Transformations nucléaires

L'intuition

Imagine que tu as un grand sac de dattes. Certaines dattes sont fraîches et d'autres sont un peu vieilles. Les dattes vieilles ont une chance de se transformer en dattes séchées, mais tu ne sais jamais exactement quand une datte donnée va se transformer. Par contre, tu sais que, statistiquement, après un certain temps, la moitié de tes dattes fraîches seront devenues des dattes séchées. C'est un peu ça, la radioactivité. Les noyaux atomiques instables (les "dattes fraîches") se transforment spontanément en d'autres noyaux plus stables (les "dattes séchées"), en émettant des particules. On ne peut pas prédire quand un noyau précis va se désintégrer, mais on peut prédire combien de noyaux se seront désintégrés après un certain temps pour un grand nombre d'entre eux. Ce temps où la moitié des noyaux se sont transformés, c'est la demi-vie. Et quand ces noyaux se transforment, ils libèrent de l'énergie, un peu comme quand une datte sèche est plus légère qu'une datte fraîche et que la différence de masse s'est transformée en énergie.

Le cours

Les transformations nucléaires sont des phénomènes où les noyaux atomiques subissent des modifications, entraînant la formation de nouveaux noyaux et la libération d'énergie.

I. Composition du noyau atomique

Un noyau atomique est constitué de nucléons, qui sont des protons et des neutrons. Un nucléide est représenté par la notation $^A_Z\text{X}$, où :

• $\text{X}$ est le symbole chimique de l'élément.
• $A$ est le nombre de masse (nombre total de nucléons = protons + neutrons).
• $Z$ est le numéro atomique (nombre de protons).

Le nombre de neutrons $N$ est donné par $N = A - Z$.

Exemple : Le noyau de chlore $^{35}_{17}\text{Cl}$ contient $Z=17$ protons et $N = 35 - 17 = 18$ neutrons.

II. Radioactivité et types de désintégration

La radioactivité est la transformation spontanée d'un noyau atomique instable (noyau père) en un noyau plus stable (noyau fils), avec émission de particules et/ou de rayonnement électromagnétique.

A. Lois de conservation (Lois de Soddy)

Lors de toute transformation nucléaire, il y a conservation :

1. Du nombre de masse $A$ (somme des nombres de masse des réactifs = somme des nombres de masse des produits).
2. Du nombre de charge $Z$ (somme des numéros atomiques des réactifs = somme des numéros atomiques des produits).

Pour une réaction nucléaire générique $^A_Z\text{X} \rightarrow ^{A'}_{Z'}\text{Y} + ^a_b\text{P}$ :

• Conservation de $A$: $A = A' + a$
• Conservation de $Z$: $Z = Z' + b$

B. Types de désintégration radioactive

1. Désintégration alpha ($\alpha$) Un noyau lourd émet un noyau d'hélium ($^4_2\text{He}$, aussi appelé particule $\alpha$). L'équation générale est : $^A_Z\text{X} \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^4_2\text{He}$

   Exemple : Désintégration du thorium $^{232}_{90}\text{Th}$ $^{232}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{228}_{88}\text{Ra} + ^4_2\text{He}$ (Vérification : $232 = 228 + 4$ et $90 = 88 + 2$)

2. Désintégration bêta-moins ($\beta^-$) Un neutron se transforme en proton, avec émission d'un électron ($^0_{-1}\text{e}$, aussi appelé particule $\beta^-$) et d'un antineutrino ($\bar{\nu}_e$). L'antineutrino est souvent omis dans les équations simplifiées au niveau Bac. L'équation générale est : $^A_Z\text{X} \rightarrow ^A_{Z+1}\text{Y} + ^0_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e$

   Exemple : Désintégration de l'iode $^{131}_{53}\text{I}$ $^{131}_{53}\text{I} \rightarrow ^{131}_{54}\text{Xe} + ^0_{-1}\text{e} + \bar{\nu}_e$ (Vérification : $131 = 131 + 0$ et $53 = 54 - 1$)

