Dériver ln(u)

À tenir avant

• Dériver un produit, un quotient, une composée
• Utiliser les propriétés algébriques du logarithme

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2022 · normale4 pts
  1 $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): Partie D Pour tout $x \in I = [0, +\infty)$, on définit : $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ 1. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x \in I$. 2. a) En utilisant la méthode d'intégration par…
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  1. La fonction $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
  2. a) $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ est incorrect. L'énoncé correct est $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$. L'expression est $F(x) = 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \frac{\ln(1+x)}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$. b) $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2\ln 2 - 1$. On en déduit $\int_0^1 f(t) \, dt = 2\ln 2 - 1$. c) L'aire est $(2\ln 2 - 1) \times 4 \text{ cm}^2 = (8\ln 2 - 4) \text{ cm}^2$.
  3. a) $0 \leq D_k \leq f(k) - f(k+1)$. b) $0 \leq S_n \leq \frac{1}{2}$. c) La suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et sa limite $L$ vérifie $\frac{3}{2} - 2\ln 2 \leq L \leq \frac{1}{2}$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse.
  2. a) Utiliser l'intégration par parties avec $u(t) = \ln(1+t)$ et $v'(t) = \frac{1}{t^2}$. b) Calculer la limite en utilisant le développement limité de $\ln(1+x)$ ou la règle de L'Hôpital. c) L'aire est donnée par $\int_0^1 f(t) \, dt$ multipliée par l'échelle des axes.
  3. a) Utiliser le théorème des accroissements finis ou l'inégalité des fonctions monotones. b) Sommer les inégalités pour $D_k$. c) Montrer que $(S_n)$ est monotone et bornée, puis encadrer sa limite.
• NATIONAL 2021 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $h(x) = x + \ln x$.

  1. Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Déterminer $h(]0; +\infty[)$.
  3. a) En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique…
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  1. La fonction $h$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. $h'(x) = 1 + \frac{1}{x}$. Pour tout $x \in ]0; +\infty[$, $1 > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$, donc $h'(x) > 0$. Par conséquent, la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Puisque $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$, son image est l'intervalle $]\lim_{x \to 0^+} h(x); \lim_{x \to +\infty} h(x)[$. $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x) = +\infty + (+\infty) = +\infty$. Donc $h(]0; +\infty[) = ]-\infty; +\infty[ = \mathbb{R}$.
  3. a) La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$. De plus, $0 \in \mathbb{R} = h(]0; +\infty[)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0; +\infty[$. b) On calcule $h(1) = 1 + \ln(1) = 1 + 0 = 1$. On sait que $h(\alpha) = 0$. Puisque $h$ est strictement croissante et $h(\alpha) = 0 < h(1) = 1$, on en déduit que $\alpha < 1$. Pour montrer $0 < \alpha$, on peut évaluer $h(x)$ pour une valeur proche de 0, par exemple…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer la dérivée $h'(x)$ et vérifier son signe sur $]0; +\infty[$.
  2. Calculer les limites de $h(x)$ aux bornes de l'intervalle de définition pour déterminer l'image.
  3. a) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. b) Évaluer $h(x)$ en des points pertinents (comme $x=1$) pour encadrer $\alpha$.
  4. a) Utiliser la définition de $h(x)$ et la relation $h(\alpha)=0$ pour simplifier l'expression. b) Utiliser l'inégalité $x + 1/x \ge 2$ pour $x>0$.
• NATIONAL 2015 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t}{t}\, dt$

  1. Montrer que la fonction $g$ est paire.
  2. Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et calculer $g'(x)$ pour $x > 0$.
  3. a) En utilisant une…
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  1. $g(-x) = \int_{-2x}^{-3x} \frac{\cos t}{t}\, dt$. Par changement $u = -t$ : $\int_{2x}^{3x} \frac{\cos(-u)}{-u} (-du) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos u}{u}\, du = g(x)$. Donc $g$ est paire.
  2. Pour $x > 0$ : par la règle de Leibniz,

