Utiliser les limites de référence du logarithme

À tenir avant

• Reconnaître une forme indéterminée

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0 \quad \text{et} \quad \forall x\in\,]0,+\infty[,\; f_n(x)=x-x^n\ln x$ On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère…
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  1-a) $f_n$ continue à droite en 0 car $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$. b) $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)/x=-\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique $(Oy)$. c) ${f_n}'_d(0)=1$. d) $f_n'(x)=1-nx^{n-1}\ln x-x^{n-1}$. e) $f_n$ croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$. 2-a,b) $f_{n+1}\leq f_n$ sur $[0,+\infty[$, donc $(C_{n+1})$ est en dessous de $(C_n)$. 3) $\alpha_n$ existe et est unique dans $[1,2]$; suite $(\alpha_n)$ strictement décroissante donc convergente. 4) $1\leq \ell\leq 2$; si $\ell>1$, alors $\lim \frac{\ln(\ln\alpha_n)}{\ln\alpha_n}=-\infty$ ce qui contredit $n-1\to+\infty$ de façon linéaire (contradiction avec le taux), donc nécessairement $\ell=1$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Utiliser $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ (croissances comparées) pour obtenir $f_n(x)\to0=f_n(0)$. b) Factoriser $f_n(x)=x^n(\frac{1}{x^{n-1}}-\ln x)$ ou étudier directement ; $-x^n\ln x\to-\infty$ domine $x$, donc $f_n(x)\to-\infty$. Pour $f_n(x)/x=1-x^{n-1}\ln x\to-\infty$. Interprétation : branche parabolique de direction $(Oy)$. c) Calculer $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}(1-x^{n-1}\ln x)=1$. d) Dériver normalement le produit $x^n\ln x$. e) Étudier le signe de $f_n'(x)=1-x^{n-1}(n\ln x+1)$ : à $x=1$, $f_n'(1)=1-1=0$ (repère du extremum), étudier signe autour, croissante avant 1, décroissante après. 2-a) Comparer $f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n\ln x - x^{n+1}\ln x \cdot ...$ effectuer différence et étudier signe (utilisant $x^n\ln x(1-x)$ typiquement) pour $x\ge0$. b) Traduire l'inégalité en position des courbes : $(C_{n+1})$ sous $(C_n)$. 3-a) Utiliser TVI sur $[1,2]$, continuité et stricte monotonie (décroissante) de $f_n$ sur $[1,+\infty[$, avec $f_n(1)=1>0$ et $f_n(2)$ calculé négatif via $\ln2\approx0,7$. b) Utiliser l'inégalité de 2-a) appliquée en $x=\alpha_n$. c) Comme $f_{n+1}(\alpha_n)\le f_n(\alpha_n)=0$ et $f_{n+1}$ strictement décroissante sur…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  La figure représente les courbes $(C_g)$ de la fonction $g:x\mapsto\ln(1+x)$ définie sur $]-1,+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$, dans un même repère orthonormé.

