Électricité (RC, RL, RLC, modulation)

L'intuition

Imagine que tu remplis un réservoir d'eau avec un tuyau. L'eau ne monte pas instantanément jusqu'au bord, elle prend un certain temps. C'est un peu comme la charge d'un condensateur. Le condensateur est ton réservoir, et le courant électrique est l'eau. Il faut du temps pour qu'il se remplisse. La vitesse à laquelle il se remplit dépend de la taille du réservoir (capacité $C$) et de la résistance du tuyau ($R$).

Maintenant, imagine que tu lances une balle de ping-pong attachée à un élastique. Elle va faire des allers-retours, mais à chaque fois, elle montera un peu moins haut à cause des frottements de l'air. C'est ça, une oscillation amortie, comme dans un circuit RLC réel. L'élastique, c'est le condensateur et la bobine qui stockent et échangent de l'énergie, et les frottements, c'est la résistance qui dissipe cette énergie. Si tu enlèves les frottements, la balle oscille indéfiniment.

Le cours

Ce chapitre est fondamental pour comprendre le comportement des circuits électriques. Nous allons étudier les dipôles RC, RL et RLC, qui sont des briques essentielles de l'électronique.

I. Dipôle RC : Charge et décharge d'un condensateur

Un condensateur est un composant capable de stocker de l'énergie électrique sous forme de charges. Il est caractérisé par sa capacité $C$, exprimée en Farad (F).

1. Charge d'un condensateur

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue $E$, d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$.

À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur. Le condensateur est initialement déchargé ($u_C(0)=0$).

• Loi d'additivité des tensions (Loi des mailles) : La somme des tensions le long d'une maille fermée est nulle. En convention récepteur pour $R$ et $C$: $E = u_R + u_C$
• Loi d'Ohm pour le conducteur ohmique : $u_R = R \cdot i$
• Relation courant-tension pour un condensateur : $i = C \frac{du_C}{dt}$

En substituant $i$ dans la loi d'Ohm, on obtient $u_R = RC \frac{du_C}{dt}$. L'équation différentielle régissant l'évolution de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur est : $E = RC \frac{du_C}{dt} + u_C$ Soit, en réarrangeant : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = \frac{E}{RC}$

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre a une solution générale de la forme $u_C(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + B$.

• Détermination de B (régime permanent) : Lorsque $t \to \infty$, le condensateur est complètement chargé. Le courant $i$ devient nul, donc $u_R = 0$. On a alors $u_C(\infty) = E$. Par substitution dans la solution générale, $B=E$.
• Détermination de A (conditions initiales) : À $t=0$, le condensateur est déchargé, donc $u_C(0) = 0$. $0 = A e^0 + E \implies A = -E$.

La solution est donc : $u_C(t) = E (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$. La constante de temps $\tau$ est donnée par $\tau = RC$. Elle est exprimée en secondes (s). Elle représente le temps nécessaire pour que $u_C$ atteigne $63\%$ de sa valeur finale $E$.

L'intensité du courant $i(t)$ pendant la charge est : $i(t) = C \frac{du_C}{dt} = C \frac{d}{dt} (E (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})) = C E \frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} = C E \frac{1}{RC} e^{-\frac{t}{\tau}} = \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$.

Analyse graphique :

• La tension $u_C(t)$ croît de 0 à $E$ de manière exponentielle.
• L'intensité $i(t)$ décroît de $E/R$ à 0 de manière exponentielle.
• La tangente à l'origine de $u_C(t)$ coupe l'asymptote $u_C=E$ à $t=\tau$.
• La tangente à l'origine de $i(t)$ coupe l'axe des abscisses à $t=\tau$.

2. Décharge d'un condensateur

On place un condensateur initialement chargé sous une tension $E$ dans un circuit série avec un conducteur ohmique de résistance $R$.

À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur. Le générateur est déconnecté (ou court-circuité).

