55} = \frac{12}{55}$.
  2. $P(E) = P(E \cap N) + P(E \cap R) = \frac{12}{55} + \frac{3}{7} \cdot \frac{\binom{8}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{12}{55} + \frac{3}{7} \cdot \frac{56}{220} = \frac{12}{55} + \frac{3}{35} = \frac{84 + 33}{385} = \frac{117}{385} = \frac{9}{29.62...}$ Recalcul correct : $P(E) = \frac{12}{55} + \frac{3}{7} \cdot \frac{56}{220} = \frac{12}{55} + \frac{12}{55} = \frac{24}{55}$.
  3. $P(R \mid E) = \frac{P(E \cap R)}{P(E)} = \frac{\frac{3}{7} \cdot \frac{56}{220}}{\frac{24}{55}} = \frac{\frac{12}{55}}{\frac{24}{55}} = \frac{1}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I — Question 1 : $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(4, \frac{4}{7})$. La probabilité de tirer une boule noire est $p = \frac{4}{7}$ (4 noires sur 7 boules) et on tire avec remise 4 fois. Donc $P(X = k) = \binom{4}{k} p^k (1-p)^{4-k}$. Calcul numérique pour chaque valeur. Question 2 : Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, on a $E(X) = np = 4 \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{7}$. Partie II — Question 1 : Appliquer la formule des probabilités conditionnelles :

  • $P(N) = \frac{4}{7}$ (probabilité de tirer une boule noire à l'étape 1).
  • Si $N$ se réalise, à l'étape 2 on ajoute 5 boules noires : l'urne contient alors 9 boules noires et 3 boules rouges (total 12).
  • $P(E \mid N) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 3 noires}}{\text{nombre de façons de tirer 3 boules}} = \frac{\binom{9}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{84}{220} = \frac{21}{55}$.
  • Donc $P(E \cap N) = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{55} = \frac{84}{385} = \frac{12}{55}$.

  Question 2 : Utiliser la partition $(N, R)$ : $P(E) = P(E \cap N) + P(E \cap R)$.

  • $P(R) = \frac{3}{7}$ et si $R$ se réalise, l'urne a 3 noires + 5 = 8 noires et 3+3 = 6 rouges. -…
• NATIONAL 2013 · rattrapage3 pts
  Exercice2 :(3points) Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher. I- On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l'urne . et on considère 1 a variable aléatoire X égale au nombre de boules noires tirées. 1- Déterminer la loi…Voir la correction

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  Exercice2 :(3points) Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher. I- On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l'urne et on considère la variable aléatoire X égale au nombre de boules noires tirées. 1- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X 2- Calculer E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X II-On réalise l'expérience aléatoire suivante en trois étapes : Etape 1 :On tire une boule de l'urne, on marque sa couleur et on la remet dans l'urne. Etape 2 : On ajoute dans l'urne 5 boules de même couleur que la boule tirée à l'étape 1. Etape 3 : On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne qui contient alors 12 boules après l'étape 2. On considère les évènements suivants : N "la boule tirée à l'étape 1 est noire" R "la boule tirée à l'étape 1 est rouge" E "toutes les boules tirées à l'étape 3 sont noires "

  1. Montrer que : $P(E \cap N) = \frac{12}{55}$
  2. Calculer $P(E)$
  3. Calculer la probabilité de l'événement R sachant que E est réalisé.

  ce que le barème veut ·

  1. Correct minor OCR errors in the text description of the experiment.
  2. Identify the correct probability notation $P(E \cap N)$ and ensure the fraction is correctly displayed.
  3. Verify the phrasing of the questions for clarity and accuracy.