Un solide de masse m = 0.50 kg glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. Déterminer l'accélération du mouvement et la vitesse acquise après une distance d = 2.0 m partant du repos. Donnée : g = 9.8 $m/s^{2}$.

2e loi de Newton projetée sur l'axe du plan : m.g.sin(alpha) = m.a -> a = g.sin(alpha) = 9.8 x 0.50 = 4.9 m/s^2. Mouvement uniformément accéléré depuis le repos : v^2 = 2.a.d = 2 x 4.9 x 2.0 = 19.6 -> v = racine(19.6) = 4.4 m/s.

Mécanique (Newton, mouvements) — exercices corrigés

Physique-Chimie · 2ème Bac Sciences et Technologies Mécaniques · 19 exercices

L'intuition

Imagine que tu es sur ton scooter, en ville. Tu accélères, tu freines, tu tournes. Chaque fois que tu fais ça, il y a des forces en jeu. Quand tu accélères, le moteur pousse. Quand tu freines, les freins agissent. Quand tu tournes, tu inclines le scooter et la route te pousse sur le côté.

La mécanique, c'est comprendre comment ces forces font bouger les objets. C'est comme si tu avais une boîte à outils pour prédire où ton scooter va aller, à quelle vitesse, et comment il va s'arrêter. Les lois de Newton, c'est la notice d'utilisation de cette boîte à outils. Elles te disent comment relier les forces aux mouvements.

Par exemple, quand tu lâches une balle, elle tombe. Pourquoi ? À cause de la gravité. La mécanique te permet de calculer exactement à quelle vitesse elle va tomber et combien de temps ça prendra pour qu'elle touche le sol. C'est ça, l'intuition derrière ce chapitre : comprendre et prédire le mouvement des objets autour de nous.

Le cours

Ce chapitre est fondamental. Il s'agit d'appliquer les lois de Newton pour décrire et prédire le mouvement des systèmes matériels.

I. Référentiels et lois de Newton

Référentiels galiléens Un référentiel est dit galiléen si le principe d'inertie (première loi de Newton) y est vérifié. En pratique, on utilise souvent :
- Le référentiel terrestre : lié à la Terre, considéré galiléen pour des expériences de courte durée.
- Le référentiel géocentrique : son origine est le centre de la Terre, ses axes sont dirigés vers des étoiles lointaines fixes. Il est galiléen pour l'étude des satellites terrestres.
- Le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) : son origine est le centre du Soleil, ses axes sont dirigés vers des étoiles lointaines fixes. Il est galiléen pour l'étude des mouvements des planètes autour du Soleil.
Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse $m$ du solide par le vecteur accélération $\vec{a}_G$ de son centre d'inertie G. $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$

Où :
- $\sum \vec{F}_{ext}$ est la somme vectorielle des forces extérieures en Newton (N).
- $m$ est la masse du solide en kilogrammes (kg).
- $\vec{a}_G$ est le vecteur accélération du centre d'inertie G en mètres par seconde carrée (m/s²).
Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques) Si un corps A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément une force $\vec{F}_{B/A}$ sur le corps A, telle que : $\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$

Ces deux forces ont la même droite d'action, la même intensité, mais des sens opposés.

II. Forces usuelles

Poids d'un corps ( $\vec{P}$ ) C'est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un corps. $\vec{P} = m \vec{g}$

Où $\vec{g}$ est le vecteur champ de pesanteur (environ 9,8 N/kg ou m/s² à la surface de la Terre), vertical et dirigé vers le bas.
Réaction d'un support ( $\vec{R}$ ) C'est la force exercée par un support sur un corps en contact avec lui. Elle se décompose en :
- Composante normale ( $\vec{R}_N$ ) : perpendiculaire au support.
- Composante tangentielle ( $\vec{f}$ ) ou force de frottement : parallèle au support, s'opposant au mouvement ou à sa tendance. Si les frottements sont négligeables, $\vec{R} = \vec{R}_N$ . Si les frottements ne sont pas négligeables, $\vec{R} = \vec{R}_N + \vec{f}$ . L'intensité de la force de frottement est souvent donnée par $f = \mu_c R_N$ (frottement cinétique) ou $f = k v^n$ (frottement fluide).
Tension d'un fil ( $\vec{T}$ ) Force exercée par un fil ou une corde sur un corps auquel il est attaché. Elle est dirigée le long du fil, loin du corps.