• Loi d'additivité des tensions : $u_R + u_C = 0$
• Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$
• Relation courant-tension pour un condensateur : $i = C \frac{du_C}{dt}$

L'équation différentielle régissant l'évolution de $u_C(t)$ est : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ Soit : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = 0$

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre a une solution générale de la forme $u_C(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}}$.

• Conditions initiales : À $t=0$, le condensateur est chargé à $E$, donc $u_C(0) = E$. $E = A e^0 \implies A = E$.

La solution est donc : $u_C(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}$. La constante de temps $\tau = RC$.

L'intensité du courant $i(t)$ pendant la décharge est : $i(t) = C \frac{du_C}{dt} = C \frac{d}{dt} (E e^{-\frac{t}{\tau}}) = - \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$. Le signe négatif indique que le sens du courant est opposé à celui choisi arbitrairement pour la charge.

Analyse graphique :

• La tension $u_C(t)$ décroît de $E$ à 0 de manière exponentielle.
• L'intensité $i(t)$ décroît de $-E/R$ à 0 de manière exponentielle.

II. Dipôle RL : Établissement et rupture du courant dans une bobine

Une bobine est un composant capable de stocker de l'énergie magnétique. Elle est caractérisée par son inductance $L$, exprimée en Henry (H), et sa résistance interne $r$, exprimée en Ohm ($\Omega$).

1. Établissement du courant

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue $E$, d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$.

À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur. Le courant est initialement nul ($i(0)=0$).

• Loi d'additivité des tensions : $E = u_R + u_L$
• Loi d'Ohm pour le conducteur ohmique : $u_R = R \cdot i$
• Tension aux bornes de la bobine (convention récepteur) : $u_L = L \frac{di}{dt} + r i$

L'équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité $i(t)$ du courant est : $E = R i + (L \frac{di}{dt} + r i)$ $E = (R+r) i + L \frac{di}{dt}$ Soit, en réarrangeant : $\frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L} i = \frac{E}{L}$

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre a une solution générale de la forme $i(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + B$.

• Détermination de B (régime permanent) : Lorsque $t \to \infty$, le régime permanent est établi. La bobine se comporte alors comme un conducteur ohmique de résistance $r$. Le courant est constant, donc $di/dt = 0$. $E = (R+r) i(\infty) \implies i(\infty) = \frac{E}{R+r}$. Par substitution dans la solution générale, $B = \frac{E}{R+r}$.
• Détermination de A (conditions initiales) : À $t=0$, l'intensité du courant est nulle car la bobine s'oppose à l'établissement brutal du courant. Donc $i(0) = 0$. $0 = A e^0 + \frac{E}{R+r} \implies A = -\frac{E}{R+r}$.

La solution est donc : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$. La constante de temps $\tau$ est donnée par $\tau = \frac{L}{R+r}$. Elle est exprimée en secondes (s). Elle représente le temps nécessaire pour que $i$ atteigne $63\%$ de sa valeur finale $I_{max} = \frac{E}{R+r}$.

Analyse graphique :

• L'intensité $i(t)$ croît de 0 à $I_{max}$ de manière exponentielle.
• La tangente à l'origine de $i(t)$ coupe l'asymptote $i=I_{max}$ à $t=\tau$.

2. Rupture du courant

Pour éviter les surtensions dangereuses lors de la coupure du courant dans une bobine, on utilise un circuit de décharge.

On considère une bobine initialement parcourue par un courant $I_0 = \frac{E}{R+r}$ (régime permanent établi). À l'instant $t=0$, on bascule l'interrupteur pour déconnecter le générateur et décharger la bobine dans la résistance $R$.

• Loi d'additivité des tensions : $u_R + u_L = 0$
• Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$
• Tension aux bornes de la bobine : $u_L = L \frac{di}{dt} + r i$

L'équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité $i(t)$ du courant est : $R i + (L \frac{di}{dt} + r i) = 0$ $(R+r) i + L \frac{di}{dt} = 0$ Soit : $\frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L} i = 0$

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre a une solution générale de la forme $i(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}}$.

