Suites numériques

L'intuition

Imagine que tu as une petite plante qui pousse dans ton jardin. Chaque jour, tu mesures sa hauteur. Le premier jour, elle fait 5 cm. Le deuxième jour, 7 cm. Le troisième jour, 9 cm. Tu remarques qu'elle grandit de 2 cm chaque jour. C'est une suite numérique : une liste ordonnée de nombres. Chaque hauteur est un terme de la suite, et l'ordre est donné par le jour.

En maths, une suite numérique, c'est exactement ça : une fonction qui, à chaque entier naturel (le jour $n$), associe un nombre réel (la hauteur $u_n$). On s'intéresse à comment ces nombres évoluent : est-ce qu'ils augmentent (la plante pousse), diminuent (elle fane), ou se stabilisent (elle atteint sa taille maximale) ? C'est ce qu'on appelle la monotonie et la convergence.

Le cours

Une suite numérique est une application de $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ comme $\mathbb{N}^*$) dans $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$. $u_n$ est le terme général de la suite.

Modes de définition d'une suite

1. Formule explicite : $u_n = f(n)$. Le terme $u_n$ est directement exprimé en fonction de $n$. Exemple : $u_n = 2n + 3$. Pour avoir $u_5$, tu remplaces $n$ par 5 : $u_5 = 2(5) + 3 = 13$.

2. Formule de récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ et un premier terme $u_0$ (ou $u_p$). Pour calculer un terme, tu as besoin du précédent. Exemple : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. $u_1 = 2u_0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$. $u_2 = 2u_1 + 1 = 2(3) + 1 = 7$.

Monotonie d'une suite

La monotonie décrit le sens de variation d'une suite.

• Suite croissante : $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$.
• Suite strictement croissante : $(u_n)$ est strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$.
• Suite décroissante : $(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n$.
• Suite strictement décroissante : $(u_n)$ est strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$.
• Suite constante : $(u_n)$ est constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.

Comment étudier la monotonie ? Tu as plusieurs méthodes :

1. Étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

   • Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$, alors $(u_n)$ est croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n \le 0$, alors $(u_n)$ est décroissante.

2. Comparer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$) :

   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$, alors $(u_n)$ est croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$, alors $(u_n)$ est décroissante.

3. Étudier les variations de la fonction $f$ associée (si $u_n = f(n)$) : Si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante. Si $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est décroissante.

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n + r$.

Propriétés :

• Terme général : $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_p + (n-p)r$.
• Somme des termes : La somme des $N$ premiers termes $S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1}$ est donnée par $S_N = N \frac{u_0 + u_{N-1}}{2}$. Plus généralement, la somme des termes de $u_p$ à $u_n$ est $S = (n-p+1) \frac{u_p + u_n}{2}$.

1. 1

   On a $u_{n+1} = u_n + r$.

2. 2

   $u_1 = u_0 + r$

3. 3

   $u_2 = u_1 + r = (u_0 + r) + r = u_0 + 2r$

4. 4

   $u_3 = u_2 + r = (u_0 + 2r) + r = u_0 + 3r$

5. 5

   Par récurrence, on peut montrer que $u_n = u_0 + nr$.

Étape suivante

Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = q \times u_n$.

Propriétés :

• Terme général : $u_n = u_0 q^n$ ou $u_n = u_p q^{n-p}$.
• Somme des termes : La somme des $N$ premiers termes $S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1}$ est donnée par :
  • Si $q = 1$, $S_N = N u_0$.
  • Si $q \ne 1$, $S_N = u_0 \frac{1 - q^N}{1 - q}$.

1. 1

   On a $u_{n+1} = q \times u_n$.

2. 2

   $u_1 = q \times u_0$

3. 3

   $u_2 = q \times u_1 = q \times (q \times u_0) = q^2 u_0$

4. 4

   $u_3 = q \times u_2 = q \times (q^2 u_0) = q^3 u_0$

5. 5

   Par récurrence, on peut montrer que $u_n = u_0 q^n$.

Étape suivante

Suites bornées

• Suite majorée : $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$.
• Suite minorée : $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \ge m$ pour tout $n$.
• Suite bornée : $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Comment montrer qu'une suite est bornée ? Souvent, on utilise la démonstration par récurrence.

• Pour montrer $u_n \le M$ :
  1. Initialisation : Vérifier que $u_0 \le M$.
  2. Hérédité : Supposer que $u_k \le M$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$ (hypothèse de récurrence). Montrer alors que $u_{k+1} \le M$.
  3. Conclusion : Par le principe de récurrence, $u_n \le M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Convergence des suites

Une suite $(u_n)$ est dite convergente si elle admet une limite finie $L$ quand $n$ tend vers $+\infty$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, la suite est dite divergente.