III. Application de la deuxième loi de Newton

La méthode générale pour appliquer la 2e loi de Newton est la suivante :

Choisir le système étudié (le corps dont on veut étudier le mouvement).
Choisir un référentiel d'étude et préciser qu'il est supposé galiléen.
Faire le bilan des forces extérieures s'exerçant sur le système et les représenter sur un schéma.
Appliquer la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$ .
Choisir un repère (axes) adapté au mouvement.
Projeter la relation vectorielle sur les axes du repère pour obtenir les équations scalaires du mouvement.
Intégrer les équations d'accélération pour obtenir les équations de vitesse, puis les équations de position (équations horaires), en utilisant les conditions initiales ( $v_0$ , $x_0$ ).

IV. Types de mouvements

Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) L'accélération est constante et non nulle : $\vec{a}_G = \text{constante} \neq \vec{0}$ .
- Équations horaires :
  - $a_x(t) = a_0$
  - $v_x(t) = a_0 t + v_{0x}$
  - $x(t) = \frac{1}{2} a_0 t^2 + v_{0x} t + x_0$
Chute libre verticale Un corps est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids. On néglige les frottements de l'air.
- Système : corps (S) de masse $m$ .
- Référentiel : terrestre, supposé galiléen.
- Forces : $\vec{P} = m\vec{g}$ .
- 2e loi de Newton : $m\vec{g} = m\vec{a}_G \implies \vec{a}_G = \vec{g}$ .
- En choisissant un axe Oz vertical dirigé vers le haut (ou vers le bas) : Si Oz est dirigé vers le haut : $a_z = -g$ . Si Oz est dirigé vers le bas : $a_z = g$ .
- Équations horaires (si Oz vers le haut, $v_{0z}$ $v_{0 z}$ et $z_0$ $z_{0}$ sont les conditions initiales) :
  - $a_z(t) = -g$
  - $v_z(t) = -g t + v_{0z}$
  - $z(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_{0z} t + z_0$
Mouvement sur un plan incliné On étudie le mouvement d'un solide sur un plan faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale.
- Forces : $\vec{P}$ , $\vec{R}$ (avec ou sans frottements).
- Repère adapté : un axe $x$ parallèle au plan (dirigé vers le bas ou le haut selon le mouvement), un axe $y$ normal au plan.
- Projections :
  - $\vec{P}$ : $P_x = P \sin\alpha = mg \sin\alpha$ , $P_y = -P \cos\alpha = -mg \cos\alpha$ .
  - $\vec{R}_N$ : $R_{Nx} = 0$ , $R_{Ny} = R_N$ .
  - $\vec{f}$ : $f_x = -f$ (si mouvement vers le bas), $f_y = 0$ .
- Les équations horaires sont obtenues par intégration.
Mouvement d'un projectile (chute libre parabolique) Mouvement d'un corps lancé avec une vitesse initiale $\vec{v}_0$ dans un champ de pesanteur uniforme, en négligeant les frottements de l'air.
- Forces : $\vec{P} = m\vec{g}$ .
- 2e loi de Newton : $\vec{a}_G = \vec{g}$ .
- Repère : $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec $O$ le point de lancement, $\vec{i}$ horizontal, $\vec{j}$ vertical vers le haut.
- Projections : $a_x = 0$ , $a_y = -g$ .
- Conditions initiales : $x_0 = 0$ , $y_0 = 0$ , $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ , $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ .
- Équations horaires :
  - $v_x(t) = v_0 \cos\alpha$
  - $v_y(t) = -g t + v_0 \sin\alpha$
  - $x(t) = (v_0 \cos\alpha) t$
  - $y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + (v_0 \sin\alpha) t$
- Équation de la trajectoire (parabolique) : en exprimant $t$ en fonction de $x$ à partir de $x(t)$ et en le substituant dans $y(t)$ . $y(x) = -\frac{g}{2 (v_0 \cos\alpha)^2} x^2 + (\tan\alpha) x$
Mouvement circulaire uniforme Un corps décrit une trajectoire circulaire à vitesse angulaire constante.
- L'accélération est centripète (dirigée vers le centre du cercle) : $a_N = \frac{v^2}{R}$
  
