Nombres complexes

Les nombres complexes sont un outil fondamental en mathématiques, particulièrement utiles pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles et pour simplifier des problèmes de géométrie. Ce chapitre représente une part significative de l'examen national, avec une pondération de 16% à 30% combinée avec les probabilités. La maîtrise des différentes formes (algébrique, trigonométrique, exponentielle), du module et de l'argument, ainsi que leur application en géométrie est cruciale.

L'intuition

Khoya, les nombres complexes, rah machi chi 7aja ghir f l'khyal. Kayn des équations, b7al $x^2 + 1 = 0$, li ma kaynch liha 7al f les nombres réels. Imagine que tu as besoin d'une nouvelle dimension bach t7al had l'mochkil. C'est là où kaydkhlo les nombres complexes. B7al ila kenti kat7seb ghir f une ligne (les réels), w daba zidti une autre ligne perpendiculaire (les imaginaires). Hadchi kaykhalik t7al bezaf dyal les problèmes li kanou impossibles avant.

Le cours

1. L'ensemble des nombres complexes

1.1. Définition et forme algébrique

On appelle nombre complexe tout nombre $z$ qui peut s'écrire sous la forme $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels et $i$ est un nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$.

• $x$ est appelé la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $y$ est appelé la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$. L'ensemble de tous les nombres complexes est noté $\mathbb{C}$.

1.2. Opérations sur les nombres complexes

Soient $z_1 = x_1 + iy_1$ et $z_2 = x_2 + iy_2$ deux nombres complexes.

• Addition/Soustraction: $z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$.
• Multiplication: $z_1 z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + ix_1 y_2 + iy_1 x_2 + i^2 y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$.
• Division: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)}{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + i(y_1 x_2 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$.

1.3. Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est $\overline{z} = x - iy$. Propriétés:

• $\overline{\overline{z}} = z$
• $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
• $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \overline{z_2}$
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
• $z + \overline{z} = 2 \text{Re}(z)$
• $z - \overline{z} = 2i \text{Im}(z)$
• $z \overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$

1.4. Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre réel positif $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Propriétés:

• $|z| = |\overline{z}|$
• $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
• $|z^n| = |z|^n$
• $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ (inégalité triangulaire)

Quand $\text{Im}(z)$ augmente, $|z|$ augmente, car $|z|$ représente la distance du point $M(z)$ à l'origine $O$ dans le plan complexe.

2. Forme trigonométrique et exponentielle

2.1. Argument d'un nombre complexe

Pour tout nombre complexe $z \ne 0$, il existe un réel $\theta$ appelé argument de $z$, noté $\arg(z)$, tel que $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$. On a $\cos \theta = \frac{x}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{y}{|z|}$. L'argument $\theta$ est défini modulo $2\pi$. On choisit souvent l'argument principal dans $]-\pi, \pi]$.

2.2. Forme trigonométrique

Tout nombre complexe $z = x + iy$ non nul peut s'écrire sous la forme $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, où $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

2.3. Forme exponentielle

En utilisant la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, la forme trigonométrique devient $z = re^{i\theta}$.

2.4. Opérations avec les formes trigonométriques/exponentielles

Soient $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$.

• Multiplication: $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$.
• Division: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$.
• Puissance (Formule de Moivre): Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$.

3. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Considérons l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \ne 0$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta > 0$, les solutions sont réelles: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$, il y a une solution réelle double: $z = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, les solutions sont complexes conjuguées: $z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

4. Nombres complexes et géométrie

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

• À tout point $M(x, y)$ du plan, on associe son affixe $z = x + iy$.
• À tout vecteur $\vec{w}(x, y)$, on associe son affixe $z_{\vec{w}} = x + iy$.

4.1. Affixe d'un vecteur et distance

• L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$.
• La distance $AB$ est $|z_B - z_A|$.

4.2. Affixe du milieu d'un segment

L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.

4.3. Alignement de points et orthogonalité de vecteurs

• Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.
• Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont orthogonaux si et seulement si $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur.

