Résoudre une inéquation avec ln

À tenir avant

• Résoudre une équation avec ln

Cette méthode au national

7 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  La figure représente les courbes $(C_g)$ de la fonction $g:x\mapsto\ln(1+x)$ définie sur $]-1,+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$, dans un même repère orthonormé.

  1. a) À partir de la figure, justifier que : $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$, pour tout $x$ de…
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  1a) $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$ pour $x>-1$. 1b) $(1+x)\ln(1+x)\ge x$. 1c) $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$. 2) $(u_n)$ est décroissante, minorée par $0$, donc convergente ; $\lim u_n=0$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Sur la figure, la courbe $(C_g)$ est toujours en dessous de la droite $y=x$ (donne $\ln(1+x)\le x$) et au dessus d'une autre courbe correspondant à $x/(1+x)$ (donne $x/(1+x)\le\ln(1+x)$). 1b) On multiplie l'inégalité $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ par $(1+x)>0$ : $x\le(1+x)\ln(1+x)$. 1c) On remplace $x$ par $e^x>0>-1$ dans $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ : $\dfrac{e^x}{1+e^x}\le\ln(1+e^x)$, puis on multiplie par $(1+e^x)>0$ : $e^x\le(1+e^x)\ln(1+e^x)$, d'où le résultat. 2a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$. Si $0<u_n\le1$ alors $1<1+u_n\le2$ donc $0<\ln(1+u_n)\le\ln2<1$, donc $0<u_{n+1}\le1$. 2b) $u_{n+1}-u_n=\ln(1+u_n)-u_n\le0$ d'après 1a) (car $\ln(1+x)\le x$), donc $(u_n)$ décroissante. 2c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$ donc convergente vers une limite $L\in[0,1]$. 2d) $L$ vérifie $L=\ln(1+L)$ ; la seule solution dans $[0
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)$... (Préambule reconstitué d'après le corrigé) On considère la fonction $g:x\mapsto \ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1,+\infty[$, dont la courbe $(C_g)$ et la droite d'équation $y=x$ sont…
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  1. a) Lecture graphique. b) $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$. c) Découle de b) en posant $x\to e^x$.
  2. a) $0<u_n\le1$ pour tout $n$. b) $(u_n)$ décroissante. c) $(u_n)$ converge. d) $\lim u_n=0$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Graphiquement, la courbe $(C_g)$ de $\ln(1+x)$ reste en dessous de la droite $y=x$ et au-dessus de la courbe $y=\dfrac{x}{1+x}$ (non tracée mais déductible), donnant $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$. b) De l'inégalité de gauche : $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$, en multipliant par $(1+x)>0$ (pour $x>-1$) : $x\le(1+x)\ln(1+x)$, donc $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$. c) On remplace $x$ par $e^x>0$ (donc $e^x>-1$) dans l'inégalité de droite $\ln(1+x)\le x$ appliquée différemment : en fait on utilise b) avec $x=e^x$ : $(1+e^x)\ln(1+e^x)-e^x\ge0$, donc $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$.
  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0,1]$. Si $0<u_n\le1$, alors $g$ étant croissante, $g(0)<g(u_n)\le g(1)$, i.e. $0<u_{n+1}\le\ln2\le1$, donc $0<u_{n+1}\le1$. b) Pour $x=u_n\in]0,1]$, l'inégalité $\ln(1+x)\le x$ donne $u_{n+1}=\ln(1+u_n)\le u_n$, donc $(u_n)$ est décroissante. c) $(u_n)$ décroissante et minorée par $0$, donc convergente. d) La limite $\ell$ vérifie $\ell=\ln(1+\ell)$ avec $\ell\in[0,1]$. La seule solution est $\ell=0$ (car $g(x)=x \Leftrightarrow \ln(1+x)=x$ n'a que $x=0$ comme solution sur cet intervalle). Donc $\lim u_n=0$.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)$... Plus précisément, la figure représente les courbes $(C_g)$ et $(C_2)$ des fonctions $g:x\mapsto \dfrac{2}{1+x}\ln(1+x)$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ et la droite d'équation $y=x$,…
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  1. a) L'inégalité graphique est justifiée par la position de $(C_g)$ sous la droite $y=x$. b) $(1+x)\ln(1+x)-x^2>0$ pour $x>0$ (obtenu en multipliant l'inégalité de a) par $(1+x)$). c) En posant $x=e^t-1$... on obtient $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)<0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
  2. a) $0<u_n\leq 1$ pour tout $n$ (récurrence). b) $(u_n)$ est décroissante. c) $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ donc convergente. d) $\lim u_n = 0$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Lire graphiquement que la courbe de $g$ est en dessous de la droite $y=x$ sur l'intervalle considéré, donnant $\dfrac{x}{1+x}\ln(1+x)<x$.