Théorèmes de convergence importants :

1. Théorème de convergence monotone :

   • Toute suite croissante et majorée est convergente.
   • Toute suite décroissante et minorée est convergente.

2. Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Si $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que pour $n$ assez grand, $v_n \le u_n \le w_n$, et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.

3. Limite des suites géométriques $(q^n)$ :

   • Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
   • Si $q = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
   • Si $|q| < 1$ (c'est-à-dire $-1 < q < 1$), alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
   • Si $q \le -1$, alors $(q^n)$ diverge (n'a pas de limite).

4. Convergence d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ est convergente vers une limite $L$, et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors $L$ est solution de l'équation $L = f(L)$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$. b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.

2. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = u_n - 1$. a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme. b) Écrire $u_n$ en fonction de $n$ et calculer sa limite.

Solution détaillée :

1) a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$. On utilise une démonstration par récurrence.

• Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 2$. On a $2 > 1$, donc la propriété est vraie pour $n=0$.

• Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain $k \in \mathbb{N}$, c'est-à-dire $u_k > 1$. Montrons que $u_{k+1} > 1$. On a $u_{k+1} = \frac{u_k + 1}{2}$. Puisque $u_k > 1$, alors $u_k + 1 > 1 + 1$, ce qui donne $u_k + 1 > 2$. En divisant par 2, on obtient $\frac{u_k + 1}{2} > \frac{2}{2}$, soit $u_{k+1} > 1$. Donc, la propriété est héréditaire.

• Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

1) b) Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.

• Calcul de $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 1}{2} - u_n$ $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 1 - 2u_n}{2}$ $u_{n+1} - u_n = \frac{1 - u_n}{2}$ $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(1 - u_n)$ L'égalité est vérifiée.

• Déduction de la monotonie : D'après la question 1) a), on sait que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$. Cela implique $1 - u_n < 0$. Puisque $\frac{1}{2} > 0$, alors $\frac{1}{2}(1 - u_n) < 0$. Donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

• Déduction de la convergence : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante (d'après ce qui précède). La suite $(u_n)$ est minorée par 1 (d'après la question 1) a), $u_n > 1$). D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée est convergente. Donc, la suite $(u_n)$ est convergente.

2) a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme. On a $v_n = u_n - 1$. Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. $v_{n+1} = u_{n+1} - 1$ $v_{n+1} = \frac{u_n + 1}{2} - 1$ $v_{n+1} = \frac{u_n + 1 - 2}{2}$ $v_{n+1} = \frac{u_n - 1}{2}$ Puisque $v_n = u_n - 1$, on a $v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n$. Ceci montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.

Calculons son premier terme $v_0$ : $v_0 = u_0 - 1 = 2 - 1 = 1$.

2) b) Écrire $u_n$ en fonction de $n$ et calculer sa limite.

• Expression de $u_n$ en fonction de $n$ : Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 1$ et de raison $q = \frac{1}{2}$, son terme général est $v_n = v_0 q^n = 1 \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$. On sait que $v_n = u_n - 1$, donc $u_n = v_n + 1$. En remplaçant $v_n$, on obtient $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n + 1$.

• Calcul de la limite de $(u_n)$ : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^n + 1 \right)$ Puisque $-1 < \frac{1}{2} < 1$, on sait que $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + 1 = 1$.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices sur les suites, comme le correcteur s'attend à les voir.

1. Étudier la minoration/majoration (souvent par récurrence)

   • Geste : Démontrer par récurrence que $u_n > m$ (minorée) ou $u_n < M$ (majorée).
   • Le calcul :
     1. 1

        Initialisation : Vérifier $u_0 > m$ (ou $u_0 < M$).

        $u_0 = 2$, $2 > 1$. Vrai.

     2. 2

        Hérédité : Supposer $u_k > m$.

     3. 3

        Montrer $u_{k+1} > m$.

     4. 4

        Conclusion : Par récurrence, $u_n > m$ pour tout $n$.

     Étape suivante

2. Étudier la monotonie

   • Geste : Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe.
   • Le calcul :
     1. 1

        Calculer $u_{n+1} - u_n$.

        $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n+1}{2} - u_n = \frac{1-u_n}{2}$.

     2. 2

        Utiliser le résultat de la minoration/majoration pour le signe.

     3. 3

        Conclure sur le sens de variation.

     Étape suivante

3. Déduire la convergence

   • Geste : Appliquer le théorème de convergence monotone.
   • Le calcul :
     1. 1

        Identifier la monotonie.

        $(u_n)$ est décroissante.

     2. 2

        Identifier la borne.

