Transformations nucléaires

L'intuition

Imagine que tu as une pile de pièces de monnaie, mais certaines sont un peu bancales. De temps en temps, une pièce bancale tombe et se transforme en une pièce plus stable, parfois en éjectant un petit morceau. C'est un peu ça, la radioactivité. Les noyaux des atomes, ce sont tes pièces. Certains sont instables, ils ont trop de protons ou de neutrons, ou un mauvais équilibre. Pour devenir stables, ils se désintègrent, c'est-à-dire qu'ils se transforment en d'autres noyaux, plus stables, en émettant des particules (comme les petits morceaux éjectés) et de l'énergie.

Ce processus est totalement aléatoire pour un noyau donné, mais à l'échelle d'un grand nombre de noyaux, il est prévisible. On peut savoir combien de temps il faudra pour que la moitié de tes pièces bancales se soient transformées. C'est ce qu'on appelle la demi-vie. Et quand une pièce se transforme, elle libère de l'énergie, un peu comme quand un objet lourd tombe et fait du bruit. Cette énergie, on peut la calculer.

C'est un phénomène naturel, mais qu'on utilise aussi beaucoup : en médecine pour le diagnostic (scintigraphie) ou le traitement (radiothérapie), pour dater des objets anciens (datation au carbone 14), ou encore pour produire de l'électricité dans les centrales nucléaires.

Le cours

I. La radioactivité

La radioactivité est la transformation spontanée d'un noyau atomique instable (noyau père) en un noyau plus stable (noyau fils), avec émission de particules et/ou de rayonnements électromagnétiques (photons $\gamma$).

Un noyau est représenté par la notation $_{Z}^{A}X$, où :

• $A$ est le nombre de masse (nombre de nucléons = protons + neutrons).
• $Z$ est le nombre atomique (nombre de protons).
• $X$ est le symbole de l'élément chimique.

Deux noyaux sont dits isotopes s'ils ont le même nombre de protons $Z$ mais des nombres de masse $A$ différents.

1. Types de désintégration radioactive

Les principales désintégrations sont :

• Radioactivité $\alpha$ : Émission d'un noyau d'hélium $_{2}^{4}He$ (particule $\alpha$). $_{Z}^{A}X \rightarrow _{Z-2}^{A-4}Y + _{2}^{4}He$
• Radioactivité $\beta^-$ : Émission d'un électron $_{-1}^{0}e$ (particule $\beta^-$) et d'un antineutrino $\bar{\nu}_e$. Un neutron se transforme en proton. $_{Z}^{A}X \rightarrow _{Z+1}^{A}Y + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$
• Radioactivité $\beta^+$ : Émission d'un positon $_{+1}^{0}e$ (particule $\beta^+$) et d'un neutrino $\nu_e$. Un proton se transforme en neutron. $_{Z}^{A}X \rightarrow _{Z-1}^{A}Y + _{+1}^{0}e + \nu_e$
• Radioactivité $\gamma$ : Émission d'un photon $\gamma$ par un noyau excité qui revient à son état fondamental. Elle accompagne souvent les désintégrations $\alpha$ ou $\beta$. $_{Z}^{A}X^* \rightarrow _{Z}^{A}X + \gamma$ (où $X^*$ représente un noyau excité).

2. Lois de conservation (lois de Soddy)

Lors de toute transformation nucléaire, il y a conservation :

• Du nombre de masse $A$ (nombre total de nucléons).
• Du nombre de charge $Z$ (nombre total de protons).

Pour une réaction nucléaire générique : $_{Z_1}^{A_1}X_1 + _{Z_2}^{A_2}X_2 \rightarrow _{Z_3}^{A_3}X_3 + _{Z_4}^{A_4}X_4$

• Conservation de $A$ : $A_1 + A_2 = A_3 + A_4$
• Conservation de $Z$ : $Z_1 + Z_2 = Z_3 + Z_4$

II. La décroissance radioactive

1. Loi de décroissance radioactive

Le nombre de noyaux radioactifs $N$ d'un échantillon diminue au cours du temps selon la loi : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ où :

• $N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant $t$.
• $N_0$ est le nombre de noyaux radioactifs initial ($t=0$).
• $\lambda$ est la constante radioactive (en $s^{-1}$), caractéristique du nucléide.