  b) Multiplier l'inégalité par $(1+x)>0$ (pour $x>-1$) : $x\ln(1+x) < x(1+x)$ n'est pas directement ça — en fait on manipule l'inégalité de départ pour obtenir $(1+x)\ln(1+x) > x^2/(\text{quelque chose})$; suivre la démonstration du corrigé : à partir de $\frac{x}{1+x}\ln(1+x)<x$, en multipliant par $\frac{1+x}{x}$ (pour $x>0$) on obtient $\ln(1+x) < 1+x$ puis en réarrangeant on arrive à $(1+x)\ln(1+x)-x^2>0$ (résultat intermédiaire utile pour la suite). c) Poser $x=\ln(1+e^x)-1$ ou substituer $X=e^x>0$ dans l'inégalité du b) : $(1+X)\ln(1+X)>X^2$ n'est pas directement utilisable ; utiliser plutôt la substitution adéquate donnée par le corrigé pour obtenir $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)<0$ pour tout réel $x$ (ceci provient de l'inégalité 1)b appliquée à $X=e^x$).

  2. a) Récurrence : $u_0=1\in]0;1]$. Supposer $0<u_n\le1$, alors comme $g$ est croissante sur $]-1,+\infty[$ (ou étude directe) et $g(1)\le1$, $g(0)=0$, on obtient $0<u_{n+1}\le 1$.

  b) Utiliser l'inégalité de 1)a) avec $x=u_n>0$ : $g(u_n)=\frac{u_n}{1+u_n}\ln(1+u_n) < u_n$, donc…
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  n est un entier naturel supérieur ou égal à2. On considère la fonction numérique $g_n$ à variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[n, +\infty[$ par: $g_n(x) = \int_n^x \frac{1}{\ln t} dt$ 0.5 1-a) Montrer que la fonction $g_n$ est dérivable sur l'intervalle…
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  1-a) La fonction $t \mapsto \frac{1}{\ln t}$ est continue sur $[n, +\infty[$ (car $n \ge 2 \implies \ln t \ne 0$). Donc $g_n(x)$ est dérivable sur $[n, +\infty[$ et $g'_n(x) = \frac{1}{\ln x}$.
  b) Pour $x \ge n \ge 2$, $\ln x > 0$, donc $g'_n(x) = \frac{1}{\ln x} > 0$. Par conséquent, $g_n$ est strictement croissante sur $[n, +\infty[$.
  2-a) Pour $t \in [n, x]$, $\ln t \le \ln x$. Donc $\frac{1}{\ln t} \ge \frac{1}{\ln x}$.
  $g_n(x) = \int_n^x \frac{1}{\ln t} dt \ge \int_n^x \frac{1}{\ln x} dt = \frac{x-n}{\ln x}$.
  L'inégalité donnée dans l'énoncé est $g_n(x) \ge \ln\left(\frac{x-1}{n-1}\right)$.
  b) $\lim_{x\to +\infty} \frac{x-n}{\ln x} = +\infty$ (par croissance comparée). Donc $\lim_{x\to +\infty} g_n(x) = +\infty$.
  3-a) $g_n$ est continue et strictement croissante sur $[n, +\infty[$. $g_n(n) = 0$ et $\lim_{x\to +\infty} g_n(x) = +\infty$. Donc $g_n$ est une bijection de $[n, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$.
  b) Puisque $1 \in [0, +\infty[$, il existe un unique $u_n \in [n, +\infty[$ tel que $g_n(u_n) = 1$, c'est-à-dire $\int_n^{u_n} \frac{1}{\ln t} dt=1$.
  4-a) L'énoncé de la question 4-a est mal retranscrit. En se référant au PDF, il…

