Calcul intégral

Le calcul intégral, khoya, c'est un chapitre essentiel f l'examen national. Kayn 3lih un poids important, et c'est une suite logique l'étude des fonctions. Ghadi nchoufou kifach n7asbou des aires, et kifach n7allou des problèmes li kayt3all9ou b les primitives.

L'intuition

Chno hiya l'intégrale? Imagine 3andek une fonction li katchouf la vitesse dyal une voiture. L'intégrale dyal had la vitesse, ghay3tik la distance li 9at3at hadik la voiture. C'est comme si katsawwel 3la l'accumulation dyal wa7ed la grandeur sur un intervalle. Machi b7al la dérivée li katchouf ghir la pente f wa7ed n9ta, l'intégrale katchouf l'ensemble dyal dakchi li tra f wa7ed la période.

Le cours

I. Primitives d'une fonction

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

2. Propriétés

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle.
• Si $f$ et $g$ sont deux fonctions admettant des primitives sur $I$, et si $\alpha, \beta$ sont des réels, alors $\alpha f + \beta g$ admet des primitives sur $I$. Une primitive de $\alpha f + \beta g$ est $\alpha F + \beta G$, où $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$.

3. Tableau des primitives usuelles

Il est crucial de maîtriser ce tableau pour le calcul intégral.

4. Primitives des fonctions composées

II. Calcul d'intégrales

1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre réel noté $\int_a^b f(x) dx$ et défini par :

$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

2. Propriétés de l'intégrale

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $a, b, c$ trois réels de $I$.

• Linéarité : Pour tous réels $\alpha, \beta$: $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$

• Relation de Chasles : $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

• Inversion des bornes : $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$

• Intégrale nulle : $\int_a^a f(x) dx = 0$

3. Intégration par parties (IPP)

L'intégration par parties est une technique fondamentale pour calculer des intégrales de produits de fonctions. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a, b]$ et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a, b]$. Alors :

$\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$

Ou, de manière équivalente, si on pose $u$ et $v'$:

$\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$

4. Interprétation géométrique de l'intégrale

Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx$ représente l'aire de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a.). Si l'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées, alors 1 u.a. = $1 \text{ cm}^2$.

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(x) \le 0$ sur $[a, b]$, alors l'aire de la surface est $-\int_a^b f(x) dx$. Si $f$ change de signe sur $[a, b]$, il faut découper l'intervalle en sous-intervalles où $f$ garde un signe constant.

L'aire du domaine plan délimité par les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par :

$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$

Si $f(x) \ge g(x)$ sur $[a, b]$, alors $\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : 4) a) Montrer que $H: x \mapsto \frac{(\ln x)^2}{2}$ est une primitive de $h: x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ sur $]0;+\infty[$ b) Montrer que : $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}$ c) À l'aide d'une intégration par parties montrer que : $\int_1^e \ln x dx = 1$

Solution :

a) Pour montrer que $H$ est une primitive de $h$, il suffit de dériver $H$ et de vérifier qu'on obtient $h$. On a $H(x) = \frac{1}{2} (\ln x)^2$. En utilisant la règle de dérivation $(u^n)' = n u^{n-1} u'$, avec $u(x) = \ln x$ et $n=2$: $H'(x) = \frac{1}{2} \times 2 (\ln x)^{2-1} \times (\ln x)'$ $H'(x) = (\ln x) \times \frac{1}{x}$ $H'(x) = \frac{\ln x}{x}$ Donc, $H'(x) = h(x)$. Par conséquent, $H$ est bien une primitive de $h$ sur $]0;+\infty[$.

b) On veut calculer $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$. D'après la question précédente, on sait que $H(x) = \frac{(\ln x)^2}{2}$ est une primitive de $h(x) = \frac{\ln x}{x}$. Donc, on peut utiliser la formule $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$. $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e$ $= \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2}$ On sait que $\ln e = 1$ et $\ln 1 = 0$. $= \frac{(1)^2}{2} - \frac{(0)^2}{2}$ $= \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ Donc, $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}$.