2. La demi-vie ($t_{1/2}$)

La demi-vie (ou période radioactive) $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés. À $t = t_{1/2}$, on a $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$. En utilisant la loi de décroissance : $\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}$ $\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}$ $\ln(\frac{1}{2}) = -\lambda t_{1/2}$ $-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$ D'où : $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

3. L'activité radioactive ($A$)

L'activité $A(t)$ d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps. $A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N(t)$ L'unité de l'activité est le Becquerel (Bq), 1 Bq = 1 désintégration par seconde. Comme $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, on a : $A(t) = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$ où $A_0 = \lambda \cdot N_0$ est l'activité initiale.

III. Énergie des transformations nucléaires

1. Défaut de masse et énergie de liaison

• Défaut de masse ($\Delta m_{défaut}$) : La masse d'un noyau atomique est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris isolément. Cette différence est appelée défaut de masse. Pour un noyau $_{Z}^{A}X$ : $\Delta m_{défaut} = (Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n) - m_{noyau}$ où $m_p$ est la masse d'un proton, $m_n$ la masse d'un neutron et $m_{noyau}$ la masse du noyau.

• Énergie de liaison ($E_l$) : C'est l'énergie qu'il faut fournir pour séparer un noyau en ses nucléons isolés. Elle est liée au défaut de masse par la relation d'Einstein : $E_l = \Delta m_{défaut} \cdot c^2$ où $c$ est la célérité de la lumière dans le vide ($c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$). L'énergie est souvent exprimée en MeV (Mégaélectronvolt). On utilise alors la conversion : $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.

• Énergie de liaison par nucléon ($E_l/A$) : C'est l'énergie de liaison divisée par le nombre de nucléons $A$. Elle permet de comparer la stabilité des noyaux. Plus $E_l/A$ est grande, plus le noyau est stable.

2. Énergie libérée par une transformation nucléaire

Lors d'une transformation nucléaire, il y a une variation de masse $\Delta m = m_{produits} - m_{réactifs}$. L'énergie libérée $E_{libérée}$ est donnée par la relation d'Einstein : $E_{libérée} = |\Delta m| \cdot c^2$ Si $\Delta m < 0$, de l'énergie est libérée (réaction exothermique). Si $\Delta m > 0$, de l'énergie est absorbée (réaction endothermique). Dans le cas des désintégrations radioactives, de l'énergie est toujours libérée, donc $\Delta m < 0$. On peut aussi exprimer l'énergie libérée en utilisant les énergies de liaison des noyaux : $E_{libérée} = \sum E_l(produits) - \sum E_l(réactifs)$ (attention au signe, l'énergie libérée est positive par convention).

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : Exercice 1 (2,5 points) : Désintégration de Strontium 90.

Le Strontium $_{38}^{90}Sr$ est l’un des principaux noyaux se trouvant dans les déchets des réacteurs nucléaires électrogènes. $_{38}^{90}Sr$ se désintègre en Yttrium $Y$ en émettant une particule $\beta^-$. Il est très nocif quand la particule est inhalée ou ingérée. Le noyau $_{38}^{90}Sr$ est l’un des isotopes de l’élément Strontium.

Données:

• $m(^{90}Sr) = 89,90773 \text{ u}$
• $m(^{90}Y) = 89,90714 \text{ u}$
• $m(e^-) = 0,0005 \text{ u}$
• $m(p) = 1,00728 \text{ u}$
• $m(n) = 1,00866 \text{ u}$
• Demi-vie de $^{90}Sr$ : $t_{1/2} = 28,9 \text{ ans}$
• $1 \text{ u} = 931,5 \text{ MeV} \cdot c^{-2}$
• Énergie de liaison du noyau $^{89}Sr$ : $E_l(^{89}Sr) = 768,47 \text{ MeV}$
• $1 \text{ an} = 365 \text{ jours}$

1. Écrire l'équation de désintégration de $^{90}Sr$ en précisant les valeurs de $A$ et $Z$ du noyau fils $Y$.