  1. a) À partir de la figure, justifier que : $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$, pour tout $x$ de…
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  1a) $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$ pour $x>-1$. 1b) $(1+x)\ln(1+x)\ge x$. 1c) $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$. 2) $(u_n)$ est décroissante, minorée par $0$, donc convergente ; $\lim u_n=0$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Sur la figure, la courbe $(C_g)$ est toujours en dessous de la droite $y=x$ (donne $\ln(1+x)\le x$) et au dessus d'une autre courbe correspondant à $x/(1+x)$ (donne $x/(1+x)\le\ln(1+x)$). 1b) On multiplie l'inégalité $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ par $(1+x)>0$ : $x\le(1+x)\ln(1+x)$. 1c) On remplace $x$ par $e^x>0>-1$ dans $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ : $\dfrac{e^x}{1+e^x}\le\ln(1+e^x)$, puis on multiplie par $(1+e^x)>0$ : $e^x\le(1+e^x)\ln(1+e^x)$, d'où le résultat. 2a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$. Si $0<u_n\le1$ alors $1<1+u_n\le2$ donc $0<\ln(1+u_n)\le\ln2<1$, donc $0<u_{n+1}\le1$. 2b) $u_{n+1}-u_n=\ln(1+u_n)-u_n\le0$ d'après 1a) (car $\ln(1+x)\le x$), donc $(u_n)$ décroissante. 2c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$ donc convergente vers une limite $L\in[0,1]$. 2d) $L$ vérifie $L=\ln(1+L)$ ; la seule solution dans $[0
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)$... (Préambule reconstitué d'après le corrigé) On considère la fonction $g:x\mapsto \ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1,+\infty[$, dont la courbe $(C_g)$ et la droite d'équation $y=x$ sont…
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  1. a) Lecture graphique. b) $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$. c) Découle de b) en posant $x\to e^x$.
  2. a) $0<u_n\le1$ pour tout $n$. b) $(u_n)$ décroissante. c) $(u_n)$ converge. d) $\lim u_n=0$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Graphiquement, la courbe $(C_g)$ de $\ln(1+x)$ reste en dessous de la droite $y=x$ et au-dessus de la courbe $y=\dfrac{x}{1+x}$ (non tracée mais déductible), donnant $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$. b) De l'inégalité de gauche : $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$, en multipliant par $(1+x)>0$ (pour $x>-1$) : $x\le(1+x)\ln(1+x)$, donc $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$. c) On remplace $x$ par $e^x>0$ (donc $e^x>-1$) dans l'inégalité de droite $\ln(1+x)\le x$ appliquée différemment : en fait on utilise b) avec $x=e^x$ : $(1+e^x)\ln(1+e^x)-e^x\ge0$, donc $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$.
  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$. Si $0<u_n\le1$, alors $g$ étant croissante, $g(0)<g(u_n)\le g(1)$, i.e. $0<u_{n+1}\le\ln2\le1$, donc $0<u_{n+1}\le1$. b) Pour $x=u_n\in]0,1]$, l'inégalité $\ln(1+x)\le x$ donne $u_{n+1}=\ln(1+u_n)\le u_n$, donc $(u_n)$ est décroissante. c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$, donc convergente. d) La limite $\ell$ vérifie $\ell=\ln(1+\ell)$ avec $\ell\in[0,1]$. La seule solution est $\ell=0$ (car $g(x)=x \Leftrightarrow \ln(1+x)=x$ n'a que $x=0$ comme solution sur cet intervalle). Donc $\lim u_n=0$.
• NATIONAL 2023 · rattrapage3 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I=[0,+\infty[$ par $f_n(0)=0$ et, pour $x>0$, $f_n(x)=\sqrt{x}\,(\ln x)^{2n}$, et soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Partie I

  1. a) Montrer…
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  Partie I : $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}{x}=0$ (branche parabolique de direction $(Ox)$) ; suivant la parité, $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)}{x}=+\infty$ (n pair, demi-tangente verticale) ou $-\infty$ (n impair). $f_n'(x)=0$ ssi $x=1$ ou $x=e^{-2n}$ (n≥2) ; tableaux de variation différents selon parité de n ; pour n impair ≥3, $x=1$ est point d'inflexion. Partie II : $0<u_n<\sqrt e$, $(u_n)$ décroissante, $\lim u_n=0$. $(x_n)$ croissante et convergente. $1<l\le e$, et finalement $l=e$. Partie III : $F$ continue sur $I$ ; formule de $F(x)$ donnée ; $\lim_{x\to0^+}F(x)=\frac{16}{27}$ donc $F(0)=\frac{16}{27}$ ; Volume $V=\pi\int_0^1 x(\ln x)^4dx=\dfrac{3\pi}{4}\ \mathrm{cm}^3\approx 2{,}36\ \mathrm{cm}^3$.

  ce que le barème veut ·

  Partie I : encadrer $\sqrt x(\ln x)^{2n}$ près de 0 par comparaison croissances comparées pour obtenir la limite nulle et la continuité à droite. Calculer directement les limites en $+\infty$ par croissances comparées. Dériver $f_n$ comme produit/composée, factoriser par $(\ln x)^{2n-1}$, résoudre $f_n'(x)=0$. Étudier le signe de $f_n'$ selon la parité de $2n-1$ n'a pas de sens (toujours impair) donc étudier signe de $(2n+\ln x)$ et $x-1$ ; dresser t
• NATIONAL 2023 · rattrapage10 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $I = [0, +\infty[$ par : $f_n(0) = 0$ et pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $f_n(x) = \sqrt{x}(\ln x)^n$. Soit $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie I