  Où $v$ est la vitesse linéaire et $R$ le rayon de la trajectoire.

V. Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

Énergie cinétique ( $E_c$ ) L'énergie cinétique d'un corps de masse $m$ et de vitesse $v$ est : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$

Elle s'exprime en Joules (J).
Travail d'une force constante ( $\vec{F}$ ) Le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{AB}$ est : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha$

Où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\vec{AB}$ . Il s'exprime en Joules (J).
- Travail moteur : $W > 0$ (la force favorise le mouvement).
- Travail résistant : $W < 0$ (la force s'oppose au mouvement).
- Travail nul : $W = 0$ (la force est perpendiculaire au déplacement).
Théorème de l'énergie cinétique (TEC) La variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants. $\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext})$

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Exercice 3 (5,5 points) : mouvement d'un solide

Étude du mouvement d'un solide sur un plan horizontal Un solide (S) de centre d'inertie G et de masse $m = 0,4 kg$ glisse sur un plan horizontal.

Question 1.1 : Appliquer la deuxième loi de Newton pour établir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie d'un système sur un plan horizontal ou incliné et déterminer les grandeurs cinématiques et dynamiques caractéristiques du mouvement.

--- CORRIGÉ OFFICIEL --- Méthode 0.5 Mouvement rectiligne uniformément variée 0.25 f=1.6N 0.5 Aboutir à OA=2.81m 0.5

Résolution détaillée :

1.1. Établissement de l'équation différentielle et détermination des grandeurs.
- Système étudié : Le solide (S) de masse $m$ .
- Référentiel d'étude : Référentiel terrestre, supposé galiléen.
- Bilan des forces extérieures :
  - Le poids $\vec{P}$ du solide, vertical vers le bas, d'intensité $P = mg$ .
  - La réaction $\vec{R}$ du plan horizontal. On suppose des frottements, donc $\vec{R}$ a une composante normale $\vec{R}_N$ et une composante tangentielle $\vec{f}$ (force de frottement). $\vec{R} = \vec{R}_N + \vec{f}$ .
  - (Si une force de traction est appliquée, elle serait aussi incluse). Ici, l'énoncé parle de "glisse", ce qui implique qu'il y a un mouvement et donc des frottements cinétiques s'opposant au mouvement.
- Représentation des forces : (Imagine un solide sur un plan horizontal, avec P vers le bas, $R_N$ vers le haut, et f opposé au sens du mouvement).
- Application de la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$ $\vec{P} + \vec{R}_N + \vec{f} = m \vec{a}_G$
- Choix du repère : On choisit un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec l'origine $O$ au point de départ du mouvement, l'axe $Ox$ horizontal dans le sens du mouvement et l'axe $Oy$ vertical vers le haut.
- Projection de la 2e loi de Newton sur les axes :
  - Sur l'axe $Ox$ : $P_x + R_{Nx} + f_x = m a_x$ $0 + 0 - f = m a_x$ (car $\vec{f}$ s'oppose au mouvement, donc $f_x = -f$ ) $-f = m a_x \implies a_x = -\frac{f}{m}$ (Équation différentielle si $f$ dépend de la vitesse, sinon c'est une accélération constante).
  - Sur l'axe $Oy$ : $P_y + R_{Ny} + f_y = m a_y$ $-P + R_N + 0 = m a_y$ Comme le mouvement est horizontal, $a_y = 0$ . $-mg + R_N = 0 \implies R_N = mg$
- Nature du mouvement et détermination des grandeurs : Puisque $f$ est une force de frottement constante (souvent le cas si non spécifié comme dépendant de la vitesse), alors $a_x = -\frac{f}{m}$ est une accélération constante. Le mouvement est donc rectiligne uniformément varié (décéléré) car l'accélération est constante et opposée au sens du mouvement.
  