Le Strontium $_{38}^{90}Sr$ se désintègre en Yttrium $Y$ en émettant une particule $\beta^-$, qui est un électron $_{-1}^{0}e$. L'équation s'écrit : $_{38}^{90}Sr \rightarrow _{Z}^{A}Y + _{-1}^{0}e$

Appliquons les lois de Soddy :

• Conservation du nombre de masse $A$ : $90 = A + 0 \Rightarrow A = 90$
• Conservation du nombre de charge $Z$ : $38 = Z + (-1) \Rightarrow Z = 38 + 1 = 39$

Le noyau fils est donc $_{39}^{90}Y$. L'équation de désintégration est : $_{38}^{90}Sr \rightarrow _{39}^{90}Y + _{-1}^{0}e$

2. Calculer, en unité MeV, l'énergie de liaison $E_l(^{90}Sr)$ du noyau $^{90}Sr$.

Pour calculer l'énergie de liaison $E_l(^{90}Sr)$, il faut d'abord calculer le défaut de masse $\Delta m_{défaut}(^{90}Sr)$. Le noyau $^{90}Sr$ a $Z=38$ protons et $A-Z = 90-38 = 52$ neutrons. $\Delta m_{défaut}(^{90}Sr) = (Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n) - m(^{90}Sr)$ $\Delta m_{défaut}(^{90}Sr) = (38 \cdot 1,00728 \text{ u} + 52 \cdot 1,00866 \text{ u}) - 89,90773 \text{ u}$ $\Delta m_{défaut}(^{90}Sr) = (38,27664 + 52,45032) \text{ u} - 89,90773 \text{ u}$ $\Delta m_{défaut}(^{90}Sr) = 90,72696 \text{ u} - 89,90773 \text{ u}$ $\Delta m_{défaut}(^{90}Sr) = 0,81923 \text{ u}$

Maintenant, convertissons ce défaut de masse en énergie en utilisant $1 \text{ u} = 931,5 \text{ MeV} \cdot c^{-2}$ : $E_l(^{90}Sr) = \Delta m_{défaut}(^{90}Sr) \cdot c^2 = 0,81923 \cdot 931,5 \text{ MeV}$ $E_l(^{90}Sr) \approx 762,99 \text{ MeV}$

3. Déterminer, en justifiant, le noyau le plus stable parmi $^{90}Sr$ et $^{89}Sr$.

Pour comparer la stabilité de deux noyaux, on calcule leur énergie de liaison par nucléon ($E_l/A$). Le noyau le plus stable est celui qui a la plus grande énergie de liaison par nucléon.

• Pour $^{90}Sr$ : $A=90$ $E_l(^{90}Sr)/A = 762,99 \text{ MeV} / 90 \approx 8,478 \text{ MeV/nucléon}$

• Pour $^{89}Sr$ : $A=89$ On nous donne $E_l(^{89}Sr) = 768,47 \text{ MeV}$. $E_l(^{89}Sr)/A = 768,47 \text{ MeV} / 89 \approx 8,634 \text{ MeV/nucléon}$

Comparons les deux valeurs : $8,634 \text{ MeV/nucléon} > 8,478 \text{ MeV/nucléon}$. Donc, le noyau $^{89}Sr$ est plus stable que le noyau $^{90}Sr$ car son énergie de liaison par nucléon est plus élevée.

4. Un échantillon de Strontium 90 a une activité initiale $A_0 = 5,11 \cdot 10^7 \text{ Bq}$ à l'instant $t_0 = 0$.

4.1. Calculer le nombre $N_0$ des noyaux présents initialement dans cet échantillon.

On sait que $A_0 = \lambda \cdot N_0$, donc $N_0 = \frac{A_0}{\lambda}$. Il faut d'abord calculer $\lambda$ à partir de la demi-vie $t_{1/2}$. $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Convertissons $t_{1/2}$ en secondes : $t_{1/2} = 28,9 \text{ ans} = 28,9 \cdot 365 \text{ jours} = 28,9 \cdot 365 \cdot 24 \text{ h} = 28,9 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ s}$ $t_{1/2} \approx 9,11 \cdot 10^8 \text{ s}$

$\lambda = \frac{\ln 2}{9,11 \cdot 10^8 \text{ s}} \approx \frac{0,693}{9,11 \cdot 10^8 \text{ s}} \approx 7,607 \cdot 10^{-10} \text{ s}^{-1}$

Maintenant, calculons $N_0$ : $N_0 = \frac{5,11 \cdot 10^7 \text{ Bq}}{7,607 \cdot 10^{-10} \text{ s}^{-1}} \approx 6,717 \cdot 10^{16} \text{ noyaux}$