  1. a) Vérifier…
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  Partie I – 1. a) $f_n$ est continue à droite en 0 (car $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0 = f_n(0)$). b) $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x} = 0$. Interprétation : la courbe $(C_n)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote oblique. d) Si $n$ est pair : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = 0$. Si $n$ est impair : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = -\infty$. Interprétation géométrique selon la parité. 2. a) Par dérivation : $f_n'(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x}(2n + \ln x)(\ln x)^{n-1}$ pour $x > 0$. b) $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -2n$ ou $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = e^{-2n}$ ou $x = 1$. c) Tableau de variations établi selon parité de $n$ (avec points critiques en $e^{-2n}$ et 1). d) Vérification que pour $n$ impair et $n > 3$, le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion. Partie II – 1. a) $0 < u_n = f_n(\theta) < \sqrt{\theta}$ (car $\theta \in ]1, e[$ et $(\ln \theta)^n \to 0$). b) $(u_n)$ est décroissante. c) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. 2. a) Par théorème des valeurs intermédiaires, il existe unique $x_n \in ]1, e[$ tel que $f_n(x_n) = 1$. b) $(x_n)$ est croissante et convergente. 3. a)…

  ce que le barème veut ·

  Partie I – 1: a) Utiliser le développement limité : $(\ln x)^n \sim 0$ quand $x \to 0^+$, donc $\sqrt{x}(\ln x)^n \to 0$. Continuité à droite en 0 suit. b) Pour $x \to +\infty$, $(\ln x)^n$ croît plus lentement que $\sqrt{x}$, donc $f_n(x) \to +\infty$. c) $\frac{f_n(x)}{x} = \frac{(\ln x)^n}{\sqrt{x}} \to 0$ (croissance logarithmique < puissance). Pas d'asymptote oblique. d) Développement de $\frac{f_n(x)}{x}$ près de 0 ; le signe dépend de la parité de $n$. 2: a) Dériver directement : $f_n'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^n + \sqrt{x} \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}$, puis factoriser. b) $f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow (\ln x)^{n-1}[\frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x) + \frac{n}{\sqrt{x}}] = 0$, d'où $\ln x = 0$ ou $\ln x = -2n$. c) Analyser le signe de $f_n'$ selon parité : si $n$ pair, deux maxima ; si $n$ impair, allure différente. d) Vérifier que $f_n''(1) = 0$ et changement de signe pour $n$ impair et $n > 3$. Partie II – 1: a) $\theta \in ]1, e[$ et $\ln \theta \in ]0, 1[$, donc $(\ln \theta)^n \to 0$, d'où $\sqrt{\theta}(\ln \theta)^n < \sqrt{\theta}$. b) $\frac{u_{n+1}}{u_n} = (\ln \theta) < 1$, donc décroissante. c) Suite décroissante minorée par 0, donc…
• NATIONAL 2022 · normale4 pts
  Partie B On considère la fonction $f$ définie sur $I = [0, +\infty)$ par : $f(0) = \frac{1}{2} \text{ et pour tout } x \in ]0, +\infty[ : f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1.…
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  1. a) $f$ est continue à droite en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2} = f(0)$ (par développement limité ou règle de L'Hôpital). b) $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0) = -\frac{1}{6}$ (par étude du taux d'accroissement). c) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Interprétation graphique : La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ en $+\infty$. 2. a) $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ où $g(x) = x + \frac{x}{x+1} - 2\ln(1+x)$ pour $x \in ]0, +\infty[$. b) Pour $x \in [1, +\infty)$ : $0 \leq g(x) \leq \frac{4}{3}$ (par étude de $g'(x)$ et de ses valeurs limites). c) L'inégalité se déduit directement. d) Puisque $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, on a $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty)$. Pour $x \in ]0, 1[$, on montre que $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante sur $]0, 1[$. 3. a) Tableau de variation : | $x$ | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $\frac{1}{2}$ | $\searrow$ | minimum | $\nearrow$ | $0$ |…