3. Désintégration bêta-plus ($\beta^+$) Un proton se transforme en neutron, avec émission d'un positon ($^0_{+1}\text{e}$, aussi appelé particule $\beta^+$) et d'un neutrino ($\nu_e$). L'équation générale est : $^A_Z\text{X} \rightarrow ^A_{Z-1}\text{Y} + ^0_{+1}\text{e} + \nu_e$

   Exemple : Désintégration du fluor $^{18}_{9}\text{F}$ $^{18}_{9}\text{F} \rightarrow ^{18}_{8}\text{O} + ^0_{+1}\text{e} + \nu_e$ (Vérification : $18 = 18 + 0$ et $9 = 8 + 1$)

III. Loi de décroissance radioactive

La désintégration radioactive est un phénomène aléatoire et spontané. Pour un grand nombre de noyaux, le nombre de noyaux non désintégrés diminue de manière exponentielle au cours du temps.

A. Loi de décroissance

Le nombre de noyaux radioactifs $N(t)$ présents à l'instant $t$ est donné par :

$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

où :

• $N_0$ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t=0$.
• $\lambda$ est la constante radioactive (en $s^{-1}$ ou $an^{-1}$), caractéristique du nucléide. Elle représente la probabilité de désintégration par unité de temps.

L'activité $A(t)$ d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle est proportionnelle au nombre de noyaux présents :

$A(t) = \lambda \cdot N(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$

où $A_0 = \lambda \cdot N_0$ est l'activité à $t=0$. L'unité de l'activité est le Becquerel (Bq), qui correspond à une désintégration par seconde.

B. Temps de demi-vie ($t_{1/2}$)

Le temps de demi-vie (ou période radioactive) $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés.

À $t = t_{1/2}$, on a $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$. En utilisant la loi de décroissance : $\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}$ $\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}$ $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_{1/2}$ $-\ln(2) = -\lambda t_{1/2}$

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

Remarque : Après $n$ demi-vies, le nombre de noyaux restants est $N(n \cdot t_{1/2}) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

IV. Masse et énergie

A. Énergie de liaison

La masse d'un noyau est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris isolément. Cette différence de masse est appelée défaut de masse $\Delta m$.

$\Delta m = (Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n) - m_{noyau}$

où $m_p$ est la masse d'un proton, $m_n$ la masse d'un neutron et $m_{noyau}$ la masse du noyau.

L'énergie de liaison $E_l$ est l'énergie qu'il faudrait fournir au noyau pour le dissocier en ses nucléons isolés. Elle est liée au défaut de masse par la relation d'Einstein :

$E_l = \Delta m \cdot c^2$

où $c$ est la célérité de la lumière dans le vide ($c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$).

L'énergie de liaison par nucléon $E_l/A$ permet de comparer la stabilité des noyaux. Plus $E_l/A$ est grande, plus le noyau est stable.

B. Énergie libérée lors d'une transformation nucléaire

Lors d'une transformation nucléaire, il y a une variation de masse entre les réactifs et les produits. Cette variation de masse est convertie en énergie selon la relation d'Einstein. L'énergie libérée $E_{libérée}$ est donnée par :

$E_{libérée} = |\Delta m| \cdot c^2$

où $\Delta m = m_{produits} - m_{réactifs}$. Puisque l'énergie est libérée, $\Delta m$ est négatif, d'où la valeur absolue.

Unités :

• Les masses sont souvent exprimées en unité de masse atomique (u). $1 \text{ u} = 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$.
• L'énergie est souvent exprimée en Megaélectronvolt (MeV). $1 \text{ MeV} = 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ J}$.
• Une conversion utile : $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.

Exemple résolu

Extrait d'annale : Le noyau d'iode $^{131}_{53}\text{I}$ est radioactif bêta-moins ($\beta^-$).

