Dénombrement et probabilités

L'intuition

Imagine que tu dois choisir des joueurs pour ton équipe de foot. Tu as 11 postes et 20 joueurs. Comment tu fais ton choix ? Est-ce que l'ordre dans lequel tu choisis les joueurs compte ? Est-ce que tu peux choisir le même joueur plusieurs fois ? Ces questions sont au cœur du dénombrement.

Le dénombrement, c'est l'art de compter. Pas juste 1, 2, 3... mais de compter des possibilités, des arrangements, des combinaisons. C'est la base pour comprendre les probabilités. Si tu sais combien de cas sont possibles et combien sont favorables, tu peux calculer une probabilité.

Pense à une urne avec des boules de différentes couleurs. Si tu tires des boules, la probabilité que tu aies une boule rouge dépend de combien il y a de rouges et combien il y a de boules au total. C'est simple, mais ça peut vite devenir compliqué si tu tires plusieurs boules, si tu les remets ou non, si l'ordre compte ou pas.

Le cours

I. Dénombrement

Le dénombrement est l'étude des méthodes permettant de compter le nombre d'éléments d'un ensemble ou le nombre de façons de réaliser une action.

1. Principes fondamentaux

• Principe additif : Si une tâche peut être réalisée de $n_1$ façons ou de $n_2$ façons (sans chevauchement), alors le nombre total de façons de réaliser la tâche est $n_1 + n_2$.
• Principe multiplicatif : Si une tâche peut être décomposée en $p$ étapes, et que la première étape peut être réalisée de $n_1$ façons, la deuxième de $n_2$ façons, ..., et la $p$-ième de $n_p$ façons, alors le nombre total de façons de réaliser la tâche est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p$.

2. Arrangements

Un arrangement est un groupement ordonné d'éléments. L'ordre des éléments est important.

a) Arrangements sans répétition

On choisit $p$ éléments distincts parmi $n$ éléments. Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est noté $A_n^p$.

$A_n^p = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$

où $n!$ (factorielle $n$) est le produit de tous les entiers de 1 à $n$. Par convention, $0! = 1$. Condition : $p \le n$.

b) Permutations

Une permutation est un arrangement de $n$ éléments parmi $n$. C'est un cas particulier d'arrangement sans répétition où $p=n$. Le nombre de permutations de $n$ éléments est noté $P_n$ ou $n!$.

$P_n = A_n^n = n!$

c) Arrangements avec répétition

On choisit $p$ éléments parmi $n$ éléments, avec la possibilité de choisir plusieurs fois le même élément. L'ordre est important. Le nombre d'arrangements avec répétition de $p$ éléments parmi $n$ est $n^p$.

3. Combinaisons

Une combinaison est un groupement non ordonné d'éléments. L'ordre des éléments n'est pas important.

a) Combinaisons sans répétition

On choisit $p$ éléments distincts parmi $n$ éléments, sans que l'ordre n'importe. Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est noté $C_n^p$ ou $\binom{n}{p}$.

$C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Condition : $p \le n$.

Propriétés des combinaisons :

• $C_n^p = C_n^{n-p}$
• $C_n^0 = 1$
• $C_n^n = 1$
• $C_n^1 = n$
• Formule de Pascal : $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$

b) Combinaisons avec répétition

Hors programme officiel pour le 2ème Bac marocain.

II. Probabilités

La probabilité est une mesure de la chance qu'un événement se produise.

1. Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude.
• Univers ($\Omega$) : L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Événement : Un sous-ensemble de l'univers.
• Événement élémentaire : Un événement qui ne contient qu'un seul résultat possible.
• Événement certain : L'univers lui-même ($\Omega$). Sa probabilité est 1.
• Événement impossible : L'ensemble vide ($\emptyset$). Sa probabilité est 0.
• Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) : Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. Dans ce cas, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Événement contraire ($\bar{A}$ ou $A^c$) : L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

2. Calcul des probabilités

a) Cas d'équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se réaliser. La probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$

b) Propriétés

• $0 \le P(A) \le 1$
• $P(\Omega) = 1$
• $P(\emptyset) = 0$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

3. Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est la probabilité que l'événement $A$ se réalise, sachant que l'événement $B$ est déjà réalisé. Elle est notée $P(A|B)$ ou $P_B(A)$.