  $g'(x) = \frac{\cos 3x}{3x} \cdot 3 - \frac{\cos 2x}{2x} \cdot 2 = \frac{\cos 3x}{x} - \frac{\cos 2x}{x} = \frac{\cos 3x - \cos 2x}{x}$

  3. a) Intégration par parties : $u = \frac{1}{t}$, $dv = \cos t\, dt$ :

  $\left[\frac{\sin t}{t}\right]_{2x}^{3x} - \int_{2x}^{3x} \sin t \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)\, dt = \frac{\sin 3x}{3x} - \frac{\sin 2x}{2x} + \int_{2x}^{3x} \frac{\sin t}{t^2}\, dt$ ✓ b) De (a) : $|g(x)| \leq \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} + \int_{2x}^{3x} \frac{1}{t^2}\, dt = \frac{5}{6x} + \left[-\frac{1}{t}\right]_{2x}^{3x} = \frac{5}{6x} + \frac{1}{6x} = \frac{1}{x}$. Correction : borner plus finement pour obtenir $\leq \frac{2}{x}$. Donc $\lim_{x\to+\infty} g(x) = 0$.

  4. a) $1 - \cos t \geq 0$ pour tout $t$. Et $1 - \cos t \leq \frac{t^2}{2}$ pour $t \leq 2\pi$ (ou utiliser $1-\cos t = 2\sin^2(t/2)$).…

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser la parité de $\cos$ et changement de variable $u = -t$ pour montrer $g(-x) = g(x)$.
  2. Appliquer la règle de Leibniz (dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre) :

  $\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

  3. a) Intégration par parties standard avec $u = 1/t$ et $dv = \cos t\, dt$.

  b) Borner chaque terme du résultat de (a) : $|\sin 3x| \leq 1$, $|\sin 2x| \leq 1$, intégrale $\leq \int_{2x}^{3x} \frac{dt}{t^2}$.

  4. a) Justifier $0 \leq 1 - \cos t$ et appliquer la borne $1 - \cos t \leq \frac{t^2}{2}$ (ou utiliser $\sin^2$).

  b) Utiliser $\ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{dt}{t}$ et combiner avec (a). c) Montrer que l'intégrale $\to 0$ quand $x \to 0^+$ par bornage et convergence dominée.
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[0, +\infty[$ par : $g(0) = \ln 2 \quad \text{et} \quad g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt \quad \text{pour } x > 0$ 1- a) Montrer que :…
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  1- a) Pour $t \in [x, 2x]$ avec $x > 0$, on a $x \leq t \leq 2x$. Comme l'exponentielle est strictement croissante, $e^x \leq e^t \leq e^{2x}$. ✓ b) Par la monotonie de l'intégrale : $\int_x^{2x} e^x \, dt < \int_x^{2x} e^t \, dt < \int_x^{2x} e^{2x} \, dt$ $e^x (2x - x) < g(x) < e^{2x}(2x - x)$ $e^x \cdot x < g(x) < e^{2x} \cdot x$ Correction : On doit avoir $e^x \int_x^{2x} \frac{dt}{t} < g(x) < e^{2x} \int_x^{2x} \frac{dt}{t}$, soit $e^x \ln 2 < g(x) < e^{2x} \ln 2$. ✓ c) $\lim_{x \to 0^+} e^x \ln 2 = \ln 2$ et $\lim_{x \to 0^+} e^{2x} \ln 2 = \ln 2$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln 2 = g(0)$. Donc $g$ est continue à droite en $0$. ✓ 2- Pour $x > 0$, appliquer la règle de Leibniz (dérivée d'une intégrale à bornes variables) : $g'(x) = \frac{d}{dx} \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} \cdot 1 = \frac{e^{2x}}{x} - \frac{e^x}{x} = \frac{e^{2x} - e^x}{x}$ Donc $g'(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{x}$ pour $x > 0$. ✓ 3- a) Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $h(t) = e^t$ sur $[0, t]$ (pour $t > 0$) : $\exists c \in (0, t) : h(t) - h(0) = h'(c)(t - 0)$…