  Pour déterminer $f$ et $OA$ , il nous faut plus d'informations de l'énoncé (vitesse initiale, distance parcourue, etc.). Les extraits d'annales montrent souvent des questions enchaînées. Supposons que l'énoncé donne une vitesse initiale $v_0$ et une distance $OA$ parcourue avant l'arrêt, ou une valeur de $f$ .
  
  Si l'énoncé donne $f = 1,6 N$ (comme dans le corrigé) : $a_x = -\frac{1,6}{0,4} = -4 \text{ m/s}^2$ .
  
  Si le solide part avec une vitesse $v_0$ et s'arrête en $A$ ( $v_A = 0$ ) : On utilise la relation indépendante du temps : $v_A^2 - v_0^2 = 2 a_x (x_A - x_0)$ . $0^2 - v_0^2 = 2 a_x (OA - 0)$ $-v_0^2 = 2 a_x OA \implies OA = -\frac{v_0^2}{2 a_x}$ . Si par exemple $v_0 = 5 \text{ m/s}$ et $a_x = -4 \text{ m/s}^2$ : $OA = -\frac{5^2}{2 \times (-4)} = -\frac{25}{-8} = 3,125 \text{ m}$ . Le corrigé donne $OA = 2,81 \text{ m}$ , ce qui implique une vitesse initiale différente ou une valeur de $f$ légèrement différente pour aboutir à ce résultat. L'important est la méthode.

La méthode

Pour réussir les exercices de mécanique, suis ces étapes rigoureuses :

Lecture attentive de l'énoncé : Repère les données (masse, angles, vitesses initiales, forces, etc.) et les grandeurs à calculer.
Définition du système et du référentiel :
- Système : Le corps ou l'ensemble de corps dont tu étudies le mouvement. Ex: "{solide (S)}", "{cycliste-bicyclette}".
- Référentiel : Précise le référentiel d'étude (terrestre, géocentrique, etc.) et mentionne qu'il est supposé galiléen.
Bilan des forces extérieures :
- Liste toutes les forces agissant sur le système (poids, réaction du support, frottements, tension d'un fil, force de propulsion, etc.).
- Représente-les sur un schéma clair. C'est crucial pour les projections.
Application de la 2e loi de Newton :
- Écris la loi sous sa forme vectorielle : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$ .
Choix du repère :
- Choisis un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ou $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ adapté à la géométrie du problème (axes parallèles/perpendiculaires au plan incliné, horizontal/vertical pour les projectiles).
- Indique l'orientation des axes.
Projection de la 2e loi de Newton :
- Projete chaque force et le vecteur accélération sur chaque axe du repère choisi. Fais attention aux signes !
- Tu obtiendras un système d'équations scalaires.
Détermination des équations horaires :
- À partir des expressions de l'accélération ( $a_x, a_y, a_z$ ), intègre une première fois pour obtenir les composantes de la vitesse ( $v_x, v_y, v_z$ ). N'oublie pas les constantes d'intégration qui sont les vitesses initiales ( $v_{0x}, v_{0y}, v_{0z}$ ).
- Intègre une deuxième fois pour obtenir les composantes de la position ( $x(t), y(t), z(t)$ ). N'oublie pas les constantes d'intégration qui sont les positions initiales ( $x_0, y_0, z_0$ ).
- Ces équations sont les équations horaires du mouvement.
Exploitation des résultats :
- Utilise les équations horaires pour répondre aux questions (déterminer une durée, une portée, une hauteur maximale, une vitesse à un instant donné, etc.).
- Si demandé, établis l'équation de la trajectoire en éliminant le temps $t$ des équations de position.
Théorème de l'énergie cinétique (TEC) :
- Si l'énoncé te guide vers un bilan énergétique, applique le TEC entre deux points A et B : $\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext})$ .
- Calcule l'énergie cinétique aux points A et B.
- Calcule le travail de chaque force extérieure entre A et B.
- Égalise et résous pour la grandeur demandée.
Unités et chiffres significatifs : Toujours donner les résultats avec les bonnes unités et un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données.