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

avec $P(B) \neq 0$.

De cette formule, on déduit la formule de la probabilité d'une intersection :

$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$

ou

$P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$

4. Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Cela se traduit par :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A|B) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$) et $P(B|A) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$).

III. Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

1. Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

a) Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ que $X$ peut prendre et de leurs probabilités $P(X=x_i)$. Propriétés :

• $P(X=x_i) \ge 0$ pour tout $i$.
• $\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i) = 1$.

b) Espérance mathématique

L'espérance mathématique $E(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est la valeur moyenne que l'on peut attendre de $X$ sur un grand nombre d'expériences.

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)$

c) Variance et écart-type

• Variance ($V(X)$) : Mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance. $V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i) = E(X^2) - (E(X))^2$

• Écart-type ($\sigma(X)$) : Racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que $X$. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

IV. Loi binomiale (hors programme officiel pour le 2ème Bac marocain, mais utile pour comprendre les annales)

Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux résultats possibles : succès ou échec. Une loi binomiale $B(n, p)$ décrit le nombre de succès dans une séquence de $n$ expériences de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$. La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est :

$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

L'espérance d'une loi binomiale est $E(X) = np$. La variance est $V(X) = np(1-p)$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. On considère les événements suivants :

• $A$ : « Obtenir trois boules vertes »
• $B$ : « Obtenir trois boules de même couleur »
• $C$ : « Obtenir au moins deux boules de même couleur »

1) Montrer que $P(A) = \frac{1}{120}$ et $P(B) = \frac{7}{40}$ 2) Calculer $P(C)$

Analyse de l'énoncé :

• Total de boules : $3V + 6R + 1N = 10$ boules.
• Tirage : Simultané de 3 boules. Cela signifie que l'ordre ne compte pas, on utilise donc les combinaisons $C_n^p$.

Résolution :

1) Calculer $P(A)$ et $P(B)$

• Calcul du nombre total de cas possibles (Card($\Omega$)) : On tire 3 boules parmi 10. $\text{Card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

• Calcul de $P(A)$ : L'événement $A$ est « Obtenir trois boules vertes ». Il y a 3 boules vertes dans l'urne. On veut en tirer 3. $\text{Card}(A) = C_3^3 = 1$

  $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{1}{120}$

  Le résultat est bien celui attendu.

• Calcul de $P(B)$ : L'événement $B$ est « Obtenir trois boules de même couleur ». Cela signifie obtenir 3 vertes OU 3 rouges OU 3 noires.

  • 3 vertes : $C_3^3 = 1$
  • 3 rouges : $C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
  • 3 noires : $C_1^3 = 0$ (on ne peut pas tirer 3 boules noires s'il n'y en a qu'une) $\text{Card}(B) = C_3^3 + C_6^3 + C_1^3 = 1 + 20 + 0 = 21$

  $P(B) = \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{21}{120}$

  Pour simplifier la fraction : $21 = 3 \times 7$ et $120 = 3 \times 40$. $P(B) = \frac{7}{40}$

  Le résultat est bien celui attendu.

2) Calculer $P(C)$

• L'événement $C$ est « Obtenir au moins deux boules de même couleur ». C'est un peu ambigu. Généralement, "au moins deux boules de même couleur" signifie qu'il y a soit exactement deux boules de la même couleur (et la troisième est différente), soit trois boules de la même couleur.

  Interprétation 1 : "Au moins deux boules de même couleur" signifie que le tirage n'est pas composé de trois couleurs différentes. L'événement contraire $\bar{C}$ serait « Obtenir trois boules de couleurs différentes ». Pour obtenir 3 boules de couleurs différentes, il faut 1 verte, 1 rouge et 1 noire. $\text{Card}(\bar{C}) = C_3^1 \times C_6^1 \times C_1^1 = 3 \times 6 \times 1 = 18$

  $P(\bar{C}) = \frac{\text{Card}(\bar{C})}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

  Alors $P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

  Interprétation 2 : "Au moins deux boules de même couleur" signifie (2 Vertes et 1 non Verte) OU (2 Rouges et 1 non Rouge) OU (3 Vertes) OU (3 Rouges). C'est plus complexe à calculer directement. L'approche par l'événement contraire est souvent plus simple pour "au moins".