  ce que le barème veut ·

  Inégalités avec exponentielle : Exploiter la croissance stricte de $e^t$ pour comparer les valeurs à différents points. Monotonie de l'intégrale : Si $f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(t) \, dt \leq \int_a^b g(t) \, dt$. Théorème des gendarmes : Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$. Continuité via limite : Montrer $\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$ pour la continuité à droite en $c$. Dérivée d'une intégrale paramétrique (règle de Leibniz) : $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x) \, dt = \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) \, dt + f(b(x), x) b'(x) - f(a(x), x) a'(x)$ Pour le cas particulier $g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt$ (sans dépendance en $x$ dans l'intégrande) : $g'(x) = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} \cdot 1$ Théorème des accroissements finis (TAF) : Si $h$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, alors $\exists c \in (a, b) : h'(c) = \frac{h(b) - h(a)}{b - a}$. Encadrement et dérivabilité : Pour montrer la dérivabilité à droite, montrer que $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{x}$ existe. Utiliser des encadrements pour le…
• NATIONAL 2015 · rattrapage4 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $g(x) = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t}{t} dt$ 1- Montrer que la fonction $g$ est paire. 2- Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ puis calculer $g'(x)$ pour $x > 0$. 3-a) En utilisant une…
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  1- La fonction $g$ est paire. 2- La fonction $g$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. Pour $x > 0$, $g'(x) = \frac{\cos(3x)}{x} - \frac{\cos(2x)}{x}$. 3-a) L'égalité est vérifiée. 3-b) Pour $x > 0$, $|g(x)| \le \frac{2}{x}$. En déduire $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$. 4-a) Pour $x > 0$, $0 \le \int_{2x}^{3x} \frac{1 - \cos t}{t} dt \le 2x$. 4-b) L'égalité $g(x) - \ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{\cos t - 1}{t} dt$ est vérifiée. 4-c) $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln 3$.

  ce que le barème veut ·

  1- Calculer $g(-x)$ et montrer que $g(-x) = g(x)$. 2- Utiliser le théorème fondamental du calcul intégral pour dériver $g(x)$. 3-a) Appliquer l'intégration par parties à $\int \frac{\cos t}{t} dt$ avec $u = \frac{1}{t}$ et $dv = \cos t dt$. 3-b) Utiliser l'inégalité $|\cos t| \le 1$ pour majorer l'intégrale, puis le théorème des gendarmes. 4-a) Utiliser l'inégalité $1 - \cos t \le t$ et les bornes d'intégration. 4-b) Réécrire $g(x) - \ln 3$ en utilisant $\ln 3 = \int_{2x}^{3x} \frac{1}{t} dt$. 4-c) Utiliser le résultat de 4-b) et le théorème des gendarmes avec l'inégalité de 4-a).
• NATIONAL 2014 · normale2 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$

  1. Montrer que $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$, et en déduire que $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$.
  2. Vérifier que $g(1) = 0$, puis en…
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  1. $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x > 0$, et $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$.
  2. $g(1) = 0$. On a : $g(x) < 0$ pour $x \in ]0, 1]$ et $g(x) > 0$ pour $x \in [1, +\infty[$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1 :

  • Calculer la dérivée : $g'(x) = 0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.
  • Analyser le signe : Pour tout $x > 0$, on a $\frac{1}{x^2} > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$.
  • Donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.
  • Conclusion : $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$.

  Question 2 :

  • Vérifier $g(1) = 0$ : $g(1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0$ ✓.
  • Puisque $g$ est croissante et $g(1) = 0$ :
    • Pour $x \in ]0, 1[$ : $g(x) < g(1) = 0$, donc $g(x) < 0$.
    • Pour $x \in ]1, +\infty[$ : $g(x) > g(1) = 0$, donc $g(x) > 0$.
    • Pour $x = 1$ : $g(1) = 0$.
  • Résumé : $g(x) < 0$ sur $]0, 1[$ et $g(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$ (avec $g(1) = 0$).
• NATIONAL 2014 · normale2 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$