• Conditions initiales : À $t=0$, le courant est $I_0$, donc $i(0) = I_0$. $I_0 = A e^0 \implies A = I_0$.

La solution est donc : $i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$. La constante de temps $\tau = \frac{L}{R+r}$.

Analyse graphique :

• L'intensité $i(t)$ décroît de $I_0$ à 0 de manière exponentielle.

III. Circuit RLC série : Oscillations électriques libres

Un circuit RLC série est composé d'une résistance $R$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$, et d'un condensateur de capacité $C$.

1. Équation différentielle

Considérons un circuit RLC série. Le condensateur est initialement chargé sous une tension $U_0$. À $t=0$, on ferme l'interrupteur, permettant la décharge du condensateur dans la bobine et la résistance.

• Loi d'additivité des tensions : $u_C + u_R + u_L = 0$
• Tension aux bornes du condensateur : $u_C = \frac{q}{C}$
• Loi d'Ohm pour la résistance totale : $u_R = (R+r) i$ (où $R_{tot} = R+r$)
• Tension aux bornes de la bobine : $u_L = L \frac{di}{dt}$
• Relation courant-charge : $i = \frac{dq}{dt}$

En substituant ces relations dans la loi des mailles : $\frac{q}{C} + (R+r) \frac{dq}{dt} + L \frac{d}{dt} (\frac{dq}{dt}) = 0$ $\frac{q}{C} + (R+r) \frac{dq}{dt} + L \frac{d^2q}{dt^2} = 0$

En divisant par $L$ et en réarrangeant, on obtient l'équation différentielle du second ordre régissant l'évolution de la charge $q(t)$ : $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R+r}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC} q = 0$

On peut aussi l'écrire en fonction de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur, sachant que $q = C u_C$ : $C \frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R+r}{L} C \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} C u_C = 0$ $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R+r}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} u_C = 0$

2. Régimes d'oscillations

La nature des oscillations dépend de la valeur de la résistance totale $R_{tot} = R+r$ du circuit.

• Régime périodique (oscillations libres non amorties) : Ce régime est obtenu lorsque la résistance totale du circuit est nulle ($R_{tot}=0$). L'équation différentielle devient : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C = 0$ La solution est de la forme $u_C(t) = U_{max} \cos(\omega_0 t + \phi)$, où $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ est la pulsation propre. La période propre $T_0$ des oscillations est donnée par : $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{LC}$. Dans ce cas idéal, l'énergie totale du circuit se conserve.

  Courbe (1) représente un régime périodique.

• Régime pseudo-périodique (oscillations libres amorties) : Ce régime est obtenu lorsque la résistance totale $R_{tot}$ est faible mais non nulle. L'énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance, ce qui amortit les oscillations. L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps. La pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à la période propre $T_0$, mais en pratique, on l'assimile souvent à $T_0$ si l'amortissement est faible.

  Courbe (2) représente un régime pseudo-périodique.

• Régime apériodique : Ce régime est obtenu lorsque la résistance totale $R_{tot}$ est élevée (supérieure à une valeur critique $R_c = 2\sqrt{L/C}$). L'amortissement est si fort qu'il n'y a plus d'oscillations. Le condensateur se décharge sans osciller.

  Courbe (3) représente un régime apériodique.

3. Bilan d'énergie

L'énergie totale $E_{tot}$ emmagasinée dans un circuit RLC est la somme de l'énergie électrique $E_C$ du condensateur et de l'énergie magnétique $E_L$ de la bobine.

• Énergie électrique du condensateur : $E_C = \frac{1}{2} C u_C^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$ (en Joules, J)
• Énergie magnétique de la bobine : $E_L = \frac{1}{2} L i^2$ (en Joules, J)

L'énergie totale est $E_{tot} = E_C + E_L = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$.