  Vérifions l'interprétation la plus courante pour "au moins deux boules de même couleur" dans ce contexte. Si on tire 3 boules, les cas possibles sont :

  1. 3 couleurs différentes (V, R, N)
  2. 2 boules de même couleur, 1 différente (VVX, RRX)
  3. 3 boules de même couleur (VVV, RRR)

  L'événement $C$ couvre les cas 2 et 3. L'événement $\bar{C}$ couvre le cas 1. Donc l'interprétation 1 est la bonne.

  $P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{18}{120} = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices de dénombrement et probabilités :

1. Lire attentivement l'énoncé :

   • Quel est le nombre total d'éléments ?
   • Quel est le nombre d'éléments à choisir ?
   • Le tirage est-il simultané (ordre ne compte pas, combinaisons $C_n^p$) ou successif (ordre compte) ?
   • Si successif, est-ce avec remise (répétition autorisée, $n^p$) ou sans remise (répétition non autorisée, arrangements $A_n^p$ ou permutations $n!$) ?
   • Y a-t-il des contraintes supplémentaires (couleur, numéro, etc.) ?

2. Déterminer l'univers ($\Omega$) :

   • Calculer le nombre total de cas possibles (Card($\Omega$)) en utilisant la méthode de dénombrement appropriée (combinaisons, arrangements, etc.).

3. Identifier l'événement :

   • Décrire précisément l'événement $A$ dont on cherche la probabilité.
   • Si l'événement est complexe (ex: "au moins", "exactement"), pense à l'événement contraire ou à la décomposition en événements incompatibles.

4. Calculer le nombre de cas favorables (Card($A$)) :

   • Appliquer les mêmes principes de dénombrement que pour Card($\Omega$), mais en respectant les conditions de l'événement $A$.

5. Calculer la probabilité $P(A)$ :

   • Si c'est un cas d'équiprobabilité (le plus fréquent au bac), $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.
   • Simplifier la fraction.

6. Pour les probabilités conditionnelles :

   • Identifier les événements $A$ et $B$.
   • Calculer $P(A \cap B)$ et $P(B)$.
   • Appliquer la formule $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

7. Pour les variables aléatoires :

   • Déterminer les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre la variable $X$.
   • Pour chaque $x_i$, calculer $P(X=x_i)$ en utilisant les méthodes de dénombrement.
   • Vérifier que $\sum P(X=x_i) = 1$.
   • Calculer l'espérance $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.

1. 1

   Étape 1: Comprendre le type de tirage

   Tirage simultané de 3 boules parmi 10. L'ordre ne compte pas.

2. 2

   Étape 2: Calculer le nombre total de cas possibles (Card($\Omega$))

3. 3

   Étape 3: Identifier l'événement A

4. 4

   Étape 4: Calculer le nombre de cas favorables à A (Card(A))

5. 5

   Étape 5: Calculer $P(A)$

6. 6

   Étape 6: Identifier l'événement B

7. 7

   Étape 7: Calculer le nombre de cas favorables à B (Card(B))

8. 8

   Étape 8: Calculer $P(B)$

9. 9

   Étape 9: Identifier l'événement C

10. 10

    Étape 10: Identifier l'événement contraire $\bar{C}$

11. 11

    Étape 11: Calculer le nombre de cas favorables à $\bar{C}$ (Card($\bar{C}$))

12. 12

    Étape 12: Calculer $P(\bar{C})$

13. 13

    Étape 13: Calculer $P(C)$

Étape suivante

Pièges classiques

• Confusion entre arrangement et combinaison : C'est l'erreur la plus fréquente. Demande-toi toujours si l'ordre des éléments compte. Si oui, c'est un arrangement. Si non, c'est une combinaison.

  • Exemple : Choisir 3 personnes pour un comité (combinaison) vs. choisir un président, un vice-président et un secrétaire (arrangement).

• Confusion entre avec et sans répétition : Est-ce que tu peux choisir le même élément plusieurs fois ?

  • Exemple : Tirer des boules avec remise (avec répétition) vs. sans remise (sans répétition).

• Oublier la factorielle dans les combinaisons : Rappelle-toi que $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!}$. La division par $p!$ "enlève" l'ordre.

• Erreur dans le calcul de Card($\Omega$) : Si le nombre total de cas possibles est faux, toutes tes probabilités seront fausses. Prends le temps de bien le calculer.

• Mal interpréter "au moins" ou "exactement" :

  • "Au moins $k$" signifie $k$ ou plus. Souvent, il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire ("moins de $k$").
  • "Exactement $k$" signifie précisément $k$.

• Ne pas simplifier les fractions : Même si le résultat est juste, une fraction non simplifiée peut te coûter des points à l'examen.

• Oublier les conditions pour les probabilités conditionnelles : $P(A|B)$ n'est définie que si $P(B) \neq 0$.

• Confondre indépendance et incompatibilité :

  • Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Ils peuvent se produire en même temps.
  • Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps. Si $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A) \neq 0$, $P(B) \neq 0$, alors ils ne peuvent pas être indépendants.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre de dénombrement et probabilités est un pilier de l'examen national, avec une pondération significative (~15% du total des Nombres complexes + Probabilités, soit environ 4-5% de l'examen global). Il est souvent présenté sous forme d'un exercice indépendant de 2.5 à 3.5 points.

Formats de questions réels :

1. Calcul de probabilités simples (équiprobabilité) :

   • On te donne une urne avec des boules de différentes couleurs/numéros.
   • On te demande de calculer la probabilité d'événements simples (ex: "obtenir 3 boules blanches", "obtenir 2 boules de même couleur").
   • Le tirage est généralement simultané (combinaisons) ou successif sans remise (arrangements). Le tirage successif avec remise est plus rare mais possible.
   • Exemple d'annale : "Montrer que $p(A) = \frac{1}{6}$ ; où A est l'évènement 'N'obtenir aucune boule rouge'". (2025 PC/SVT)

2. Probabilités conditionnelles et indépendance :

   • On te demande de calculer $P(A|B)$ ou de déterminer si deux événements sont indépendants.
   • Exemple d'annale : "Les évènements A et B sont-ils indépendants ? justifier." (2025 PC/SVT)

3. Variables aléatoires discrètes :

   • On définit une variable aléatoire $X$ liée aux résultats d'une expérience.
   • On te demande de déterminer les valeurs possibles de $X$.
   • On te demande de calculer la loi de probabilité de $X$ (c'est-à-dire $P(X=x_i)$ pour chaque valeur $x_i$).
   • On te demande de calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
   • La variance et l'écart-type sont moins fréquents mais peuvent apparaître.
   • Exemple d'annale : "Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilités de X. Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X". (2025 PC/SVT)

Attentes du correcteur :

• Rigueur dans la rédaction : Chaque étape doit être justifiée.
  • Commence par déterminer Card($\Omega$).
  • Ensuite, détermine Card($A$) pour chaque événement.
  • Applique la formule $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.
  • Simplifie toujours les fractions.
• Maîtrise des formules de dénombrement : Savoir choisir entre $C_n^p$, $A_n^p$, et $n^p$ est crucial.
• Clarté des calculs : Montre tes calculs intermédiaires, surtout pour les combinaisons et arrangements.
• Justification de l'indépendance : Pour prouver l'indépendance, tu dois calculer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ et montrer qu'ils sont égaux (ou différents).
• Tableau de la loi de probabilité : Pour les variables aléatoires, présente clairement les valeurs de $X$ et leurs probabilités associées.

Ce chapitre est très mécanique. Une bonne compréhension des définitions et une pratique régulière des exercices types te permettront de sécuriser ces points à l'examen.