4.4. Angle de vecteurs

L'argument de $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$. $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}$.

4.5. Transformations géométriques

• Translation: L'image $M'$ d'un point $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $z_{\vec{u}}$ a pour affixe $z' = z + z_{\vec{u}}$.
• Homothétie: L'image $M'$ d'un point $M$ par l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rapport $k$ a pour affixe $z' - \omega = k(z - \omega)$.
• Rotation: L'image $M'$ d'un point $M$ par la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\alpha$ a pour affixe $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale: "On considère le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{e_1}, \vec{e_2})$ avec deux points $Q$ et $A$ d'affixes respectives $\omega = \sqrt{2}$ et $a = 2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Soit $R$ la rotation de centre $Q$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.

1. Montrer que l'affixe $b$ du point $B$ image du point $A$ par la rotation $R$ est $b = 2i$.
2. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tel que $|z - 2i| = 2$."

Résolution:

1. Affixe de $B$ par rotation: La formule de la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\alpha$ est $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$. Ici, $z' = b$, $z = a$, $\omega = \sqrt{2}$ et $\alpha = \frac{\pi}{2}$. On a $e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i$. Donc, $b - \omega = i(a - \omega)$. $b - \sqrt{2} = i(2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2})$ $b - \sqrt{2} = i(2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2})$ $b - \sqrt{2} = i(2 + 3\sqrt{2}) + i^2\sqrt{2}$ $b - \sqrt{2} = i(2 + 3\sqrt{2}) - \sqrt{2}$ $b = i(2 + 3\sqrt{2}) - \sqrt{2} + \sqrt{2}$ $b = i(2 + 3\sqrt{2})$ Ah, il y a une erreur dans l'énoncé de l'annale ou dans ma résolution. L'énoncé dit $b=2i$. Vérifions l'énoncé original. L'extrait d'annale réel est $a = 2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2}$ et $\omega = \sqrt{2}$. $a - \omega = 2 + 4\sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. $i(a - \omega) = i(2 + 3\sqrt{2} + i\sqrt{2}) = i(2 + 3\sqrt{2}) + i^2\sqrt{2} = -\sqrt{2} + i(2 + 3\sqrt{2})$. $b = \omega + i(a - \omega) = \sqrt{2} - \sqrt{2} + i(2 + 3\sqrt{2}) = i(2 + 3\sqrt{2})$. Il semble y avoir une incohérence entre l'énoncé et la réponse attendue $b=2i$. Reprenons avec l'hypothèse que l'affixe $a$ est différente ou qu'il y a une erreur dans l'extrait fourni. Si on veut que $b=2i$, alors $2i - \sqrt{2} = i(a - \sqrt{2})$. $\frac{2i - \sqrt{2}}{i} = a - \sqrt{2}$ $2 - \frac{\sqrt{2}}{i} = a - \sqrt{2}$ $2 - \frac{\sqrt{2}i}{i^2} = a - \sqrt{2}$ $2 + \sqrt{2}i = a - \sqrt{2}$ $a = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$. Si $a = 2 + \sqrt{2} + i\sqrt{2}$, alors: $a - \omega = 2 + \sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 + i\sqrt{2}$. $i(a - \omega) = i(2 + i\sqrt{2}) = 2i + i^2\sqrt{2} = -\sqrt{2} + 2i$. $b = \omega + i(a - \omega) = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2i = 2i$. Conclusion: L'affixe $a$ dans l'extrait d'annale est probablement $a = 2 + \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ pour que la réponse $b=2i$ soit correcte. En suivant l'énoncé tel qu'il est écrit, on n'obtient pas $b=2i$. Pour l'examen, il faut suivre l'énoncé donné, même s'il semble y avoir une erreur. Je vais donc utiliser l'énoncé corrigé pour l'exemple.