• Circuit LC idéal (sans résistance) : L'énergie totale se conserve. Il y a un échange permanent entre l'énergie électrique et l'énergie magnétique. $\frac{dE_{tot}}{dt} = 0$

• Circuit RLC réel (avec résistance) : L'énergie totale diminue au cours du temps. La résistance dissipe de l'énergie par effet Joule. $\frac{dE_{tot}}{dt} = - (R+r) i^2$ Le terme $-(R+r) i^2$ représente la puissance dissipée par effet Joule, toujours négative, ce qui signifie que l'énergie totale du circuit diminue.

IV. Modulation d'amplitude

La modulation d'amplitude est un procédé qui permet de transporter un signal de basse fréquence (signal modulant) sur une onde de haute fréquence (onde porteuse).

1. Principe

Le signal modulant $s(t)$ est un signal de basse fréquence, par exemple une voix ou de la musique. $s(t) = U_m \cos(2\pi f_m t)$ L'onde porteuse $p(t)$ est une onde sinusoïdale de haute fréquence. $p(t) = P_{max} \cos(2\pi f_p t)$

Le signal modulé en amplitude $u_s(t)$ est obtenu en faisant varier l'amplitude de la porteuse en fonction du signal modulant. On ajoute une composante continue $U_0$ au signal modulant pour éviter la surmodulation. L'amplitude de l'onde porteuse devient $A(t) = U_0 + s(t) = U_0 + U_m \cos(2\pi f_m t)$. Le signal modulé s'écrit alors : $u_s(t) = [U_0 + U_m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_p t)$

2. Taux de modulation

Le taux de modulation $m$ est un paramètre important qui caractérise la qualité de la modulation. Il est défini par : $m = \frac{U_m}{U_0}$ où $U_m$ est l'amplitude du signal modulant et $U_0$ est la composante continue ajoutée.

Pour une bonne modulation (sans distorsion) et une démodulation facile, le taux de modulation doit être inférieur ou égal à 1 ($m \le 1$).

• Si $m < 1$, la modulation est dite "sous-modulée".
• Si $m = 1$, la modulation est "optimale".
• Si $m > 1$, la modulation est "sur-modulée", ce qui entraîne une distorsion du signal.

Le taux de modulation peut aussi être déterminé graphiquement à partir de l'enveloppe du signal modulé : $m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}}$ où $U_{max}$ et $U_{min}$ sont les amplitudes maximale et minimale de l'enveloppe du signal modulé.

Exemple de signal modulé en amplitude.

3. Démodulation d'amplitude

La démodulation consiste à récupérer le signal modulant $s(t)$ à partir du signal modulé $u_s(t)$. Elle est généralement réalisée par un détecteur d'enveloppe, composé d'une diode et d'un filtre RC.

V. Bilan d'énergie dans les circuits électriques

L'énergie est une grandeur fondamentale en physique. Dans les circuits électriques, elle peut être stockée ou dissipée.

• Condensateur : Stocke l'énergie électrique $E_C = \frac{1}{2} C u_C^2$.
• Bobine : Stocke l'énergie magnétique $E_L = \frac{1}{2} L i^2$.
• Résistance : Dissipe l'énergie sous forme de chaleur par effet Joule. La puissance dissipée est $P_J = R i^2$. L'énergie dissipée pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est $W_J = P_J \Delta t$.

Dans un circuit RLC série, l'énergie totale $E_{tot} = E_C + E_L$ n'est conservée que si la résistance totale est nulle. Sinon, elle diminue au cours du temps, la différence étant dissipée par effet Joule.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale réel pour illustrer l'application de ces concepts.

Exercice 2 (5 points) : Dipôle RL – Oscillations électriques libres dans un circuit RLC série Extrait de l'examen national 2019, session de rattrapage.

Le montage de la figure (1) est constitué :

• d’un générateur de force électromotrice $E = 6V$ ;
• d’une bobine ($L=0,1H$ ; $r =0$) ;
• d’un conducteur ohmique de résistance $R$ réglable ;
• d’un interrupteur K.

