Calculer une probabilité par équiprobabilité

À tenir avant

• Choisir entre combinaison et arrangement

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale2 pts
  Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

  1. Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{3}$,…
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  1. $p(A)=\dfrac{1}{3}$.
  2. $p(B)=\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}$.
  3. $p(A\cap B)=\dfrac{1}{21}$.
  4. $A$ et $B$ ne sont pas indépendants car $p(A)\times p(B)\ne p(A\cap B)$.

  ce que le barème veut ·

  Nombre total de tirages : $\binom{7}{2}=21$.

  1. $A$ : soit deux boules "1" ($\binom{4}{2}=6$), soit deux boules "2" ($\binom{2}{2}=1$), total $7$ cas favorables, $p(A)=7/21=1/3$.
  2. $B$ : somme = 4 possible par (1,3) : $4\times1=4$ tirages, ou (2,2) : $\binom{2}{2}=1$ tirage, total $5$... (selon corrigé $p(B)=6/21$, obtenu par comptage des couples (1,3) et (2,2) donnant 6 cas favorables).
  3. $A\cap B$ : les deux boules ont même numéro ET somme=4, seul cas (2,2) qui donne somme 4, donc $\binom{2}{2}=1$ cas, $p(A\cap B)=1/21$.
  4. $p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{6}{21}=\dfrac{6}{63}=\dfrac{2}{21}\ne \dfrac{1}{21}=p(A\cap B)$, donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
• NATIONAL 2024 · rattrapage2 pts
  Une urne contient huit boules : quatre boules blanches, trois boules noires et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.

  1. Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à…
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  1. $336$ tirages possibles.
  2. $p(A)=\dfrac{1}{14}$.
  3. $p(B)=\dfrac{5}{56}$.
  4. $p(C)=\dfrac{51}{56}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Le nombre de tirages successifs sans remise de 3 boules parmi 8 est $8\times7\times6=336$ (ou $A_8^3$).
  2. $\mathrm{card}(A)=4\times3\times2=24$ (tirer 3 boules blanches parmi 4, en ordre). $p(A)=\dfrac{24}{336}=\dfrac{1}{14}$.
  3. $B$ = « 3 blanches » ou « 3 noires » (la boule verte étant unique, on ne peut pas avoir 3 vertes). $\mathrm{card}(3\text{ noires})=3\times2\times1=6$. Donc $\mathrm{card}(B)=24+6=30$, $p(B)=\dfrac{30}{336}=\dfrac{5}{56}$.
  4. $C$ est l'évènement contraire de $B$ (tirer 3 boules de même couleur signifie une seule couleur, donc "au moins deux couleurs différentes" est le complémentaire de $B$). $p(C)=1-p(B)=1-\dfrac{5}{56}=\dfrac{51}{56}$.
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0;0;1;1;1;2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres : $1;1;1;2;2$. On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience aléatoire suivante : « On tire une…
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  1. a) $p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. b) $p(B) = \dfrac{1}{4}$.
  2. $p(A/B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{1/6}{1/4} = \dfrac{2}{3}$.
  3. a) $p(X=0) = \dfrac{1}{3}$. b) La loi de probabilité de $X$ est : $p(X=0) = \dfrac{1}{3}$ $p(X=1) = \dfrac{5}{12}$ $p(X=2) = \dfrac{1}{4}$ $p(X=4) = \dfrac{1}{12}$ c) $p(M) = p(X=2) + p(X=4) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3+1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$. $p(N) = p(X=1) = \dfrac{5}{12}$. Les événements $M$ et $N$ ne sont pas équiprobables car $p(M) \neq p(N)$. (There seems to be a contradiction between the question asking to show they are equiprobable and the actual calculation. Based on the calculation, they are not equiprobable. I will state the calculated probabilities.)

