Utiliser les propriétés algébriques du logarithme

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Cette méthode au national

2 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2013 · rattrapage1 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose: $u_n = \frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}$ et $v_n = \ln(u_n)$ 1-Vérifier que : $(\forall n\geq 1)$ ; $v_n = n^2 (\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1)))$ 2-En utilisant le théorème des accroissements finies, montrer que :…
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  1. $v_n = \ln(u_n) = \ln\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right) = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1))$. L'énoncé contient une erreur de transcription, il devrait être $v_n = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1))$ et non $v_n = n^2 (\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1)))$.
  2. Soit $f(x) = \ln(\arctan(x))$. Par le Théorème des Accroissements Finis sur $[n, n+1]$, il existe $c \in ]n, n+1[$ tel que $f(n+1) - f(n) = f'(c)(n+1-n) = f'(c)$. $f'(x) = \frac{1}{\arctan(x)} \cdot \frac{1}{1+x^2}$. Donc $v_n = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1)) = -(f(n+1) - f(n)) = -f'(c) = -\frac{1}{(1+c^2)\arctan(c)}$. L'énoncé contient une erreur de transcription, il devrait être $v_n = \frac{-1}{(1+c^2)\arctan(c)}$ et non $v_n = \frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)}$.
  3. La question est mal formulée et semble incohérente avec les questions précédentes en raison des erreurs de transcription. Si on corrige les erreurs des questions 1 et 2, on peut encadrer $v_n$.
  4. $\lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} \frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)} = \frac{\pi/2}{\pi/2} = 1$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser la propriété du logarithme $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$.
  2. Appliquer le Théorème des Accroissements Finis à la fonction $f(x) = \ln(\arctan(x))$ sur l'intervalle $[n, n+1]$.
  3. Utiliser les inégalités pour encadrer $v_n$ en se basant sur la question 2.
  4. Calculer la limite de $\arctan(n)$ lorsque $n \to +\infty$.
• NATIONAL 2011 · normale2 pts
  Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations logarithmiques suivantes :

  1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 + 4x - 5 = 0$

  b) Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$

  2. Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ l'inéquation :…
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  1. a) $x = 1$ ou $x = -5$

  b) $x = 1$

  2. $x \in ]1 ; +\infty[$

  ce que le barème veut ·

  1) a) Résoudre $x^2 + 4x - 5 = 0$ :

  • Calcul du discriminant : $\Delta = 16 + 20 = 36 > 0$
  • Deux solutions distinctes : $x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$
  • Ensemble solution : $S = \{-5 ; 1\}$

  1) b) Résoudre $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$ sur $]0 ; +\infty[$ :

  • Domaine : $x > 0$, $x + 2 > 0$ et $2x > 0$ donnent $x > 0$
  • Propriété du logarithme : $\ln(x + 2) + \ln(2x) = \ln[2x(x+2)]$
  • Équation devient : $\ln(x^2 + 5) = \ln(2x^2 + 4x)$
  • Donc : $x^2 + 5 = 2x^2 + 4x$
  • Simplification : $x^2 + 4x - 5 = 0$ (équation de la partie 1)a))
  • Solutions : $x = 1$ ou $x = -5$
  • Vérification avec $x > 0$ : seul $x = 1$ convient
  • $S = \{1\}$

  2) Résoudre $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$ sur $]0 ; +\infty[$ :

  • Domaine : $x > 0$, $x + 1 > 0$ et $x^2 + 1 > 0$ donnent $x > 0$
  • Propriété du logarithme : $\ln x + \ln(x+1) = \ln[x(x+1)]$
  • Inéquation : $\ln[x(x+1)] > \ln(x^2 + 1)$
  • Fonction $\ln$ croissante : $x(x+1) > x^2 + 1$
  • Simplification : $x^2 + x > x^2 + 1$
  • Donc : $x > 1$
  • Vérification avec $x > 0$ : $S = ]1 ; +\infty[$
• TYPE BAC2 pts
  Résoudre dans $]0,+\infty[$ l'équation $\ln(x^2)=\ln 5+\ln x$.
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  Comme $x>0$, on a $\ln(x^2)=2\ln x$. L'équation devient $2\ln x=\ln 5+\ln x$, donc $\ln x=\ln 5$. Ainsi, $x=5$.

  ce que le barème veut ·

  Utiliser les propriétés du logarithme : $\ln(x^2)=2\ln x$ pour $x>0$ et l'injectivité de $\ln$.