Fonctions exponentielles

L'intuition

Imagine que tu places de l'argent à la banque avec un taux d'intérêt composé. Chaque année, les intérêts que tu gagnes s'ajoutent à ton capital, et l'année suivante, tu gagnes des intérêts sur cette somme plus grande. La croissance de ton argent n'est pas constante, elle s'accélère. C'est le principe de la croissance exponentielle.

La fonction exponentielle, notée $e^x$ ou $\exp(x)$, décrit des phénomènes où le taux de changement est proportionnel à la quantité elle-même. C'est le cas pour la croissance des populations, la désintégration radioactive, ou les intérêts composés.

Pour comprendre $e^x$, pense à la fonction $\ln(x)$ que tu as déjà étudiée. La fonction $\ln(x)$ "ralentit" la croissance. La fonction $e^x$ fait l'inverse : elle "accélère" la croissance. C'est la fonction réciproque de $\ln(x)$.

Sur ce graphique, tu peux voir que la courbe de $e^x$ est symétrique à celle de $\ln(x)$ par rapport à la droite d'équation $y=x$. C'est la propriété fondamentale des fonctions réciproques.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Elle est notée $\exp(x)$ ou plus couramment $e^x$.

• Domaine de définition : La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$.
• Ensemble image : L'ensemble des valeurs prises par $e^x$ est $]0, +\infty[$.
• Valeurs particulières :
  • $e^0 = 1$
  • $e^1 = e \approx 2.718$
• Relation avec $\ln(x)$ :
  • Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
  • Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $e^{\ln(x)} = x$.

II. Propriétés algébriques

Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier relatif $n$ :

1. $e^{x+y} = e^x \times e^y$
2. $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
3. $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
4. $(e^x)^n = e^{nx}$
5. $\sqrt{e^x} = e^{x/2}$

Ces propriétés sont identiques à celles des puissances que tu connais déjà.

III. Étude de la fonction exponentielle

1. Continuité et dérivabilité

La fonction $x \mapsto e^x$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

• Dérivée : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$.
• Dérivée d'une fonction composée : Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

2. Sens de variation

Puisque $(e^x)' = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Limites

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

4. Croissances comparées

Ces limites sont cruciales pour lever les formes indéterminées. L'exponentielle "l'emporte" sur les puissances de $x$ en $+\infty$.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

IV. Équations et inéquations exponentielles

Pour résoudre des équations et inéquations impliquant $e^x$, on utilise la stricte croissance de la fonction exponentielle et sa réciprocité avec $\ln(x)$.

• $e^A = e^B \iff A = B$
• $e^A < e^B \iff A < B$
• $e^A = k$ avec $k > 0 \iff A = \ln(k)$
• $e^A < k$ avec $k > 0 \iff A < \ln(k)$
• Si $k \le 0$, l'équation $e^A = k$ n'a pas de solution, et l'inéquation $e^A < k$ n'a pas de solution.

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale réel : Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes : a) $e^{2x} + 3 = 0$ b) $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$ c) Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$

1. 1

   a) Résolution de $e^{2x} + 3 = 0$

2. 2

   $e^{2x} = -3$

3. 3

   Pour tout réel $X$, $e^X > 0$.

4. 4

   L'équation $e^{2x} = -3$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

5. 5

   L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$.

6. 6

   b) Résolution de $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$

7. 7

   On pose $Y = e^x$.

8. 8

   Comme $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $Y > 0$.

9. 9

   L'inéquation devient $Y^2 - 4Y + 3 < 0$.

10. 10

    On cherche les racines du trinôme $Y^2 - 4Y + 3 = 0$.

11. 11

    Le discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.

12. 12

    Les racines sont $Y_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ et $Y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

13. 13

    Puisque le coefficient de $Y^2$ est positif ($1 > 0$), le trinôme est négatif entre ses racines.

14. 14

    Donc, $1 < Y < 3$.

15. 15

    On remplace $Y$ par $e^x$ : $1 < e^x < 3$.

16. 16

    On a $1 < e^x \implies e^0 < e^x \implies 0 < x$.

17. 17

    On a $e^x < 3 \implies e^x < e^{\ln(3)} \implies x < \ln(3)$.

18. 18

    L'ensemble des solutions est $S = ]0, \ln(3)[$.

19. 19

    c) Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$

20. 20

    Quand $x \to 0$, $e^{2x} \to e^0 = 1$ et $e^x \to e^0 = 1$.

21. 21

    La limite est de la forme $\frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$, c'est une forme indéterminée.

22. 22

    On peut utiliser la factorisation ou les équivalents. Ici, on va factoriser.

23. 23

    On sait que $e^{2x} - 1 = (e^x)^2 - 1^2 = (e^x - 1)(e^x + 1)$.

24. 24

    Donc, $\frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = \frac{(e^x - 1)(e^x + 1)}{e^x - 1}$.

25. 25

    Pour $x \ne 0$, on peut simplifier par $(e^x - 1)$.

26. 26

    $\frac{(e^x - 1)(e^x + 1)}{e^x - 1} = e^x + 1$.