  1. Montrer que $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ pour tout $x \in ]0; +\infty[$ et en déduire que $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$.
  2. Vérifier que $g(1) = 0$, puis en déduire…
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  1) $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ et $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$. 2) $g(1) = 0$, avec $g(x) < 0$ sur $]0, 1]$ et $g(x) > 0$ sur $[1; +\infty[$.

  ce que le barème veut ·

  Question 1) - Calculer $g'(x)$ et démontrer la croissance $g(x) = 1 - \dfrac{1}{x} + \ln x$ $g'(x) = 0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ Mettre au même dénominateur : $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2} = \frac{1 + x}{x^2}$ Note OCR : l'énoncé donne $g'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$. Cela suggère une formule erronée. Avec le calcul correct $g'(x) = \dfrac{1+x}{x^2}$, on a $g'(x) > 0$ pour tout $x > 0$, donc $g$ est croissante. Pour $x > 0$ : $1 + x > 0$ et $x^2 > 0$, donc $g'(x) > 0$. Par conséquent, $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. Question 2) - Vérifier $g(1) = 0$ et en déduire le signe $g(1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0$ ✓ Puisque $g$ est croissante sur $]0; +\infty[$ et $g(1) = 0$ :

  • Pour $x \in ]0, 1[$, on a $x < 1$, donc $g(x) < g(1) = 0$.
  • Pour $x \in ]1, +\infty[$, on a $x > 1$, donc $g(x) > g(1) = 0$.
  • En $x = 1$, $g(1) = 0$.

  Donc :

  • $g(x) < 0$ pour $x \in ]0, 1]$
  • $g(x) > 0$ pour $x \in [1, +\infty[$
• NATIONAL 2014 · normale8 pts
  I) On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$

  1. Montrer que $g'(x) = \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$ pour tout $x \in ]0;+\infty[$ et en déduire que $g$ est croissante sur $]0;+\infty[$ c - Vérifier que $g(1) = 0$ puis en déduire que…
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  1. $g'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$. Pour $x \in ]0, +\infty[$, $x>0$ et $x^2>0$, donc $g'(x)>0$. Par conséquent, $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$. c) $g(1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 - 1 + 0 = 0$. Comme $g$ est croissante sur $]0, +\infty[$:

  • Pour $x \in ]0, 1]$, $x \leq 1 \implies g(x) \leq g(1) \implies g(x) \leq 0$.
  • For $x \in [1, +\infty[$, $x \geq 1 \implies g(x) \geq g(1) \implies g(x) \geq 0$. II)

  1. $\lim_{x\to0+} f(x) = \lim_{x\to0+} \left(1+\frac{1}{x} + \ln x\right)^2+\frac{1}{x}$. On a $\lim_{x\to0+} \frac{1}{x} = +\infty$ and $\lim_{x\to0+} \ln x = -\infty$. However, $\lim_{x\to0+} (1+\frac{1}{x} + \ln x) = \lim_{x\to0+} \frac{1+x+x\ln x}{x}$. Since $\lim_{x\to0+} x\ln x = 0$, the numerator approaches $1$. So $\lim_{x\to0+} (1+\frac{1}{x} + \ln x) = +\infty$. Therefore, $\lim_{x\to0+} f(x) = (+\infty)^2 + (+\infty) = +\infty$. Interpretation: The line $x=0$ (y-axis) is a vertical asymptote to the curve (C).
  2. a) $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x} + \ln x\right)^2+\frac{1}{x}$. As $x \to +\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$ and $\ln x \to +\infty$. So $\lim_{x\to+\infty} (1+\frac{1}{x} + \ln x) = +\infty$.…

  ce que le barème veut ·

  1. Calculate $g'(x)$ and determine its sign. Use $g(1)$ to find the sign of $g(x)$ on intervals.
  2. Calculate limits of $f(x)$ at boundaries and interpret geometrically. Calculate $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ to determine infinite branches.
  3. Use the given relation $f'(x) = \frac{2g(x)}{x^2}$ and the sign of $g(x)$ to determine the variations of $f(x)$.
  4. Construct the table of variations and sketch the curve using key points and asymptotes.