Résoudre l'équation différentielle $y''-5y'+6y=0$.

L'équation caractéristique est $r^2-5r+6=0$. On factorise : $(r-2)(r-3)=0$, donc $r_1=2$ et $r_2=3$. Les racines étant réelles et distinctes, la solution générale est : $y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$, où $C_1,C_2\in\mathbb{R}$.

Déterminer la solution de l'équation différentielle $y'+2y=0$ vérifiant $y(0)=5$.

L'équation s'écrit $y'=-2y$, donc sa solution générale est $y(x)=Ce^{-2x}$. En utilisant $y(0)=5$, on obtient $C=5$. Donc la solution cherchée est $y(x)=5e^{-2x}$.

Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 3$.

Les solutions de y' = 2y sont y(x) = C e^(2x), C réel. La condition y(0) = 3 donne C = 3. La solution est y(x) = 3 e^(2x).

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'=3y$.

On reconnaît une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme $y'=ay$ avec $a=3$. Sa solution générale est : $y(x)=Ce^{3x}$, où $C\in\mathbb{R}$.

Équations différentielles — exercices corrigés

Mathématiques · 2ème Bac Sciences et Technologies Électriques · 14 exercices

Ce chapitre est crucial pour comprendre comment les phénomènes évoluent. En physique, en chimie, en économie, beaucoup de lois s'expriment sous forme d'équations différentielles. Tu dois maîtriser la résolution des types d'équations que nous allons voir, et surtout, savoir utiliser les conditions initiales pour trouver la solution unique.

L'intuition

Imagine que tu as un réservoir d'eau. L'eau s'écoule par un petit trou. La vitesse à laquelle le niveau d'eau baisse dépend de la quantité d'eau qu'il y a dans le réservoir à ce moment-là. Plus il y a d'eau, plus ça s'écoule vite. Moins il y en a, plus ça ralentit.

C'est ça, une équation différentielle : une relation entre une quantité (le niveau d'eau $y$ ) et sa vitesse de variation ( $y'$ ). On cherche la fonction $y(t)$ qui décrit le niveau d'eau à tout instant $t$ .

Un autre exemple : la croissance d'une population. Si une population croît à un taux proportionnel à sa taille actuelle, on peut modéliser ça avec une équation différentielle.

f(x) = a * x

a = 1.0

Imagine que $f(x)$ est la vitesse de croissance d'une population de taille $x$ . Que se passe-t-il si 'a' est positif ? Et s'il est négatif ?

Le cours

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue, ses variables et ses dérivées. Dans ce chapitre, on se concentre sur des équations différentielles linéaires du premier et du second ordre.

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Ce sont des équations de la forme $y' = ay + b$ , où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $y$ est une fonction de $x$ (ou $t$ ) dont on cherche l'expression.

1. Cas $y' = ay$

C'est le cas le plus simple, où $b=0$ .

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions de la forme $y(x) = Ke^{ax}$ , où $K$ est une constante réelle quelconque.

f(x) = K * exp(a*x)

K = 1.0a = 0.5

Fais varier 'a'. Que se passe-t-il quand 'a' est positif ? Négatif ? Nul ? Et 'K' ? Comment 'K' affecte-t-il la courbe ?

Détermination de la solution particulière : Pour trouver une solution unique, on a besoin d'une condition initiale, par exemple $y(x_0) = y_0$ . On remplace dans la solution générale : $y_0 = Ke^{ax_0}$ . On en déduit $K = y_0 e^{-ax_0}$ . La solution particulière est alors $y(x) = y_0 e^{-ax_0} e^{ax} = y_0 e^{a(x-x_0)}$ .

Vérifie que tu suis

La solution générale de $y' = 3y$ est $y(x) = Ke^{3x}$ . Si $y(0) = 2$ , quelle est la valeur de $K$ ?

