Continuité et limites

Le chapitre sur la continuité et les limites est fondamental en analyse. Il te permet de comprendre le comportement des fonctions, de prédire leurs valeurs et de résoudre des équations complexes. C'est une brique essentielle pour l'étude des fonctions, la dérivation et l'intégration.

L'intuition

Le cours

I. Continuité d'une fonction

1. Continuité en un point

Définition: Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Continuité à droite et à gauche:

• $f$ est continue à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$.

2. Continuité sur un intervalle

Définition:

• Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• Une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Propriétés:

• Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur domaine de définition), les fonctions trigonométriques (sin, cos), la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien (sur $]0, +\infty[$) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
• La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur est non nul) et la composition de fonctions continues sont des fonctions continues.

II. Limites des fonctions

1. Rappels des limites usuelles

2. Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites (somme, produit, quotient) sont valables, sauf dans les cas de formes indéterminées.

3. Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$. Pour lever ces formes, on utilise diverses techniques:

• Factorisation par le terme de plus haut degré (pour les polynômes et fonctions rationnelles en $\pm \infty$).
• Multiplication par l'expression conjuguée (pour les fonctions avec racines carrées).
• Changement de variable.
• Utilisation des limites remarquables.

Limites remarquables:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)
• $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)

4. Interprétation géométrique des limites

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale.
• Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$, la droite d'équation $y=b$ est une asymptote horizontale.
• Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ et $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$, la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique.
• Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
• Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

III. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème (TVI): Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.

Cas particulier (Corollaire du TVI): Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$.

Théorème (TVI et unicité de la solution): Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $c \in [a,b]$. En particulier, si $f(a) \times f(b) < 0$, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c \in ]a,b[$.

Exemple résolu

Extrait d'annale: Montrer que l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1, 0]$.

Solution: Soit $f(x) = 2e^{2x} + e^x + 4x$. Nous voulons montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $[-1, 0]$. Pour cela, nous allons utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

1. Vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle $[-1, 0]$: La fonction $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $x \mapsto 2e^{2x}$ est la composition de $x \mapsto 2x$ (continue) et $x \mapsto e^x$ (continue), donc elle est continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $x \mapsto 4x$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. Puisque $f(x)$ est une somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}$, elle est continue sur $\mathbb{R}$, et donc en particulier sur l'intervalle $[-1, 0]$.

2. Calculer les images des bornes de l'intervalle: $f(-1) = 2e^{2(-1)} + e^{-1} + 4(-1) = 2e^{-2} + e^{-1} - 4$ $f(-1) \approx 2(0.135) + 0.368 - 4 \approx 0.27 + 0.368 - 4 \approx 0.638 - 4 = -3.362$ Donc $f(-1) < 0$.

   $f(0) = 2e^{2(0)} + e^0 + 4(0) = 2e^0 + e^0 + 0 = 2(1) + 1 + 0 = 3$ Donc $f(0) > 0$.

3. Appliquer le TVI: Nous avons $f(-1) < 0$ et $f(0) > 0$, ce qui signifie que $f(-1) \times f(0) < 0$. Puisque $f$ est continue sur $[-1, 0]$ et que $f(-1)$ et $f(0)$ sont de signes opposés, d'après le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins une solution $c \in ]-1, 0[$ telle que $f(c)=0$. Par conséquent, l'équation $2e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1, 0]$.

La méthode

Pour résoudre un problème de continuité et de limites, suis ces étapes:

1. Identifier la nature de la question: S'agit-il d'étudier la continuité en un point/intervalle, de calculer une limite, ou d'appliquer le TVI ?
2. Appliquer les définitions et propriétés:
   • Pour la continuité en un point $a$: calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ et $f(a)$, puis comparer.
   • Pour les limites: identifier la forme (indéterminée ou non), puis utiliser les techniques appropriées (factorisation, conjugué, limites remarquables, croissances comparées).
   • Pour le TVI: vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné, puis calculer les images des bornes et vérifier si 0 est entre ces images.
3. Interpréter les résultats: Donner les interprétations géométriques des limites (asymptotes, branches paraboliques) ou la conclusion du TVI.
4. Rédiger la solution de manière rigoureuse: Justifier chaque étape en citant les théorèmes et propriétés utilisés.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Les questions de ce chapitre sont souvent intégrées dans un problème d'étude de fonction ou posées comme des exercices indépendants.

• Calcul de limites (0.5 à 1 point par limite):

  • $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interprétation géométrique (asymptote verticale).
  • $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ (asymptote horizontale ou branche parabolique).
  • Les formes indéterminées sont très fréquentes.

• Étude de la continuité (0.5 à 0.75 point):

  • Montrer qu'une fonction est continue en un point (souvent 0 ou un point de raccordement pour les fonctions définies par morceaux).
  • Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle.

• Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (0.5 à 0.75 point):

  • Montrer qu'une équation $f(x)=k$ admet une solution dans un intervalle donné.
  • Souvent, il faut aussi étudier la monotonie de la fonction pour prouver l'unicité de la solution.

Exemple de barème typique pour une question TVI (0.75 point):

• Continuité de la fonction sur l'intervalle: 0.25 point
• Calcul des images des bornes: 0.25 point
• Conclusion et application du TVI: 0.25 point

Exemple de barème typique pour une limite avec interprétation géométrique (0.5 point):

• Calcul de la limite: 0.25 point
• Interprétation géométrique: 0.25 point