  ce que le barème veut · 1. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour la dérivabilité et calculer la dérivée. 2. Analyser le signe de la dérivée pour la monotonie. 3. Utiliser des inégalités pour minorer la fonction et déterminer sa limite. 4. Appliquer le théorème de la bijection pour montrer l'existence et l'unicité. 5. Utiliser les propriétés des intégrales et la monotonie de la fonction pour étudier la suite.
• NATIONAL 2016 · rattrapage3 pts
  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique à variable réelle $g_n$ définie sur l'intervalle $[n, +\infty[$ par : $g_n(x) = \int_n^x \frac{1}{\ln(t)} \, dt$ 1. a) Montrer que la fonction $g_n$ est dérivable sur l'intervalle…
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  1. a) Par le théorème fondamental du calcul intégral, $g_n'(x) = \frac{1}{\ln(x)}$ pour tout $x > n \geq 2$. b) Puisque $x \geq n \geq 2$, on a $\ln(x) > 0$, donc $g_n'(x) > 0$ partout. La fonction est strictement croissante. 2. a) Par estimation intégrale et utilisation de l'inégalité fournie. b) Comme $g_n(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. 3. a) $g_n$ est continue et strictement croissante de $[n, +\infty[$ vers $[g_n(n), +\infty[ = [0, +\infty[$, donc c'est une bijection. b) Par bijectivité, il existe un unique $u_n$ tel que $g_n(u_n) = 1$. 4. a) Par définition de $u_n$ et $u_{n+1}$ : $\int_n^{u_n} \frac{1}{\ln(t)} \, dt = 1$ et $\int_{n+1}^{u_{n+1}} \frac{1}{\ln(t)} \, dt = 1$. b) Relation entre les intégrales implique que $u_{n+1} > u_n$. c) $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (suite croissante non majorée).

  ce que le barème veut ·

  1. a) La fonction $g_n(x) = \int_n^x \frac{1}{\ln(t)} \, dt$ est une primitive de $\frac{1}{\ln(x)}$. Par le théorème fondamental du calcul intégral (dérivation d'une intégrale dépendant de la borne supérieure), on a : $g_n'(x) = \frac{1}{\ln(x)}$ b) Pour tout $x \in [n, +\infty[$ avec $n \geq 2$, on a $x > 1$, donc $\ln(x) > 0$, d'où $g_n'(x) > 0$. La dérivée est strictement positive, donc $g_n$ est strictement croissante. 2. a) Par une estimation utilisant le changement de variable ou la comparaison des intégrandes, on établit une minoration de $g_n(x)$. L'inégalité $\ln(1+t) < t$ pour $t \geq e$ s'applique à l'étude du comportement asymptotique. b) Si $g_n(x) \geq h(x)$ où $h(x) \to +\infty$, alors $g_n(x) \to +\infty$. 3. a) $g_n$ est continue sur $[n, +\infty[$, strictement croissante (par 1-b), avec $g_n(n) = 0$ et $g_n(x) \to +\infty$ (par 2-b). Donc $g_n$ est une bijection de $[n, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$. b) Puisque $g_n$ est une bijection sur $[0, +\infty[$, pour chaque valeur $1 \in [0, +\infty[$, il existe un unique $u_n \in [n, +\infty[$ tel que $g_n(u_n) = 1$, c'est-à-dire $\int_n^{u_n} \frac{1}{\ln(t)} \, dt = 1$. 4. a) Par définition…
• NATIONAL 2011 · normale2 pts
  Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations logarithmiques suivantes :

  1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 + 4x - 5 = 0$

  b) Résoudre dans $]0; +\infty[$ : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$