Pièges classiques

Oubli du référentiel et de sa nature galiléenne : C'est une phrase obligatoire en début de résolution. Sans elle, ta démarche est incomplète.
Erreur dans le bilan des forces : Oublier une force (ex: frottements) ou en ajouter une qui n'existe pas (ex: force d'inertie dans un référentiel galiléen). Fais toujours un schéma.
Erreur de projection : Les signes des composantes des forces et de l'accélération sont cruciaux. Un angle mal identifié ou un signe inversé fausse tout.
- Exemple : Sur un plan incliné, la composante du poids sur l'axe $x$ (parallèle au plan) est $mg \sin\alpha$ , et sur l'axe $y$ (normal au plan) est $-mg \cos\alpha$ (si $y$ est vers le haut).
Confusion entre vitesse et accélération : L'accélération est la dérivée de la vitesse, la vitesse est la dérivée de la position. Ne mélange pas les formules.
Oubli des conditions initiales : Lors de l'intégration, les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions initiales (position et vitesse à $t=0$ ). Sans elles, tes équations horaires sont incomplètes.
Mauvaise application du Théorème de l'Énergie Cinétique (TEC) :
- Ne pas inclure toutes les forces extérieures dans la somme des travaux.
- Confondre le travail du poids avec la variation d'énergie potentielle.
- Oublier que le travail d'une force perpendiculaire au déplacement est nul (ex: $W(\vec{R}_N)$ sur un plan).
Erreurs de calcul ou d'unités : Vérifie toujours tes calculs et assure-toi que tes résultats ont les bonnes unités.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre de mécanique est un pilier de l'examen, représentant environ 27% de la partie physique. Il est systématiquement présent sous forme d'un exercice complet (souvent l'Exercice 3) de 5 à 6 points.

Formats de questions réels et barème (basé sur les annales) :

Application de la 2e loi de Newton (1.5 à 2 points) :
- Bilan des forces et schéma : 0.5 point.
- Écriture de la 2e loi de Newton vectorielle : 0.25 point.
- Projection sur les axes et obtention des équations différentielles/d'accélération : 0.5 à 1 point.
- Exemple d'annale : "Appliquer la deuxième loi de Newton pour établir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie d’un système sur un plan horizontal ou incliné et déterminer les grandeurs cinématiques et dynamiques caractéristiques du mouvement." (Méthode 0.5, Mouvement rectiligne uniformément varié 0.25)
Établissement des équations horaires (1 à 1.5 points) :
- Intégration de l'accélération pour la vitesse : 0.5 point.
- Intégration de la vitesse pour la position : 0.5 point.
- Utilisation des conditions initiales : 0.25 à 0.5 point.
- Exemple d'annale : "Connaître et exploiter les caractéristiques du mouvement rectiligne uniformément varié et ses équations horaires."
Exploitation des équations horaires ou de la trajectoire (1 à 2 points) :
- Calcul d'une grandeur spécifique (temps, distance, vitesse, hauteur maximale, portée) : 0.5 à 1 point par calcul.
- Établissement de l'équation de la trajectoire : 0.5 point.
- Exemple d'annale : "Aboutir à OA=2.81m 0.5" ou "Aboutir à $y = \frac{g}{2(v_0 \cos\alpha)^2} x^2 + (\tan\alpha) x$ "
Théorème de l'énergie cinétique (TEC) (1 à 1.5 points) :
- Écriture de la formule du TEC : 0.25 point.
- Calcul des travaux des forces : 0.5 à 0.75 point.
- Application numérique et résultat : 0.5 point.
- Exemple d'annale : "Connaître et exploiter l'expression de l'énergie cinétique." ou "Appliquer le théorème de l'énergie cinétique."
Analyse de mouvement spécifique (chute libre, plan incliné, projectile, circulaire) : Ces contextes sont les plus fréquents.
- Chute libre : Souvent pour déterminer $g$ ou étudier un mouvement vertical.
- Plan incliné : Avec ou sans frottements, pour calculer une accélération, une distance, une vitesse.
- Projectile : Très fréquent, pour la portée, la hauteur maximale, l'équation de la trajectoire.
- Mouvement circulaire : Plus rare, mais l'accélération centripète $a_N = v^2/R$ est à connaître.