  ce que le barème veut ·

  Question 1.a : Utiliser le développement limité $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ pour montrer $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$. Question 1.b : Calculer le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ et montrer qu'il converge vers $-\frac{1}{6}$ quand $x \to 0^+$. Question 1.c : Pour $x \to +\infty$, $\frac{\ln(1+x)}{x^2} \to 0$ et $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$, donc $f(x) \to 0$. Question 2.a : Dériver $f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ en utilisant la règle du quotient : $f'(x) = \frac{x^2 \cdot (1 - \frac{1}{1+x}) - 2x(x - \ln(1+x))}{x^4} = \frac{g(x)}{x^3}$. Question 2.b-c : Étudier $g'(x) = 1 + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{1+x}$. Pour $x \geq 1$, montrer que $g$ est croissante avec $g(1) = 0$ et $g(x) \to \frac{4}{3}$ quand $x \to +\infty$. Question 2.d : Puisque $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, $f$ croît sur $[1, +\infty)$ ; pour $0 < x < 1$, $g(x) < 0$, donc $f$ décroît sur $]0, 1[$. Question 3.a : Compiler les résultats précédents dans un tableau synthétique. Question 3.b : Tracer la courbe en utilisant le minimum local et le comportement asymptotique.
• NATIONAL 2022 · normale4 pts
  1 $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): Partie D Pour tout $x \in I = [0, +\infty)$, on définit : $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ 1. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x \in I$. 2. a) En utilisant la méthode d'intégration par…
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  1. La fonction $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
  2. a) $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ est incorrect. L'énoncé correct est $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$. L'expression est $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$. b) $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2\ln 2 - 1$. On en déduit $\int_0^1 f(t) \, dt = 2\ln 2 - 1$. c) L'aire est $(2\ln 2 - 1) \times 4 \text{ cm}^2 = (8\ln 2 - 4) \text{ cm}^2$.
  3. a) $0 \leq D_k \leq f(k) - f(k+1)$. b) $0 \leq S_n \leq \frac{1}{2}$. c) La suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et sa limite $L$ vérifie $\frac{3}{2} - 2\ln 2 \leq L \leq \frac{1}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse.
  2. a) Utiliser l'intégration par parties avec $u(t) = \ln(1+t)$ et $v'(t) = \frac{1}{t^2}$. b) Calculer la limite en utilisant le développement limité de $\ln(1+x)$ ou la règle de L'Hôpital. c) L'aire est donnée par $\int_0^1 f(t) \, dt$ multipliée par l'échelle des axes.
  3. a) Utiliser le théorème des accroissements finis ou l'inégalité des fonctions monotones. b) Sommer les inégalités pour $D_k$. c) Montrer que $(S_n)$ est monotone et bornée, puis encadrer sa limite.
• NATIONAL 2020 · normale4 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par $g(x) = 2\sqrt{x} - 2 - \ln x$. 1)a) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$, $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$. c) En déduire que pour tout $x$ de…
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  1)a) $g'(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - 2 - \ln x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 - \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. b) Pour $x \in [1, +\infty[$, $x > 0$ et $\sqrt{x} \geq 1$, donc $\sqrt{x}-1 \geq 0$. Ainsi $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \geq 0$. Par conséquent, $g$ est croissante sur $[1, +\infty[$. c) Pour $x \in [1, +\infty[$, $g(x) \geq g(1)$. $g(1) = 2\sqrt{1} - 2 - \ln 1 = 2 - 2 - 0 = 0$. Donc $g(x) \geq 0$ pour $x \in [1, +\infty[$, ce qui signifie $2\sqrt{x} - 2 - \ln x \geq 0$. Cela implique $2\sqrt{x} - 2 \geq \ln x$. Puisque $2\sqrt{x} - 2 \leq 2\sqrt{x}$, on a $\ln x \leq 2\sqrt{x}$. De plus, pour $x \geq 1$, $\ln x \geq 0$. Donc $0 \leq \ln x \leq 2\sqrt{x}$. d) Pour $x \in [1, +\infty[$, on a $0 \leq \ln x \leq 2\sqrt{x}$. En élevant au carré, $0 \leq (\ln x)^2 \leq (2\sqrt{x})^2 = 4x$. En divisant par $x^2$ (qui est positif), $0 \leq \frac{(\ln x)^2}{x^2} \leq \frac{4x}{x^2} = \frac{4}{x}$. L'énoncé demande $0 \leq \frac{(\ln x)^2}{x^2} \leq \frac{8}{x\sqrt{x}}$. Il y a une légère différence avec ma déduction. Let's re-evaluate the inequality…

  ce que le barème veut ·

  1.a. Differentiate $g(x)$ with respect to $x$ and simplify the expression. 1.b. Analyze the sign of $g'(x)$ on the interval $[1, +\infty[$ to determine the monotonicity of $g$. 1.c. Use the result from 1.b ($g(x) \geq g(1)$) to establish the inequality for $\ln x$. 1.d. Use the inequality from 1.c to bound $\frac{(\ln x)^2}{x^2}$ and then apply the squeeze theorem to find the limit. 2.a. Differentiate $G(x)$ with respect to $x$ and show that $G'(x) = g(x)$. 2.b. Use the fundamental theorem of calculus to evaluate the definite integral using the primitive $G(x)$.