On règle la résistance sur la valeur $R =220\Omega$ et on ferme l'interrupteur K à un instant $t_0 =0$.

Figure (1)

1.1. Recopier sur votre copie le schéma et représenter les tensions $u_L$ aux bornes de la bobine et $u_R$ aux bornes du conducteur ohmique en convention récepteur. Indiquer sur le même schéma les branchements de l'oscilloscope pour visualiser la tension $u_R$.

Solution 1.1 : En convention récepteur, les flèches des tensions sont opposées au sens du courant. Pour visualiser $u_R$ avec un oscilloscope, la masse (borne COM) doit être connectée à la borne commune de $R$ et de la bobine, et la voie (CH1 ou Y1) à l'autre borne de $R$.

Schéma avec tensions et branchement oscilloscope.

1.2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par l’intensité $i(t)$ du courant s'écrit $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$.

Solution 1.2 :

• Loi d'additivité des tensions : $E = u_R + u_L$
• Tension aux bornes du conducteur ohmique : $u_R = R i$
• Tension aux bornes de la bobine : $u_L = L \frac{di}{dt} + r i$

En substituant $u_R$ et $u_L$ dans la loi des mailles : $E = R i + (L \frac{di}{dt} + r i)$ $E = (R+r) i + L \frac{di}{dt}$ Soit : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$.

1.3. La solution de cette équation différentielle est : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$. En exploitant l'équation différentielle, trouver l’expression et la valeur de : a. la constante de temps $\tau$ du circuit. b. l'intensité $I_{max}$ du courant lorsque le régime permanent est établi.

Solution 1.3.a : L'équation différentielle est $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$. On divise par $L$ : $\frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L}i = \frac{E}{L}$. La solution donnée est $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$. En comparant cette solution à la forme générale $i(t) = I_{max} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$, on voit que $\frac{1}{\tau} = \frac{R+r}{L}$. Donc, l'expression de la constante de temps est $\tau = \frac{L}{R+r}$. Calcul de la valeur : $L = 0,1 H$, $R = 220 \Omega$, $r = 0 \Omega$. $\tau = \frac{0,1}{220+0} = \frac{0,1}{220} \approx 4,55 \times 10^{-4} s$.

Solution 1.3.b : L'intensité du courant en régime permanent est $I_{max}$. C'est la valeur de $i(t)$ lorsque $t \to \infty$. D'après la solution donnée, $i(\infty) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\infty}) = \frac{E}{R+r} (1 - 0) = \frac{E}{R+r}$. Calcul de la valeur : $E = 6 V$, $R = 220 \Omega$, $r = 0 \Omega$. $I_{max} = \frac{6}{220+0} = \frac{6}{220} \approx 0,0273 A = 27,3 mA$.

1.4. Calculer l'énergie magnétique $E_L$ emmagasinée par la bobine en régime permanent.

Solution 1.4 : L'énergie magnétique emmagasinée dans une bobine est donnée par $E_L = \frac{1}{2} L i^2$. En régime permanent, $i = I_{max} = 0,0273 A$. $E_L = \frac{1}{2} \times 0,1 \times (0,0273)^2 \approx \frac{1}{2} \times 0,1 \times 7,45 \times 10^{-4} \approx 3,725 \times 10^{-5} J$. (Le corrigé officiel donne $3,72 \times 10^{-5} J$, la légère différence vient des arrondis).

1.5. On modifie la résistance du conducteur ohmique sur la valeur $R' = 2R$. La nouvelle constante de temps est notée $\tau'$. Comparer $\tau'$ et $\tau$.

Solution 1.5 : La nouvelle résistance totale est $R'_{tot} = R' + r = 2R + r$. La nouvelle constante de temps est $\tau' = \frac{L}{R'_{tot}} = \frac{L}{2R+r}$. Puisque $R > 0$ et $r \ge 0$, on a $2R+r > R+r$. Donc, le dénominateur de $\tau'$ est plus grand que celui de $\tau$. Par conséquent, $\tau' < \tau$.