2. Cas $y' = ay + b$

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont les fonctions de la forme $y(x) = Ke^{ax} - \frac{b}{a}$ si $a \neq 0$ . Si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ , dont les solutions sont $y(x) = bx + K$ .

f(x) = K * exp(a*x) - b/a

K = 1.0a = 0.5b = 1.0

Fais varier 'b'. Comment la solution particulière constante $-b/a$ influence-t-elle la position de la courbe ? Que se passe-t-il si 'a' s'approche de 0 ?

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Ce sont des équations de la forme $y'' + ay' + by = 0$ , où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, et $y$ est une fonction de $x$ dont on cherche l'expression.

1. Équation caractéristique

Pour résoudre $y'' + ay' + by = 0$ , on associe une équation algébrique appelée équation caractéristique : $r^2 + ar + b = 0$ .

Les solutions de l'équation différentielle dépendent de la nature des racines de cette équation caractéristique. On calcule le discriminant $\Delta = a^2 - 4b$ .

2. Cas $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes)

Si $\Delta > 0$ , l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1 = \frac{-a - \sqrt{\Delta}}{2}$ et $r_2 = \frac{-a + \sqrt{\Delta}}{2}$ . La solution générale de l'équation différentielle est : $y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}$ , où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

3. Cas $\Delta = 0$ (une racine réelle double)

Si $\Delta = 0$ , l'équation caractéristique a une racine réelle double $r = \frac{-a}{2}$ . La solution générale de l'équation différentielle est : $y(x) = (Ax + B)e^{rx}$ , où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

f(x) = (A*x + B) * exp(r*x)

A = 1.0B = 1.0r = -1.0

Fais varier 'r'. Comment la valeur de 'r' influence-t-elle le comportement asymptotique de la fonction ?

4. Cas $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées)

Si $\Delta < 0$ , l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$ , où $\alpha = \frac{-a}{2}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$ . La solution générale de l'équation différentielle est : $y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$ , où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

Vérifie que tu suis

Pour l'équation $y'' + 4y' + 4y = 0$ , quelle est la nature des racines de l'équation caractéristique ?

III. Détermination de la solution vérifiant des conditions initiales

Pour les équations du second ordre, on a besoin de deux conditions initiales pour déterminer les constantes $A$ et $B$ . Par exemple, $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ .

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$ . b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = 3$ et $g'(0) = 2$ .

1
1. Résoudre l'équation caractéristique
L'équation caractéristique associée à $(E)$ est $r^2 - 3r + 2 = 0$ .
2
1. Calculer le discriminant
3
1. Trouver les racines
4
1. Écrire la solution générale
5
1. Utiliser la première condition initiale
6
1. Calculer la dérivée de la solution générale
7
1. Utiliser la deuxième condition initiale
8
1. Résoudre le système d'équations
9
Soustrayons l'Équation 1 de l'Équation 2 : $(A + 2B) - (A + B) = 2 - 3 \implies B = -1$ .
10
Substituons $B = -1$ dans l'Équation 1 : $A + (-1) = 3 \implies A = 4$ .
11
1. Écrire la solution particulière

La méthode

Voici les étapes clés pour résoudre les équations différentielles au Bac :

Identifier le type d'équation :
- $y' = ay$ ou $y' = ay + b$ (premier ordre).
- $y'' + ay' + by = 0$ (second ordre).
Appliquer la formule de la solution générale :
- Pour $y' = ay$ , la solution est $y(x) = Ke^{ax}$ .
- Pour $y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ), la solution est $y(x) = Ke^{ax} - \frac{b}{a}$ .
- Pour $y'' + ay' + by = 0$ $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ , résoudre l'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ $r^{2} + a r + b = 0$ .
  - Si $\Delta > 0$ , $y(x) = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}$ .
  - Si $\Delta = 0$ , $y(x) = (Ax + B)e^{rx}$ .
  - Si $\Delta < 0$ , $y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$ .
Utiliser les conditions initiales pour trouver les constantes :
- Pour le premier ordre, une condition $y(x_0) = y_0$ suffit pour trouver $K$ .
- Pour le second ordre, deux conditions $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ sont nécessaires pour trouver $A$ et $B$ . Cela implique de dériver la solution générale pour utiliser $y'(x_0)$ .
Écrire la solution particulière :
- Remplacer les valeurs des constantes trouvées dans la solution générale.