     3. 3

        Appliquer le théorème.

     Étape suivante

4. Reconnaître une suite arithmétique/géométrique (par changement de variable)

   • Geste : Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
   • Le calcul :
     1. 1

        Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$.

        $v_{n+1} = u_{n+1} - 1$.

     2. 2

        Remplacer $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$.

     3. 3

        Exprimer le résultat en fonction de $v_n$.

     4. 4

        Identifier la nature de la suite et sa raison.

     5. 5

        Calculer le premier terme.

     Étape suivante

5. Déterminer le terme général et la limite

   • Geste : Utiliser la formule du terme général de la suite auxiliaire, puis exprimer $u_n$.
   • Le calcul :
     1. 1

        Écrire $v_n$ en fonction de $n$.

        $v_n = v_0 q^n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

     2. 2

        Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.

     3. 3

        Remplacer $v_n$ pour avoir $u_n$ en fonction de $n$.

     4. 4

        Calculer la limite de $u_n$.

     Étape suivante

Pièges classiques

• Oublier l'initialisation dans une preuve par récurrence : C'est une erreur grave qui invalide toute la démonstration. Assure-toi toujours que la propriété est vraie pour le premier terme.
• Confondre $u_{n+1} - u_n$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ : N'utilise le rapport que si tu es sûr que tous les termes $u_n$ sont strictement positifs. Sinon, la différence est toujours la méthode la plus sûre.
• Affirmer la convergence sans justifier : Une suite ne converge pas "parce qu'elle tend vers une valeur". Il faut invoquer le théorème de convergence monotone (suite croissante/majorée ou décroissante/minorée) ou d'autres théorèmes (gendarmes, suite géométrique).
• Calculer la limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ sans vérifier la convergence : Si la suite diverge, l'équation $L = f(L)$ peut avoir des solutions qui ne sont pas la limite de la suite. Il faut d'abord prouver la convergence.
• Erreur de calcul dans la raison d'une suite géométrique : Une petite erreur de signe ou de fraction peut tout fausser. Vérifie bien tes calculs de $v_{n+1}/v_n$ ou $v_{n+1} - v_n$.
• Oublier le premier terme dans la formule de la somme : La formule $S_N = u_0 \frac{1 - q^N}{1 - q}$ est pour $N$ termes, de $u_0$ à $u_{N-1}$. Si tu commences à $u_1$, il faut ajuster.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des suites numériques est un classique de la partie "Analyse" de l'examen national, avec une pondération d'environ 55% pour l'analyse. Il est souvent intégré dans un problème plus large, ou constitue un exercice à part entière (souvent 3 à 4 points).

Les questions sont très standardisées et suivent la méthode que nous avons détaillée. Tu peux t'attendre à :

1. Démonstration par récurrence d'une inégalité ($u_n > m$ ou $u_n < M$) : C'est presque systématique. (0.5 à 0.75 point)
2. Étude de la monotonie de la suite $(u_n)$ : Généralement en calculant $u_{n+1} - u_n$ et en utilisant le résultat de la récurrence. (0.5 à 0.75 point)
3. Déduction de la convergence de $(u_n)$ : Application directe du théorème de convergence monotone. (0.25 point)
4. Introduction d'une suite auxiliaire $(v_n)$ : Souvent de la forme $v_n = u_n - L$ ou $v_n = \frac{u_n - a}{u_n - b}$, où $L$ est la limite potentielle de $u_n$.
   • Montrer que $(v_n)$ est géométrique (plus rarement arithmétique). (0.5 à 0.75 point)
   • Déterminer sa raison et son premier terme. (0.25 point)
5. Expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$ : Utilisation des formules du terme général. (0.5 point)
6. Calcul de la limite de $(u_n)$ : En utilisant l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et les limites des suites géométriques. (0.25 à 0.5 point)

Exemple de barème typique (basé sur les annales) :

• 1. a) Montrer que $u_n > 1$ : 0.75 pt (0.25 init + 0.25 hérédité + 0.25 conclusion)
• 1. b) Calcul $u_{n+1} - u_n$ : 0.5 pt Déduction monotonie : 0.25 pt Déduction convergence : 0.25 pt
• 2. a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique : 0.5 pt Raison et premier terme : 0.25 pt
• 2. b) Écrire $u_n$ en fonction de $n$ : 0.5 pt Calculer la limite de $u_n$ : 0.25 pt

Total : Environ 3.5 points sur 20.

La rédaction doit être rigoureuse et chaque affirmation justifiée. Ne saute pas d'étapes, surtout pour la récurrence et la convergence. C'est un chapitre où tu peux facilement marquer des points si tu maîtrises la méthode.