27. 27

    Alors, $\lim_{x \to 0} (e^x + 1) = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

28. 28

    Donc, $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} = 2$.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types attendus pour ce chapitre :

1. Résoudre une équation ou inéquation exponentielle :

   • Isoler le terme exponentiel.
   • Utiliser les propriétés $e^A = e^B \iff A = B$ ou $e^A < e^B \iff A < B$.
   • Si l'équation est de la forme $e^A = k$ avec $k>0$, appliquer $\ln$ des deux côtés : $A = \ln(k)$.
   • Si $k \le 0$, conclure qu'il n'y a pas de solution (car $e^X > 0$).
   • Pour les inéquations, ne pas oublier que $e^x$ est strictement croissante.
   • Changement de variable : Si tu as une expression de la forme $a(e^x)^2 + b(e^x) + c = 0$ ou $<0$, pose $Y = e^x$. Résous l'équation/inéquation en $Y$, puis reviens à $x$ en te rappelant que $Y > 0$.

2. Calculer une limite avec $e^x$ :

   • Évaluer directement. Si c'est une forme indéterminée ($\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$), passe à l'étape suivante.
   • Utiliser les croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.
   • Factoriser le terme dominant (souvent $e^x$ ou $x^n e^x$).
   • Changement de variable : Parfois, poser $X = -x$ pour une limite en $-\infty$ peut ramener à une limite en $+\infty$.
   • Identités remarquables ou équivalents : Pour les formes $\frac{0}{0}$ en $0$, pense à $e^x-1 \sim x$ quand $x \to 0$.

3. Dériver une fonction avec $e^x$ :

   • Appliquer la formule $(e^x)' = e^x$.
   • Appliquer la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ si l'exposant est une fonction de $x$.
   • Ne pas oublier les règles de dérivation des produits, quotients, sommes.

4. Étudier une fonction avec $e^x$ :

   • Domaine de définition : $\mathbb{R}$ pour $e^x$, mais attention si $e^x$ est dans un dénominateur, un $\ln$, etc.
   • Limites aux bornes du domaine de définition.
   • Calcul de la dérivée $f'(x)$.
   • Étude du signe de $f'(x)$ pour déterminer le sens de variation. Rappelle-toi que $e^x > 0$.
   • Tableau de variation.
   • Branches infinies : Asymptotes (horizontales, verticales, obliques) ou branches paraboliques.

Pièges classiques

1. Confondre $e^x$ et $x^n$ : La dérivée de $e^x$ est $e^x$, pas $xe^{x-1}$. La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

   Vérifie que tu suis

   Quelle est la dérivée de $f(x) = x^2 + e^x$?

   $2x + e^x$$2x + xe^{x-1}$$x^2 + e^x$

2. Oublier la condition $e^X > 0$ : Une équation comme $e^x = -5$ n'a pas de solution.

   Vérifie que tu suis

   Combien de solutions l'équation $e^x = -2$ a-t-elle dans $\mathbb{R}$?

   AucuneUneDeux

3. Erreurs dans les croissances comparées :

   • En $+\infty$, $e^x$ "gagne" sur $x^n$.
   • En $-\infty$, $e^x$ "perd" face à $x^n$ (mais $x^n e^x \to 0$).

   Vérifie que tu suis

   Quelle est la limite de $x^2 e^x$ quand $x \to -\infty$?

   $0$$+\infty$$-\infty$

4. Erreurs de signe lors de la résolution d'inéquations : La fonction $e^x$ est strictement croissante, donc $e^A < e^B \iff A < B$. Mais si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

5. Confondre $\ln(e^x)$ et $e^{\ln(x)}$ :

   • $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   • $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$. Le domaine de définition est important.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions exponentielles est presque systématiquement évalué dans le problème d'analyse de l'examen national. Il représente une part significative des points (environ 55% de l'épreuve pour l'analyse).

Les questions se présentent sous plusieurs formats :

• Résolution d'équations et inéquations exponentielles : C'est une application directe des propriétés. Tu dois maîtriser les changements de variable et les conditions de validité. (Poids : ~50% des habiletés évaluées)
  • Exemple : $e^{2x} - 4e^x + 3 < 0$.
• Calcul de limites : Souvent des formes indéterminées qui nécessitent l'utilisation des croissances comparées ou des factorisations. (Poids : ~50% des habiletés évaluées)
  • Exemple : $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}$ ou $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$.
• Calcul de dérivées : Application des formules de dérivation, y compris la dérivée de $e^{u(x)}$. (Poids : ~50% des habiletés évaluées)
  • Exemple : Dériver $f(x) = (1 + \ln x)^2 + \frac{1}{x}$ où $\ln x$ est souvent combiné avec $e^x$ dans d'autres parties du problème.
• Étude complète de fonction : C'est le cœur du problème d'analyse. Tu devras déterminer le domaine de définition, calculer les limites aux bornes, étudier la dérivée pour le sens de variation, dresser le tableau de variation, et étudier les branches infinies (asymptotes, branches paraboliques). La fonction exponentielle est souvent combinée avec d'autres fonctions (polynômes, logarithmes). (Poids : ~35% des habiletés évaluées, voire 15% pour la synthèse)
  • Exemple : Étudier une fonction $f(x) = e^x - x$.

Attends-toi à des questions qui combinent plusieurs notions. Par exemple, une fonction dont l'étude nécessite de résoudre une inéquation exponentielle pour trouver le signe de la dérivée.

La rédaction doit être rigoureuse. Chaque étape de calcul, chaque propriété utilisée doit être justifiée. Le barème est souvent détaillé par étape.