Pièges classiques

Oublier la constante d'intégration $K$ (ou $A, B$ ) : La solution générale doit toujours inclure ces constantes. Sans elles, ce n'est pas une solution générale.
Erreur de signe ou de calcul dans le discriminant $\Delta$ : Une petite erreur ici change complètement la nature des racines et donc la forme de la solution. Vérifie toujours tes calculs.
Mauvaise application des conditions initiales :
- Pour $y'' + ay' + by = 0$ , n'oublie pas de calculer $y'(x)$ avant d'appliquer la condition sur la dérivée.
- Fais attention aux valeurs de $x_0$ (souvent $0$ , ce qui simplifie $e^0=1$ , $\cos(0)=1$ , $\sin(0)=0$ ).
Confondre $a$ et $b$ dans les formules : Relis bien l'équation et identifie correctement les coefficients. Pour $y'' + ay' + by = 0$ , $a$ est le coefficient de $y'$ et $b$ celui de $y$ .

Vérifie que tu suis

Quelle est l'erreur fréquente si on donne $y(x) = e^{2x}$ comme solution de $y' = 2y$ ?

Ce qui tombe à l'examen

Les équations différentielles sont un sujet récurrent, généralement sous forme d'un exercice indépendant ou d'une sous-partie d'un exercice plus grand. Le poids à l'examen est d'environ 8%.

Formats de questions réels :

Résoudre une équation différentielle du premier ordre : Souvent $y' = ay$ ou $y' = ay + b$ . Par exemple : "Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ ."
Déterminer la solution particulière : Après avoir trouvé la solution générale, une condition initiale est donnée. Par exemple : "Déterminer la solution vérifiant $y(0) = 3$ ."
Résoudre une équation différentielle du second ordre : Typiquement $y'' + ay' + by = 0$ . Par exemple : "Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$ ."
Déterminer la solution particulière du second ordre : Deux conditions initiales sont fournies. Par exemple : "Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = 3$ et $g'(0) = 2$ ."

Attendus de correction :

Clarté et rigueur : Chaque étape doit être justifiée.
Calcul de l'équation caractéristique : Indispensable pour le second ordre.
Calcul du discriminant : Avec la bonne formule et le bon signe.
Détermination des racines : Précision des calculs.
Forme correcte de la solution générale : Selon le cas des racines.
Utilisation correcte des conditions initiales : Mise en place et résolution du système d'équations (si second ordre).
Expression finale de la solution particulière : Claire et sans erreur.

Tu dois être capable d'appliquer directement les formules et les théorèmes, mais aussi de mobiliser ces connaissances dans des situations légèrement différentes, comme le calcul de la dérivée pour les conditions initiales du second ordre.

Exercice 5·Moyen

II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$ .

b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = 3$ et $g'(0) = 2$ .

II-2) Soit $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[\ln 4, +\infty[$ par : $h(x) = \ln(e^{2x} - 4e^x)$ .

a) Montrer que la fonction $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ et que $h^{-1}$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

b) Vérifier que $h(\ln 5) = \ln 5$ , puis déterminer $(h^{-1})'(\ln 5)$ .

Voir la correction

II-1a) L'équation caractéristique est : $r^2 - 3r + 2 = 0$ .

Factorisation : $(r - 1)(r - 2) = 0$ , donc $r_1 = 1$ et $r_2 = 2$ .

Solution générale : $g(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ où $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ .

II-1b)

$g(0) = 3$ ⟹ $C_1 + C_2 = 3$ ... (1)
$g'(x) = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}$ ⟹ $g'(0) = 2$ ⟹ $C_1 + 2C_2 = 2$ ... (2)

De (2) - (1) : $C_2 = -1$ , donc $C_1 = 4$ .