4.2. Déterminer l'instant $t$ pour lequel l’activité de cet échantillon devient $A = 10^{-2} A_0$.

On utilise la loi de décroissance de l'activité : $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$. On veut trouver $t$ tel que $A(t) = 10^{-2} A_0$. $10^{-2} A_0 = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$ $10^{-2} = e^{-\lambda t}$ $\ln(10^{-2}) = -\lambda t$ $-2 \ln 10 = -\lambda t$ $t = \frac{2 \ln 10}{\lambda}$

On peut aussi utiliser la relation avec la demi-vie : $t = \frac{2 \ln 10}{\ln 2 / t_{1/2}} = \frac{2 \ln 10}{\ln 2} \cdot t_{1/2}$ $t = \frac{2 \cdot 2,302}{0,693} \cdot 28,9 \text{ ans}$ $t \approx 6,64 \cdot 28,9 \text{ ans}$ $t \approx 192 \text{ ans}$

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend, numérotés pour chaque type de question.

1. Écrire une équation de désintégration :

   1. Identifier le noyau père et la particule émise (ex: $\alpha$, $\beta^-$, $\beta^+$).
   2. Écrire l'équation générale avec le noyau fils inconnu ($_{Z}^{A}Y$).
   3. Appliquer les lois de Soddy : conservation de $A$ (somme des nombres de masse) et conservation de $Z$ (somme des nombres atomiques).
   4. Résoudre pour $A$ et $Z$ du noyau fils.
   5. Écrire l'équation complète.

2. Exploiter la loi de décroissance radioactive ($N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$) et l'activité ($A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$) :

   1. Identifier les grandeurs connues ($N_0$, $A_0$, $t$, $t_{1/2}$, $\lambda$) et inconnues.
   2. Si $t_{1/2}$ est donné, calculer $\lambda$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$. Attention aux unités (convertir $t_{1/2}$ en secondes si $\lambda$ est en $s^{-1}$).
   3. Si $N_0$ est demandé à partir de $A_0$, utiliser $N_0 = \frac{A_0}{\lambda}$.
   4. Si $t$ est demandé pour une certaine activité/nombre de noyaux, isoler $t$ de l'équation $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$ ou $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ en utilisant le logarithme népérien.

3. Calculer une énergie de liaison ($E_l$) :

   1. Identifier le noyau et sa composition (nombre de protons $Z$, nombre de neutrons $A-Z$).
   2. Calculer le défaut de masse $\Delta m_{défaut} = (Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n) - m_{noyau}$.
   3. Convertir le défaut de masse en énergie en utilisant $E_l = \Delta m_{défaut} \cdot c^2$. Si $m$ est en u, utiliser $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.

4. Calculer une énergie libérée ($E_{libérée}$) lors d'une transformation nucléaire :

   1. Écrire l'équation de la transformation nucléaire.
   2. Calculer la variation de masse $\Delta m = \sum m_{produits} - \sum m_{réactifs}$.
   3. Calculer l'énergie libérée $E_{libérée} = |\Delta m| \cdot c^2$. Si $\Delta m$ est en u, utiliser $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.
   4. Alternativement, utiliser les énergies de liaison : $E_{libérée} = \sum E_l(produits) - \sum E_l(réactifs)$.

5. Comparer la stabilité de noyaux :

   1. Calculer l'énergie de liaison par nucléon ($E_l/A$) pour chaque noyau.
   2. Le noyau ayant la plus grande énergie de liaison par nucléon est le plus stable.

Pièges classiques

• Unités et conversions : C'est le piège numéro un.

  • La demi-vie $t_{1/2}$ est souvent donnée en années, jours ou heures. La constante radioactive $\lambda$ doit avoir l'unité inverse (ex: $s^{-1}$). Assure-toi que toutes les durées sont dans la même unité.
  • Les masses sont souvent en unités de masse atomique (u). L'énergie est souvent demandée en MeV. Utilise la conversion $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.
  • L'activité est en Bq ($s^{-1}$). Si tu calcules $N_0$ à partir de $A_0$, $\lambda$ doit être en $s^{-1}$.