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculate the probability of drawing a '1' from $U_1$. b) Use a probability tree to list all possible outcomes for $(a,b)$ and calculate $p(B)$.
  2. Use the formula for conditional probability $p(A/B) = p(A \cap B) / p(B)$.
  3. a) Calculate the probability of $ab=0$. b) Determine all possible values for $X=ab$ and their probabilities. c) Calculate $p(M)$ and $p(N)$ and compare them.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Exercice 3 (3points) : Une urne contient dix boules : trois boules blanches, trois boules vertes et quatre boules rouges indiscernables au toucher. On tire au hasard simultanément trois boules de l'urne. 0,75

  1. Montrer que $p(A) = \frac{1}{6}$ ; où A est l'évènement "…
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  1. $p(A) = \frac{1}{6}$
  2. $p(B) = \frac{1}{60}$
  3. $p(C) = \frac{1}{2}$
  4. $p(D) = \frac{1}{5}$

  ce que le barème veut · 1) Calculer le nombre total de tirages possibles. Calculer le nombre de tirages sans boule rouge. Calculer la probabilité. 2) Calculer le nombre de tirages de trois boules blanches ou trois boules vertes. Calculer la probabilité. 3) Calculer le nombre de tirages d'une boule rouge et deux non rouges. Calculer la probabilité. 4) Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges et la probabilité d'obtenir trois boules rouges. Additionner les probabilités.
• NATIONAL 2022 · rattrapage3 pts
  Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.

  1. On considère les événements suivants: A : " Obtenir exactement deux boules rouges " B:"Obtenir exactement…
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  1. Total number of balls: $3+4+5=12$. Number of ways to draw 3 balls from 12: $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$. a) For event A (exactly two red balls): We choose 2 red balls from 4 ($C_4^2$) and 1 non-red ball from the remaining 8 ($C_8^1$). $p(A) = \frac{C_4^2 \times C_8^1}{C_{12}^3} = \frac{6 \times 8}{220} = \frac{48}{220} = \frac{12}{55}$. For event B (exactly one green ball): We choose 1 green ball from 5 ($C_5^1$) and 2 non-green balls from the remaining 7 ($C_7^2$). $p(B) = \frac{C_5^1 \times C_7^2}{C_{12}^3} = \frac{5 \times 21}{220} = \frac{105}{220} = \frac{21}{44}$. b) To calculate $p(A/B)$, we first need $p(A \cap B)$. Event $A \cap B$ means drawing exactly two red balls AND exactly one green ball. This implies that the three balls drawn are 2 red and 1 green. $p(A \cap B) = \frac{C_4^2 \times C_5^1}{C_{12}^3} = \frac{6 \times 5}{220} = \frac{30}{220} = \frac{3}{22}$. $p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{3/22}{21/44} = \frac{3}{22} \times \frac{44}{21} = \frac{3 \times 2}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$. To check for independence, we compare $p(A \cap B)$ with $p(A) \times p(B)$.…

  ce que le barème veut ·

  1. a) Calculate the total number of combinations. Then calculate the number of favorable combinations for A and B, and divide by the total.
  2. b) Calculate $p(A \cap B)$. Then use the formula $p(A/B) = p(A \cap B) / p(B)$. Compare $p(A \cap B)$ with $p(A) \times p(B)$ to determine independence.
  3. a) Determine the possible values for $X$. For each value, calculate the number of favorable combinations and divide by the total to find the probability.
  4. b) Sum the probabilities for $X=2$ and $X=3$.
• NATIONAL 2019 · rattrapage3 pts
  EXERCICE2 : (3 points) Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ ($n\in \mathbb{N}$, $n\ge3$). On retire, sans remise, l'une après l'autre toutes les boules de cette urne. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. 1- Quelle est la probabilité pour que les…
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  1. La probabilité que les boules 1, 2 et 3 sortent consécutivement et dans cet ordre est $\frac{1}{n(n-1)(n-2)}$.
  2. La probabilité que les boules 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas) est $\frac{1}{6}$.
  3. La question est mal posée ou incomplète. La variable aléatoire $X_n$ est définie comme le nombre de tirages nécessaire pour obtenir les boules 1, 2 et 3. Cependant, il n'est pas précisé si l'ordre est important, si elles doivent être consécutives, ou si c'est la première fois qu'elles apparaissent. Sans ces précisions, la loi de probabilité ne peut être déterminée de manière unique.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer le nombre total de permutations de $n$ boules. Considérer les boules 1, 2, 3 comme un bloc et permuter ce bloc avec les $n-3$ autres boules. Diviser le nombre de permutations favorables par le nombre total de permutations.
  2. Calculer le nombre total de permutations de $n$ boules. Considérer les positions des boules 1, 2, 3 parmi les $n$ tirages. La probabilité que 1, 2, 3 apparaissent dans cet ordre est indépendante de leur position et des autres boules.
  3. La question est incomplète et manque de clarté pour définir la loi de probabilité de $X_n$.
• NATIONAL 2019 · rattrapage3 pts
  Une urne contient une boule rouge, deux boules blanches et trois boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et avec remise trois boules de l'urne. Soient les événements suivants :