2. Influence de la résistance sur les oscillations électriques. On réalise un circuit RLC série en associant le condensateur de capacité $C=10 \mu F$ avec la bobine précédente ($L=0,1 H$, $r=0$) et un conducteur ohmique de résistance $R$. On charge le condensateur sous une tension $U_0$ puis on le décharge à travers la bobine et le conducteur ohmique. On obtient les courbes de la figure (2) pour trois valeurs différentes de la résistance $R$.

Figure (2)

2.1. Attribuer à chaque courbe (1), (2) et (3) la valeur de la résistance $R$ correspondante parmi les valeurs suivantes : $R_1=0$, $R_2=20 \Omega$, $R_3=200 \Omega$. Justifier.

Solution 2.1 :

• Courbe (1) : Les oscillations sont non amorties, leur amplitude reste constante. Cela correspond à un régime périodique, qui se produit lorsque la résistance totale est nulle. Donc, Courbe (1) correspond à $R_1 = 0 \Omega$.
• Courbe (2) : Les oscillations sont amorties mais persistent sur une longue durée. L'amortissement est faible. Cela correspond à un régime pseudo-périodique avec une résistance faible. Donc, Courbe (2) correspond à $R_2 = 20 \Omega$.
• Courbe (3) : Il n'y a pas d'oscillations, la tension décroît rapidement vers zéro. L'amortissement est très fort. Cela correspond à un régime apériodique avec une résistance élevée. Donc, Courbe (3) correspond à $R_3 = 200 \Omega$.

2.2. Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ des oscillations pour la courbe (2).

Solution 2.2 : Sur la courbe (2), on peut mesurer la durée de plusieurs oscillations. Par exemple, 2 oscillations complètes (entre deux pics consécutifs) durent environ $12 ms$. Donc, la pseudo-période $T = \frac{12 ms}{2} = 6 ms$. (On peut aussi prendre 4 oscillations qui durent $24 ms$, donc $T=6ms$).

2.3. On considère que la pseudo-période $T$ est égale à la période propre $T_0$. 2.3.1. Calculer la valeur de la capacité $C$ du condensateur. 2.3.2. Calculer l'énergie totale $E_{tot}$ du circuit à l'instant $t=0$.

Solution 2.3.1 : On a $T = T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. On cherche $C$. On élève au carré : $T^2 = (2\pi)^2 LC$. $C = \frac{T^2}{(2\pi)^2 L}$. Avec $T = 6 ms = 6 \times 10^{-3} s$ et $L = 0,1 H$. $C = \frac{(6 \times 10^{-3})^2}{(2\pi)^2 \times 0,1} = \frac{36 \times 10^{-6}}{4\pi^2 \times 0,1} \approx \frac{36 \times 10^{-6}}{3,9478} \approx 9,11 \times 10^{-6} F = 9,11 \mu F$. (Le corrigé officiel donne $C=10^{-5} F = 10 \mu F$. La différence vient de l'approximation de $T$ ou de $\pi$).

Solution 2.3.2 : À l'instant $t=0$, le condensateur est chargé à une tension $U_0$. D'après la courbe (2), $U_0 = 4 V$. Le courant $i(0)=0$ car le condensateur commence à se décharger. L'énergie totale du circuit à $t=0$ est $E_{tot}(0) = E_C(0) + E_L(0)$. $E_C(0) = \frac{1}{2} C U_0^2$. $E_L(0) = \frac{1}{2} L i(0)^2 = \frac{1}{2} L (0)^2 = 0$. Donc $E_{tot}(0) = \frac{1}{2} C U_0^2$. Avec $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F$ et $U_0 = 4 V$. $E_{tot}(0) = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 16 = 80 \times 10^{-6} J = 8 \times 10^{-5} J$. (Le corrigé officiel donne $1,8 \times 10^{-4} J$. Il y a une incohérence entre la valeur de $C$ donnée dans l'énoncé ($10 \mu F$) et celle calculée ($9,11 \mu F$) ou la valeur de $U_0$ prise. Si on prend $U_0=6V$ (valeur du générateur initialement) et $C=10 \mu F$, on a $E_{tot}(0) = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 6^2 = 1,8 \times 10^{-4} J$. Il est plus probable que $U_0$ soit la tension du générateur et non la valeur maximale de la courbe, qui est amortie).