c) On veut calculer $\int_1^e \ln x dx$ par intégration par parties. La formule est $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$. On pose : $v(x) = \ln x \implies v'(x) = \frac{1}{x}$ $u'(x) = 1 \implies u(x) = x$ Appliquons la formule : $\int_1^e \ln x dx = [x \ln x]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x} dx$ $= (e \ln e - 1 \ln 1) - \int_1^e 1 dx$ $= (e \times 1 - 1 \times 0) - [x]_1^e$ $= e - (e - 1)$ $= e - e + 1 = 1$ Donc, $\int_1^e \ln x dx = 1$.

La méthode

Pour résoudre un exercice d'intégration à l'examen, suis ces étapes :

1. Identifier la fonction à intégrer et l'intervalle : Vérifier si la fonction est une forme usuelle ou composée.
2. Rechercher une primitive : Utiliser le tableau des primitives usuelles ou des fonctions composées. Si c'est un produit, penser à l'intégration par parties.
3. Appliquer la formule de l'intégrale définie : Calculer $F(b) - F(a)$.
4. Interpréter géométriquement si demandé : Si l'intégrale représente une aire, s'assurer de donner la réponse en unités d'aire (u.a.) ou en $\text{cm}^2$.

Pièges classiques

Khoya, wa7ed l'erreur li kaydiroha bzaf hiya kaynsaw la constante C f les primitives, wakha f l'intégrale définie katmchi. Mais f les questions dyal "déterminer les primitives", ila nssiti C, ghaymchiw lik des points. Ou 7ta f l'IPP, kaynsaw chi marrat le signe moins dyal la formule, awla kaykhayto f choix dyal $u$ w $v'$.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur le calcul intégral sont très prévisibles et suivent un schéma classique.

• Vérifier qu'une fonction est une primitive :

  • Geste 1 : Dériver la fonction proposée. | 0.25 pt
  • Geste 2 : Comparer le résultat avec la fonction donnée. | 0.25 pt
  • Geste 3 : Conclure. | 0.25 pt
  • Exemple d'annale : "Montrer que $H: x \mapsto \frac{(\ln x)^2}{2}$ est une primitive de $h: x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ sur $]0;+\infty[$."

• Calculer une intégrale par primitivation directe :

  • Geste 1 : Identifier une primitive de la fonction. | 0.25 pt
  • Geste 2 : Appliquer la formule $F(b) - F(a)$. | 0.25 pt
  • Geste 3 : Effectuer les calculs numériques. | 0.25 pt
  • Exemple d'annale : "Montrer que : $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}$."

• Calculer une intégrale par intégration par parties (IPP) :

  • Geste 1 : Choisir judicieusement $u(x)$, $v'(x)$ et calculer $u'(x)$, $v(x)$. | 0.5 pt
  • Geste 2 : Appliquer la formule de l'IPP. | 0.5 pt
  • Geste 3 : Calculer l'intégrale restante et les termes entre crochets. | 0.5 pt
  • Geste 4 : Simplifier le résultat final. | 0.25 pt
  • Exemple d'annale : "À l'aide d'une intégration par parties montrer que : $\int_1^e \ln x dx = 1$."

• Calculer une aire :

  • Geste 1 : Poser l'intégrale de la fonction (ou de la différence de fonctions) en valeur absolue si nécessaire. | 0.5 pt
  • Geste 2 : Calculer l'intégrale. | 0.5 pt
  • Geste 3 : Multiplier le résultat par l'unité d'aire (u.a.) ou par la valeur de l'unité d'aire en $\text{cm}^2$. | 0.25 pt
  • Exemple d'annale : "Montrer que l'aire du domaine limité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ est $0,5 \text{ cm}^2$." (Souvent l'unité d'aire est donnée, par exemple 1 u.a. = $2 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm}^2$).