Compétences évaluées :

Utiliser les ressources (savoirs / savoir-faire) : C'est la capacité à appliquer les lois, les formules et les méthodes.
Résoudre un problème : Cela implique de décomposer le problème, de choisir la bonne approche et de mener les calculs jusqu'au bout.
Appliquer une démarche expérimentale : Exploiter des données, des courbes (ex: $v(t)$ , $a(t)$ ) pour en déduire des grandeurs physiques.

Conseils pour l'examen :

Rigueur : Chaque étape doit être justifiée. Ne saute pas d'étapes, même si elles te semblent évidentes.
Clarté : Tes schémas doivent être lisibles, tes équations bien écrites.
Maîtrise des mathématiques : L'intégration et la dérivation sont des outils essentiels.
Entraînement : Refais les annales, c'est la meilleure façon de t'habituer au format et aux attentes.

Exercice 5·Moyen

Exercice 3 (5,5 points) : Évolution d’un système mécanique Les mouvements des systèmes mécaniques dépendent de la nature des actions mécaniques qui leurs sont appliquées. L’étude de l’évolution temporelle de ces systèmes permet de déterminer certaines grandeurs dynamiques et cinématiques et d’expliquer certains aspects énergétiques. Cet exercice vise l’étude du mouvement de translation rectiligne d’un solide sur un plan incliné et l’étude du mouvement du système oscillant (solide - ressort). Dans cet exercice tous les frottements sont supposés négligeables.

Partie 1 : Mouvement d’un solide sur un plan incliné On considère un solide (S) de masse m susceptible de glisser selon la ligne de plus grande pente d’un plan incliné faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontal. Le solide (S) démarre sans vitesse initiale, à l’instant t $_{0}$ = 0 à partir de la position O sous l’action d’une force motrice $\vec{F}$ constante. Le solide (S) passe par la position A avec la vitesse V $_{A}$ . On étudie le mouvement du centre d’inertie G du solide (S) dans un repère (O, $\vec{i}$ ) lié à la Terre supposé galiléen (figure 1). L’abscisse de G à t $_{0}$ = 0 est x $_{0}$ = 0. Données : m = 100 g ; g = 10 m.s $^{-2}$ ; $\alpha$ = 30° ; V $_{A}$ = 2,4 m.s $^{-1}$

En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l’équation différentielle vérifiée par x $_{G}$ s’écrit : $\frac{d^2x_G}{dt^2}$ = $\frac{F}{m}$ - g.sin $\alpha$ .
La figure (2) donne l’évolution de la vitesse v(t). 2.1. Déterminer graphiquement la valeur de l’accélération du mouvement de G. 2.2. Calculer l’intensité de la force $\vec{F}$ .
À partir de la position A, le solide (S) n’est plus soumis à la force motrice $\vec{F}$ et s’arrête en une position B. On choisit A comme nouvelle origine des abscisses et l’instant de passage de G par A comme nouvelle origine des dates. 3.1. En utilisant l’équation différentielle établie dans la question (1), montrer que le mouvement de G entre A et B est rectiligne uniformément varié. 3.2. Déterminer la distance AB.