Solution particulière : $g(x) = 4e^x - e^{2x}$ ✓

II-2a) Soit $\phi(x) = e^{2x} - 4e^x$ . Sur $[\ln 4, +\infty[$ , on a $\phi'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2) > 0$ (car $e^x > 4$ sur cet intervalle).

Donc $\phi$ est strictement croissante sur $[\ln 4, +\infty[$ . De plus, $\phi(\ln 4) = 16 - 16 = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \phi(x) = +\infty$ .

Ainsi $\phi : [\ln 4, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ est une bijection. La fonction $h = \ln \circ \phi$ est aussi une bijection de $[\ln 4, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$ .

Donc $h^{-1} : \mathbb{R} \to [\ln 4, +\infty[$ existe et est définie sur $\mathbb{R}$ ✓

II-2b) $h(\ln 5) = \ln(e^{2\ln 5} - 4e^{\ln 5}) = \ln(25 - 20) = \ln 5$ ✓

Par la formule de dérivation de la réciproque :

$(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{h'(h^{-1}(\ln 5))} = \frac{1}{h'(\ln 5)}$

Calcul de $h'(x)$ : $h'(x) = \frac{\phi'(x)}{\phi(x)} = \frac{2e^{2x} - 4e^x}{e^{2x} - 4e^x} = \frac{2e^x(e^x - 2)}{e^x(e^x - 4)} = \frac{2(e^x - 2)}{e^x - 4}$ .

$h'(\ln 5) = \frac{2(5 - 2)}{5 - 4} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6$ .

Donc $(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{6}$ ✓

Étape 1 (II-1a) : Écrire l'équation caractéristique associée $r^2 - 3r + 2 = 0$ . Factoriser ou utiliser le discriminant pour trouver les racines $r_1 = 1$ et $r_2 = 2$ . Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ .

Étape 2 (II-1b) : Utiliser les conditions initiales $g(0) = 3$ et $g'(0) = 2$ pour former un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre pour $C_1$ et $C_2$ .

Étape 3 (II-2a) : Définir $\phi(x) = e^{2x} - 4e^x$ et montrer qu'elle est strictement monotone sur $[\ln 4, +\infty[$ en calculant sa dérivée. Déterminer l'image de $\phi$ en évaluant aux limites. Puisque $h = \ln \circ \phi$ , la bijectivité de $h$ découle de celle de $\phi$ .

Étape 4 (II-2b) : Substituer $x = \ln 5$ dans l'expression de $h$ pour vérifier que $h(\ln 5) = \ln 5$ . Appliquer la formule $(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}$ . Dériver $h$ à l'aide de la formule $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ et évaluer en $x = \ln 5$ .

Équations différentielles

Méthode officielle

L'intuition

Le cours

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

1. Cas $y' = ay$

2. Cas $y' = ay + b$

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

1. Équation caractéristique

2. Cas $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes)

3. Cas $\Delta = 0$ (une racine réelle double)

4. Cas $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées)

III. Détermination de la solution vérifiant des conditions initiales

Exemple résolu

La méthode

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Exercices corrigés

Autres chapitres — Mathématiques

Équations différentielles

Méthode officielle

L'intuition

Le cours

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

1. Cas y′=ayy' = ayy′=ay

2. Cas y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

1. Équation caractéristique

2. Cas Δ>0\Delta > 0Δ>0 (deux racines réelles distinctes)

3. Cas Δ=0\Delta = 0Δ=0 (une racine réelle double)

4. Cas Δ<0\Delta < 0Δ<0 (deux racines complexes conjuguées)

III. Détermination de la solution vérifiant des conditions initiales

Exemple résolu

La méthode

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Exercices corrigés

Autres chapitres — Mathématiques

1. Cas $y' = ay$

2. Cas $y' = ay + b$

2. Cas $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes)

3. Cas $\Delta = 0$ (une racine réelle double)

4. Cas $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées)