Produit scalaire et vectoriel dans $V_3$

Ce chapitre est crucial pour la géométrie dans l'espace et représente environ 15% de l'examen national. Il est souvent combiné avec des questions sur les plans, les droites et les sphères. La maîtrise des calculs et de leurs interprétations géométriques est essentielle.

L'intuition

Khoya, tkhayel belli 3andek jouj dyal les forces kayjebdo chi haja. Le produit scalaire kaygollik wach had les forces kay3awno ba3diyat'hom (produit scalaire positif), wla kay3ar9lo ba3diyat'hom (négatif), wla ma kay'attruw hta wa7ed 3la l'akhor (nul). C'est une mesure dyal l'alignement dyalhom.

O tkhayel 3andek jouj dyal les vecteurs f'wa7ed l'plan. Le produit vectoriel kay3tik un vecteur li kharej men dak l'plan, b7al chi mسمار dkhalti f'l'plan. L'ittijah dyalo kayt7addad b'la règle de la main droite.

Le cours

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$.

I. Produit scalaire

1. Définition et calcul

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est un nombre réel défini par :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$

Si $\theta$ est l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$, alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$

où $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ est la norme (ou longueur) du vecteur $\vec{u}$.

2. Propriétés

• Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• Homogénéité : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$

3. Orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Cette propriété est fondamentale pour montrer l'orthogonalité de droites, de plans, ou d'un vecteur à un plan.

4. Angle entre deux vecteurs

À partir de la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$, on peut déterminer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs non nuls :

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Puis $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}\right)$.

II. Produit vectoriel

1. Définition et calcul

Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est un vecteur défini par :

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix}$

Ce calcul peut être mémorisé à l'aide d'un déterminant symbolique :

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & x & x' \\ \vec{j} & y & y' \\ \vec{k} & z & z' \end{vmatrix} = (yz' - zy')\vec{i} - (xz' - zx')\vec{j} + (xy' - yx')\vec{k}$

Attention au signe moins devant la deuxième composante.

2. Propriétés

• Anticommutativité : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u})$
• Vecteurs colinéaires : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.
• Orthogonalité : Le vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$. Il est donc un vecteur normal au plan contenant $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
• Norme : $||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

3. Applications géométriques

• Aire d'un parallélogramme : L'aire $\mathcal{A}$ du parallélogramme construit sur les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donnée par : $\mathcal{A} = ||\vec{u} \wedge \vec{v}||$

• Aire d'un triangle : L'aire $\mathcal{A}$ du triangle formé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est la moitié de l'aire du parallélogramme : $\mathcal{A} = \frac{1}{2} ||\vec{u} \wedge \vec{v}||$

• Vecteur normal à un plan : Si un plan est défini par trois points non alignés $A, B, C$, alors le vecteur $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ est un vecteur normal à ce plan. Cela permet de trouver une équation cartésienne du plan. Un plan passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ a pour équation cartésienne : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$

  qui se développe en $ax+by+cz+d=0$.

III. Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ est le scalaire $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$. Il est calculé par le déterminant des coordonnées des trois vecteurs :

$(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w} = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix}$

où $\vec{u}(x,y,z)$, $\vec{v}(x',y',z')$, $\vec{w}(x'',y'',z'')$.

Application géométrique

• Volume d'un parallélépipède : Le volume $\mathcal{V}$ du parallélépipède construit sur les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ est la valeur absolue de leur produit mixte : $\mathcal{V} = |(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}|$

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.

Exemple résolu

Extrait d'annale réelle: Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$.

1. Donner un vecteur normal au plan $(ABC)$.
2. En déduire une équation cartésienne de ce plan.

Solution:

1. Calcul des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : $\vec{AB} = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$ $\vec{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

2. Calcul du produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ : Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est donné par le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$. $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1(1) - 0(0) \\ 0(-1) - (-1)(1) \\ (-1)(0) - 1(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

   Donc, un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}(1,1,1)$.

3. Déduction de l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ : Le plan $(ABC)$ passe par le point $A(1,0,0)$ et a pour vecteur normal $\vec{n}(1,1,1)$. Son équation cartésienne est de la forme $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$. En remplaçant les coordonnées : $1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0$ $x - 1 + y + z = 0$ $x + y + z - 1 = 0$ Donc, une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z-1=0$.

La méthode

Pour réussir les questions de ce chapitre, suis ces étapes rigoureuses :

1. Identifier les vecteurs impliqués | Déterminer les coordonnées des vecteurs nécessaires (par exemple, $\vec{AB}$ à partir de $A$ et $B$).
2. Appliquer la formule adéquate | Utiliser la formule du produit scalaire, vectoriel, ou de la norme selon la question posée.
3. Effectuer les calculs avec précision | Vérifier chaque étape de calcul, notamment les signes et les multiplications.
4. Interpréter le résultat géométriquement | Traduire le résultat numérique en une propriété géométrique (orthogonalité, aire, équation de plan).

Pièges classiques

Un piège fréquent est de confondre le produit scalaire et le produit vectoriel. Le premier donne un nombre (scalaire), le second donne un vecteur. Utiliser l'un à la place de l'autre est une erreur grave.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sont souvent directes et évaluent l'application des définitions et propriétés.

Formats de questions réels et barème :

• Calcul de produit scalaire et orthogonalité (0.5 pts)

  • Question : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, $\vec{u}(2,-1,2)$ et $\vec{v}(1,2,-1)$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
  • Barème :
    1. Calcul de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ | 0.25 pts
    2. Conclusion sur l'orthogonalité | 0.25 pts

• Calcul de produit vectoriel et aire (0.75 pts)

  • Question : $\vec{u}(1,0,1)$ et $\vec{v}(0,1,1)$. Calculer $\vec{u} \wedge \vec{v}$, puis l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
  • Barème :
    1. Calcul de $\vec{u} \wedge \vec{v}$ | 0.5 pts
    2. Calcul de l'aire | 0.25 pts

• Vecteur normal et équation de plan (1 pt)

  • Question : $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$. Donner un vecteur normal au plan $(ABC)$, puis une équation cartésienne de ce plan.
  • Barème :
    1. Calcul des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (implicite) | 0.25 pts
    2. Calcul du produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ (vecteur normal) | 0.5 pts
    3. Équation cartésienne du plan | 0.25 pts

• Distance d'un point à un plan (0.5 pts)

  • Question : Soit le plan $(P)$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ et le point $M(x_M, y_M, z_M)$. Calculer la distance $d(M, (P))$.
  • Barème :
    1. Application de la formule $d(M, (P)) = \frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ | 0.5 pts

Ces questions sont souvent des sous-parties d'exercices plus longs, notamment ceux impliquant des sphères (tangence d'un plan à une sphère, intersection d'un plan et d'une sphère). La maîtrise de ces outils est donc fondamentale pour aborder la géométrie dans l'espace.