• Signe du défaut de masse et de l'énergie libérée :

  • Le défaut de masse $\Delta m_{défaut}$ pour l'énergie de liaison est toujours positif (masse des nucléons isolés > masse du noyau).
  • La variation de masse $\Delta m$ pour l'énergie libérée par une désintégration est négative (masse des produits < masse des réactifs). L'énergie libérée $E_{libérée}$ est une valeur positive, d'où l'utilisation de la valeur absolue $|\Delta m|$.

• Confondre $A$ et $Z$ : Relis attentivement les données pour ne pas intervertir le nombre de masse et le nombre atomique.

• Oublier les particules émises : Lors de l'écriture des équations, n'oublie pas les électrons/positons pour les désintégrations $\beta$ et les neutrinos/antineutrinos (même s'ils n'affectent pas $A$ et $Z$).

• Calcul de l'énergie de liaison par nucléon : Ne pas oublier de diviser l'énergie de liaison totale par le nombre de masse $A$ pour comparer la stabilité.

• Arrondis : Garde suffisamment de chiffres significatifs pendant les calculs intermédiaires pour éviter les erreurs d'arrondi sur le résultat final.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre représente environ 8% de la note totale en physique-chimie, soit environ 2 à 3 points. Les questions sont généralement directes et suivent la méthode officielle.

Format des questions réelles :

• Écriture d'équation de désintégration : Très fréquent. On te donne le noyau père et le type de désintégration (ou la particule émise), et tu dois trouver le noyau fils en appliquant les lois de Soddy.

  • Exemple d'annale : "Écrire l'équation de désintégration de Sr en précisant les valeurs de A et Z du noyau fils Y." (0,5 point)

• Calcul d'énergie de liaison ou d'énergie libérée :

  • Calcul de $E_l$ à partir du défaut de masse.
  • Calcul de l'énergie libérée par une réaction nucléaire à partir de la variation de masse ou des énergies de liaison.
  • Exemple d'annale : "Calculer, en unité MeV, l'énergie de liaison $E_l(^{90}Sr)$ du noyau $^{90}Sr$." (0,5 point)
  • Exemple d'annale : "Vérifier que la valeur de l'énergie de liaison $E_l(^{198}Au)$ est égale à 1525,53 MeV." (0,5 point)
  • Exemple d'annale : "Calculer, en unité MeV, l'énergie libérée $E_{libérée}$ par la réaction de désintégration d’un noyau d’or 198." (0,5 point)

• Comparaison de stabilité des noyaux : Basée sur l'énergie de liaison par nucléon.

  • Exemple d'annale : "Déterminer, en justifiant, le noyau le plus stable parmi $^{90}Sr$ et $^{89}Sr$." (0,5 point)
  • Exemple d'annale : "Justifier que le noyau $^{198}Hg$ est plus stable que le noyau $^{198}Au$." (0,5 point)

• Application de la loi de décroissance radioactive et de l'activité :

  • Calcul du nombre de noyaux $N_0$ à partir de l'activité $A_0$ et de la demi-vie $t_{1/2}$.
  • Calcul de l'activité ou du nombre de noyaux à un instant $t$.
  • Détermination du temps $t$ pour atteindre une certaine activité ou un certain nombre de noyaux.
  • Exemple d'annale : "Calculer le nombre $N_0$ des noyaux présents initialement dans cet échantillon." (0,5 point)
  • Exemple d'annale : "Déterminer l'instant $t$ pour lequel l’activité de cet échantillon devient $A = 10^{-2} A_0$." (0,5 point)
  • Exemple d'annale : "Déterminer l’activité $A$ de la dose après 28 jours de l’injection." (0,5 point)

• Définitions : Parfois, une question de définition simple peut apparaître.

  • Exemple d'annale : "Définir un noyau radioactif." (0,5 point)

Consignes de correction (attendus) :

• Unités : Toujours indiquer les unités dans les calculs et les résultats finaux. Une absence d'unité peut coûter des points.
• Chiffres significatifs : Respecter les règles des chiffres significatifs, souvent 2 ou 3 après la virgule pour les résultats finaux, sauf indication contraire.
• Expressions littérales : Toujours donner l'expression littérale avant l'application numérique. C'est un point clé de la méthode.
• Justification : Pour les comparaisons de stabilité ou les choix, une justification claire est attendue.

Ce chapitre est relativement prévisible. Maîtriser les formules, les conversions d'unités et la méthode de résolution des exercices types te garantira ces points.