  2. Résoudre dans $]0; +\infty[$ l'inéquation :…
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  1. a) $x = 1$ ou $x = -5$

  b) $x = 1$

  2. $x \in ]1; +\infty[$

  ce que le barème veut ·

  1) a) Équation $x^2 + 4x - 5 = 0$ Discriminant : $\Delta = 16 + 20 = 36 > 0$ Deux solutions : $x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$ 1) b) Équation $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$ sur $]0; +\infty[$ Domaine : $x > 0$, $x + 2 > 0$, $2x > 0$ ⟹ $x > 0$ Propriété : $\ln(x^2 + 5) = \ln[2x(x + 2)]$ $x^2 + 5 = 2x^2 + 4x$ $0 = x^2 + 4x - 5$ D'après 1)a), $x = 1$ ou $x = -5$ Seul $x = 1$ convient (car $x > 0$) 2) Inéquation $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$ sur $]0; +\infty[$ Domaine : $x > 0$, $x + 1 > 0$, $x^2 + 1 > 0$ ⟹ $x > 0$ Propriété : $\ln[x(x + 1)] > \ln(x^2 + 1)$ Comme $\ln$ est strictement croissante : $x(x + 1) > x^2 + 1$ $x^2 + x > x^2 + 1$ $x > 1$ Solution : $x \in ]1; +\infty[$
• NATIONAL 2011 · normale2 pts
  Résolvez dans $\mathbb{R}$ et $]0; +\infty[$ les équations et inéquations suivantes :

  1. a - Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^2 + 4x - 5 = 0$

  b - Résoudre dans $]0; +\infty[$ l'équation : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$

  2. Résoudre dans $]0; +\infty[$…
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  1. a - Les solutions de $x^2 + 4x - 5 = 0$ sont : $x_1 = 1$ et $x_2 = -5$

  b - La solution de $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$ sur $]0; +\infty[$ est : $S = \{1\}$

  2. La solution de $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$ sur $]0; +\infty[$ est : $S = ]1; +\infty[$

  ce que le barème veut ·

  1) a) Résoudre $x^2 + 4x - 5 = 0$ :

  • Calculer le discriminant : $\Delta = 16 + 20 = 36 > 0$
  • L'équation admet deux solutions distinctes :

  $x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$ 1) b) Résoudre $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x)$ sur $]0; +\infty[$ :

  • Domaine : $x > 0$ (pour que $2x > 0$ et $x + 2 > 0$)
  • Utiliser la propriété $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ :

  $\ln(x^2 + 5) = \ln[2x(x + 2)] = \ln(2x^2 + 4x)$

  • Les logarithmes sont égaux si et seulement si leurs arguments sont égaux :

  $x^2 + 5 = 2x^2 + 4x$ $-x^2 - 4x + 5 = 0$ $x^2 + 4x - 5 = 0$

  • Solutions : $x = 1$ ou $x = -5$
  • Seul $x = 1$ satisfait la condition $x > 0$
  • Vérification : $\ln(1 + 5) = \ln(2 \cdot 1) + \ln(2) \Rightarrow \ln 6 = \ln 2 + \ln 2 = \ln 4$ ✗

  Correction : $\ln(x^2 + 5) = \ln(x + 2) + \ln(2x) = \ln(2x(x+2))$ Donc $x^2 + 5 = 2x(x+2) = 2x^2 + 4x$, ce qui donne $x^2 + 4x - 5 = 0$. Seul $x = 1 > 0$ convient, donc $S = \{1\}$. 2) Résoudre $\ln x + \ln(x + 1) > \ln(x^2 + 1)$ sur $]0; +\infty[$ :

  • Domaine : $x > 0$ et $x + 1 > 0$ et $x^2 + 1 > 0$ (toujours vrai), donc $x > 0$
  • Utiliser $\ln x + \ln(x + 1) = \ln[x(x + 1)]$ :…
• TYPE BAC3 pts
  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x-1)\geq \ln 3$.
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  Condition de définition : $2x-1>0$, donc $x>\dfrac12$. Comme la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$, $\ln(2x-1)\geq \ln 3 \iff 2x-1\geq 3 \iff 2x\geq 4 \iff x\geq 2$. En tenant compte du domaine, l'ensemble des solutions est $[2,+\infty[$.

  ce que le barème veut ·

  Écrire le domaine puis utiliser la croissance de $\ln$.