La méthode

Pour réussir les exercices sur l'électricité, suis ces étapes rigoureuses :

1. Analyse du circuit et du phénomène :

   • Identifie les composants (générateur, résistance, condensateur, bobine).
   • Détermine le type de circuit (RC, RL, RLC).
   • Identifie le phénomène étudié (charge/décharge, établissement/rupture du courant, oscillations).
   • Repère les conditions initiales (condensateur chargé/déchargé, courant nul/établi).

2. Représentation des tensions et du courant :

   • Dessine le schéma du circuit.
   • Indique le sens conventionnel du courant $i$.
   • Représente les tensions aux bornes de chaque dipôle en convention récepteur (flèche de tension opposée au sens du courant). Pour un générateur, la flèche de tension est dans le même sens que le courant.
   • Si un oscilloscope est demandé, indique clairement les branchements (masse et voie).

3. Établissement de l'équation différentielle :

   • Applique la loi d'additivité des tensions (loi des mailles) à la maille principale du circuit.
   • Exprime chaque tension en fonction du courant $i$ ou de la charge $q$ (ou de la tension $u_C$ pour le condensateur) et de leurs dérivées :
     • $u_R = R i$
     • $u_C = \frac{q}{C}$ et $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$
     • $u_L = L \frac{di}{dt} + r i$
   • Substitue ces expressions dans la loi des mailles pour obtenir l'équation différentielle.

4. Résolution de l'équation différentielle (si demandée) :

   • Identifie la forme de la solution (exponentielle pour RC/RL, sinusoïdale amortie ou non pour RLC).
   • Détermine les constantes d'intégration en utilisant les conditions initiales et le régime permanent.
   • Identifie la constante de temps $\tau$ (pour RC/RL) ou la période propre $T_0$ (pour RLC).

5. Exploitation des courbes et des données expérimentales :

   • Pour RC/RL :
     • Détermine graphiquement $\tau$ (point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote, ou temps pour atteindre 63% de la valeur finale).
     • Détermine les valeurs maximales ou minimales (ex: $E$, $I_{max}$).
   • Pour RLC :
     • Identifie le régime d'oscillations (périodique, pseudo-périodique, apériodique) en fonction de l'amortissement.
     • Mesure graphiquement la pseudo-période $T$ (durée d'une oscillation, ou moyenne sur plusieurs oscillations).
     • Compare $T$ à $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
     • Détermine l'influence de $R$, $L$ ou $C$ sur le phénomène.
   • Pour la modulation :
     • Mesure $U_{max}$ et $U_{min}$ de l'enveloppe du signal modulé.
     • Calcule le taux de modulation $m = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}}$.
     • Vérifie la condition $m \le 1$.

6. Calculs d'énergie :

   • Applique les formules d'énergie pour le condensateur ($E_C = \frac{1}{2} C u_C^2$) et la bobine ($E_L = \frac{1}{2} L i^2$).
   • Calcule l'énergie totale $E_{tot} = E_C + E_L$.
   • Interprète la variation de l'énergie totale (conservation ou dissipation par effet Joule).

7. Rigueur et unités :

   • Donne toujours les expressions littérales avant les applications numériques.
   • N'oublie pas les unités pour chaque grandeur calculée.
   • Respecte les chiffres significatifs (souvent 2 ou 3).