Partie 2 : Mouvement d’un système {solide-ressort} On considère le système {solide (S) - ressort} représenté sur la figure (3). Le ressort est à spires non jointives, d’axe horizontal, de masse négligeable et de raideur K. On étudie le mouvement du centre d’inertie G du solide (S) de masse m = 100 g dans un repère (O, $\vec{i}$ ) lié à la Terre supposé galiléen. À l’équilibre x $_{G}$ = x $_{0}$ = 0. On écarte (S) de sa position d’équilibre d’une distance X $_{m}$ et on l’abandonne sans vitesse initiale à l’instant t $_{0}$ = 0. Le solide (S) effectue 10 oscillations pendant la durée $\Delta$ t = 3,14 s.

Déterminer la valeur de la période propre T $_{0}$ .
Déduire la valeur de K.
On choisit l’état où le ressort n’est pas déformé comme référence de l’énergie potentielle élastique E $_{pe}$ et le plan horizontal contenant G comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur E $_{pp}$ . La courbe de la figure (4) représente le diagramme d’énergie potentielle élastique E $_{pe}$ = f(x). En exploitant le diagramme, déterminer les valeurs de : a. L’amplitude X $_{m}$ . b. L’énergie mécanique E $_{m}$ du système oscillant. c. La vitesse maximale du mouvement de (S).

Figure (1)

Figure (2)

Figure (3)

Voir la correction

Partie 1 :

L'équation différentielle est $\frac{d^2x_G}{dt^2}$ = $\frac{F}{m}$ - g.sin $\alpha$ . 2.1. a $_{G}$ = 1,5 m.s $^{-2}$ . 2.2. F = 0,65 N. 3.1. Le mouvement de G entre A et B est rectiligne uniformément varié car l'accélération a $_{G}$ = -g.sin $\alpha$ est constante. 3.2. AB = 0,576 m. Partie 2 :
T $_{0}$ = 0,314 s.
K = 40 N.m $^{-1}$ . 3.a. X $_{m}$ = 0,04 m. 3.b. E $_{m}$ = 3,2.10 $^{-2}$ J. 3.c. V $_{max}$ = 0,8 m.s $^{-1}$ .

Partie 1 :

Application de la deuxième loi de Newton ( $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ ) et projection sur l'axe Ox. 2.1. Détermination de l'accélération a $_{G}$ comme le coefficient directeur de la courbe v(t). 2.2. Calcul de F à partir de l'équation différentielle : F = m(a $_{G}$ + g.sin $\alpha$ ). 3.1. Analyse de l'équation différentielle lorsque F=0 pour montrer que l'accélération est constante. 3.2. Utilisation des équations horaires du mouvement rectiligne uniformément varié ou du théorème de l'énergie cinétique pour calculer AB. Partie 2 :
Calcul de la période propre T $_{0}$ = $\frac{\Delta t}{N_{oscillations}}$ .
Déduction de K à partir de la formule de la période propre T $_{0}$ = 2 $\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$ . 3.a. Lecture de l'amplitude X $_{m}$ sur le diagramme d'énergie potentielle élastique (valeur maximale de x). 3.b. L'énergie mécanique E $_{m}$ est conservée et égale à l'énergie potentielle élastique maximale E $_{pe,max}$ = $\frac{1}{2}$ KX $_{m}^2$ (ou lue sur le graphe). 3.c. La vitesse maximale V $_{max}$ est atteinte lorsque l'énergie potentielle est minimale (nulle à l'équilibre). E $_{m}$ = $\frac{1}{2}$ mV $_{max}^2$ .

Mécanique (Newton, mouvements)

Méthode officielle