1) Montrer que l'affixe $b$ du point $B$ image du point $A$ par la rotation $R$ est $b = 2i$. Soit $R$ la rotation de centre $Q(\omega = \sqrt{2})$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. L'affixe $b$ de $B$ image de $A(a = 2 + \sqrt{2} + i\sqrt{2})$ est donnée par la formule: $b - \omega = e^{i\frac{\pi}{2}}(a - \omega)$ On sait que $e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i$. Donc, $b - \sqrt{2} = i( (2 + \sqrt{2} + i\sqrt{2}) - \sqrt{2} )$ $b - \sqrt{2} = i(2 + i\sqrt{2})$ $b - \sqrt{2} = 2i + i^2\sqrt{2}$ $b - \sqrt{2} = 2i - \sqrt{2}$ $b = 2i - \sqrt{2} + \sqrt{2}$ $b = 2i$. L'affixe du point $B$ est bien $b = 2i$.

2. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tel que $|z - 2i| = 2$. L'expression $|z - 2i|$ représente la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $B$ d'affixe $2i$. L'équation $|z - 2i| = 2$ signifie que la distance $BM$ est égale à $2$. L'ensemble des points $M$ dont la distance à $B$ est constante et égale à $2$ est un cercle. Donc, l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $B(2i)$ et de rayon $2$.

La méthode

Pour résoudre un problème de nombres complexes à l'examen, suis ces étapes:

1. Identifier la forme la plus adaptée | Si c'est une addition/soustraction, utilise la forme algébrique. Si c'est une multiplication/division/puissance, préfère la forme trigonométrique ou exponentielle.
2. Appliquer les formules et propriétés | Utilise les définitions du module, de l'argument, du conjugué, et les formules de Moivre ou d'Euler.
3. Effectuer les calculs avec rigueur | Chaque étape de calcul doit être justifiée et les simplifications faites correctement, en n'oubliant pas que $i^2 = -1$.
4. Interpréter géométriquement si demandé | Traduis les résultats complexes en termes de distances, d'angles, ou de transformations dans le plan.

Pièges classiques

Khoya, had l'erreur rah katji bezaf. Machi ghir kat7ayd le moins w katdir la racine carrée. F les complexes, ila kan 3andek un nombre négatif, rah khassek tkhdem b $i$. B7al $z^2 = -9$, machi $z = \pm 3$, mais $z = \pm 3i$. Hadchi kaykhalik tkhser des points b'sahl.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les nombres complexes à l'examen national sont généralement structurées autour de quelques thèmes récurrents:

1. Résolution d'équations dans $\mathbb{C}$:

   • Format: Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $az^2 + bz + c = 0$.
   • Barème: 1.5 pts
     • Calcul du discriminant $\Delta$: 0.5 pt
     • Déduction des solutions $z_1, z_2$: 1 pt

2. Formes des nombres complexes (algébrique, trigonométrique, exponentielle):

   • Format: Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique/exponentielle.
   • Barème: 1 pt
     • Calcul du module $r$: 0.5 pt
     • Détermination de l'argument $\theta$: 0.5 pt

3. Opérations sur les nombres complexes:

   • Format: Calculer $z_1 z_2$, $\frac{z_1}{z_2}$, $z^n$ et donner le résultat sous une forme spécifique.
   • Barème: 1.5 pts
     • Application de la formule: 0.5 pt
     • Calcul correct: 1 pt

4. Nombres complexes et géométrie:

   • Format:
     • Calculer l'affixe d'un point image par une transformation (rotation, homothétie).
     • Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant une condition donnée (ex: $|z-z_A|=k$).
     • Interpréter géométriquement un rapport ou un argument.
   • Barème: 1.5 à 2 pts par question
     • Application de la formule de transformation: 0.5 pt
     • Calcul de l'affixe: 0.5 pt
     • Identification de la nature géométrique (cercle, droite, etc.): 0.5 pt
     • Détermination des caractéristiques (centre, rayon, etc.): 0.5 pt

Ces questions peuvent être combinées dans un exercice plus long, mais les compétences évaluées restent les mêmes. La rédaction doit être claire et chaque étape justifiée.