Pièges classiques

Fais attention à ces erreurs fréquentes qui coûtent des points :

• Sens des tensions et du courant : Ne confonds pas la convention générateur et la convention récepteur. Pour un dipôle passif (R, C, L), la tension est toujours fléchée à l'opposé du courant. Pour un générateur, la tension est dans le même sens que le courant.
• Conditions initiales :
  • À $t=0$, un condensateur déchargé a $u_C(0)=0$. Un condensateur chargé a $u_C(0)=U_0$.
  • À $t=0$, le courant dans une bobine ne peut pas varier instantanément. Si l'interrupteur est fermé, $i(0)=0$. Si le courant était déjà établi, $i(0)=I_0$.
• Résistance totale : N'oublie pas d'inclure la résistance interne $r$ de la bobine dans la résistance totale du circuit $(R+r)$ pour les calculs de $\tau$ et $I_{max}$.
• Unités : Convertis toutes les grandeurs dans le système international (Farad, Henry, Ohm, Volt, Ampère, seconde). Attention aux microfarads ($\mu F = 10^{-6} F$) ou millisecondes ($ms = 10^{-3} s$).
• Interprétation graphique : Ne confonds pas la période propre $T_0$ et la pseudo-période $T$. Si l'amortissement est faible, on peut les assimiler, mais sois précis dans ta justification.
• Taux de modulation : Vérifie toujours que $m \le 1$. Si tu trouves $m > 1$, c'est soit une erreur de calcul, soit une surmodulation.
• Bilan d'énergie : L'énergie totale n'est conservée que dans un circuit LC idéal (résistance nulle). Dans un circuit RLC réel, elle diminue.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre d'électricité est un pilier de l'examen de physique, représentant environ 21% de la note totale. Les questions sont souvent regroupées dans un exercice dédié (5 à 6,5 points).

Voici les formats de questions et les attendus de correction basés sur les annales :

1. Schémas et conventions (0,5 - 1 point) :

   • Représenter les tensions et le courant en convention récepteur.
   • Indiquer les branchements d'un oscilloscope.
   • Attendu : Schéma clair, flèches correctement orientées, légendes.

2. Établissement de l'équation différentielle (0,75 - 1 point) :

   • Appliquer la loi des mailles et les lois caractéristiques des dipôles.
   • Attendu : Démarche détaillée, expressions littérales, équation finale correcte.

3. Exploitation de la solution de l'équation différentielle (0,75 - 1,25 point) :

   • Déterminer une constante de temps $\tau$ ou une valeur en régime permanent ($I_{max}$, $U_{max}$) à partir de la solution donnée et de l'équation différentielle.
   • Attendu : Comparaison avec la forme générale, calcul numérique avec unité.

4. Calculs de constantes (0,5 - 1 point) :

   • Calculer $\tau = RC$ ou $\tau = L/(R+r)$.
   • Calculer $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
   • Attendu : Formule littérale, application numérique, unité.

5. Analyse graphique (0,5 - 1 point) :

   • Identifier un régime d'oscillations (périodique, pseudo-périodique, apériodique) à partir d'une courbe.
   • Déterminer graphiquement une pseudo-période $T$.
   • Attendu : Justification basée sur l'allure de la courbe, lecture précise sur le graphique.

6. Bilan d'énergie (0,5 - 1 point) :

   • Calculer l'énergie emmagasinée dans un condensateur ou une bobine.
   • Calculer l'énergie totale.
   • Interpréter la conservation ou la dissipation de l'énergie.
   • Attendu : Formules littérales, applications numériques, unités, interprétation physique.

7. Modulation d'amplitude (0,5 - 1 point) :

   • Calculer le taux de modulation $m$ à partir des amplitudes $U_m$ et $U_0$ ou $U_{max}$ et $U_{min}$.
   • Interpréter la valeur de $m$.
   • Attendu : Formule littérale, application numérique, interprétation.

Prépare-toi à manipuler des équations différentielles, à interpréter des graphiques et à justifier tes réponses avec rigueur. La maîtrise des unités et des conversions est essentielle.