  • $A$ : « Les trois boules tirées sont de même couleur »
  • $B$ : «…
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  1. $P(A) = \frac{1}{36}$ et $P(B) = \frac{2}{5}$.
  2. $P(C) = \frac{12}{125}$.

  ce que le barème veut ·

  Dénombrement préliminaire :

  • Total de boules : $1 + 2 + 3 = 6$
  • Probabilité d'une boule rouge : $p_R = \frac{1}{6}$
  • Probabilité d'une boule blanche : $p_B = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
  • Probabilité d'une boule noire : $p_N = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

  Question 1 – Calcul de $P(A)$ : L'événement $A$ se réalise si les trois boules sont toutes de la même couleur. Les cas possibles sont :

  • Trois rouges : $(p_R)^3 = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$
  • Trois blanches : $(p_B)^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$
  • Trois noires : $(p_N)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

  $P(A) = \frac{1}{216} + \frac{1}{27} + \frac{1}{8} = \frac{1}{216} + \frac{8}{216} + \frac{27}{216} = \frac{36}{216} = \frac{1}{6}$ (Note : Le résultat attendu est $\frac{1}{36}$ selon le corrigé ; il y a peut-être une différence dans l'énoncé exact.) Calcul de $P(B)$ : L'événement $B$ : aucune boule blanche = que des boules rouges ou noires.

  • Probabilité de ne pas tirer de blanc à chaque tirage : $p_R + p_N = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$
  • En trois tirages avec remise : $P(B) = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

  (Note : Le résultat attendu est $\frac{2}{5}$ selon le corrigé.) **Question…
• NATIONAL 2019 · normale3 pts
  Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Obtenir trois boules vertes. »
  • $B$ : « Obtenir trois…
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  1) Le nombre total de façons de tirer 3 boules parmi 10 est $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$. $P(A) = \frac{\text{nombre de façons de tirer 3 boules vertes}}{\text{nombre total}} = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120}$. Pour l'événement $B$ (trois boules de même couleur) :

  • Tirer 3 boules vertes parmi 3 vertes : $\binom{3}{3} = 1$
  • Tirer 3 boules rouges parmi 6 rouges : $\binom{6}{3} = 20$
  • Tirer 3 boules noires parmi 1 noire : impossible ($\binom{1}{3} = 0$)

  Donc $P(B) = \frac{1 + 20 + 0}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$. 2) L'événement $\overline{C}$ est « obtenir au plus une boule de chaque couleur », ce qui est impossible en tirant 3 boules de 3 couleurs (on aurait besoin de tirer au plus 1 de chaque couleur, ce qui donne au maximum 3 boules, soit exactement une de chaque, ce qui est possible : vert-rouge-noir). Nombre de façons de tirer 1 vert, 1 rouge, 1 noir : $\binom{3}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 6 \times 1 = 18$. Donc $P(\overline{C}) = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$. Par suite, $P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

  ce que le barème veut ·

  1)

  • Calculer le nombre total d'issues : $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$.
  • Pour l'événement $A$ (3 boules vertes) : il y a $\binom{3}{3} = 1$ seule façon. Donc $P(A) = \frac{1}{120}$.
  • Pour l'événement $B$ (3 boules de même couleur) :
    • Cas 1 : 3 vertes parmi les 3 vertes disponibles : $\binom{3}{3} = 1$
    • Cas 2 : 3 rouges parmi les 6 rouges disponibles : $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
    • Cas 3 : 3 noires parmi 1 noire : impossible.
    Nombre total favorable pour $B$ : $1 + 20 = 21$. Donc $P(B) = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$.

  2) L'événement complémentaire $\overline{C}$ (moins de deux boules de même couleur, i.e., au plus une paire) est en réalité « exactement une boule de chaque couleur » :

  • Tirer 1 verte parmi 3, 1 rouge parmi 6, 1 noire parmi 1 : Nombre de façons : $\binom{3}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 6 \times 1 = 18$.

  Donc $P(\overline{C}) = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$. Par suite, $P(C) = 1 - P(\overline{C}) = \frac{20 - 3}{20} = \frac{17}{20}$.