1. Écrire l'équation de sa désintégration et identifier le noyau fils. Données : $Z=52$ Te, $Z=53$ I, $Z=54$ Xe.
2. La demi-vie de l'iode 131 est $t_{1/2} = 8,02$ jours. Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $s^{-1}$.
3. On dispose d'un échantillon d'iode 131 dont l'activité initiale est $A_0 = 1,2 \cdot 10^5 \text{ Bq}$. Calculer l'activité de l'échantillon après 24,06 jours.
4. Calculer l'énergie libérée par la désintégration d'un noyau d'iode 131. Données : $m(^{131}_{53}\text{I}) = 130,90612 \text{ u}$ $m(^{131}_{54}\text{Xe}) = 130,90508 \text{ u}$ $m(e^-) = 0,00055 \text{ u}$ $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$

Correction pas à pas :

1. Écriture de l'équation de désintégration : La désintégration est de type bêta-moins ($\beta^-$), ce qui signifie émission d'un électron $^0_{-1}\text{e}$. L'équation générale est $^A_Z\text{X} \rightarrow ^A_{Z+1}\text{Y} + ^0_{-1}\text{e}$. Pour l'iode $^{131}_{53}\text{I}$ : $^{131}_{53}\text{I} \rightarrow ^A_Z\text{Y} + ^0_{-1}\text{e}$

   Appliquons les lois de Soddy :

   • Conservation du nombre de masse $A$: $131 = A + 0 \Rightarrow A = 131$.
   • Conservation du nombre de charge $Z$: $53 = Z - 1 \Rightarrow Z = 54$.

   Le noyau fils est donc $^{131}_{54}\text{Y}$. D'après les données, l'élément avec $Z=54$ est le Xénon (Xe). L'équation complète est : $^{131}_{53}\text{I} \rightarrow ^{131}_{54}\text{Xe} + ^0_{-1}\text{e}$.

2. Calcul de la constante radioactive $\lambda$ : On utilise la relation $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$. Donc $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$. Il faut convertir $t_{1/2}$ en secondes. $t_{1/2} = 8,02 \text{ jours} = 8,02 \times 24 \text{ h/jour} \times 3600 \text{ s/h} = 692524,8 \text{ s}$. $\lambda = \frac{\ln 2}{692524,8 \text{ s}} \approx \frac{0,693}{692524,8 \text{ s}} \approx 1,00 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}$.

3. Calcul de l'activité après 24,06 jours : On utilise la loi de décroissance de l'activité : $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$. Le temps $t = 24,06 \text{ jours}$. On remarque que $24,06 \text{ jours} = 3 \times 8,02 \text{ jours} = 3 \times t_{1/2}$. On peut donc utiliser la relation $A(n \cdot t_{1/2}) = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Ici $n=3$. $A(24,06 \text{ jours}) = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1,2 \cdot 10^5 \text{ Bq} \cdot \frac{1}{8} = 0,15 \cdot 10^5 \text{ Bq} = 1,5 \cdot 10^4 \text{ Bq}$.

   Alternativement, avec la valeur de $\lambda$ calculée : $t = 24,06 \text{ jours} = 24,06 \times 24 \times 3600 \text{ s} = 2079168 \text{ s}$. $A(t) = 1,2 \cdot 10^5 \cdot e^{-(1,00 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \cdot (2079168 \text{ s})}$ $A(t) = 1,2 \cdot 10^5 \cdot e^{-2,079} \approx 1,2 \cdot 10^5 \cdot 0,125 \approx 1,5 \cdot 10^4 \text{ Bq}$. Les deux méthodes donnent le même résultat, la première étant plus rapide si $t$ est un multiple de $t_{1/2}$.

4. Calcul de l'énergie libérée : L'énergie libérée est $E_{libérée} = |\Delta m| \cdot c^2$. D'abord, calculons la variation de masse $\Delta m$. $\Delta m = m_{produits} - m_{réactifs} = (m(^{131}_{54}\text{Xe}) + m(e^-)) - m(^{131}_{53}\text{I})$ $\Delta m = (130,90508 \text{ u} + 0,00055 \text{ u}) - 130,90612 \text{ u}$ $\Delta m = 130,90563 \text{ u} - 130,90612 \text{ u}$ $\Delta m = -0,00049 \text{ u}$.

   Maintenant, calculons l'énergie libérée en utilisant la conversion $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$. $E_{libérée} = |-0,00049 \text{ u}| \cdot c^2 = 0,00049 \text{ u} \cdot c^2$ $E_{libérée} = 0,00049 \times 931,5 \text{ MeV}$ $E_{libérée} \approx 0,456 \text{ MeV}$.

La méthode

Voici les étapes clés pour résoudre les exercices sur les transformations nucléaires :

1. Pour écrire une équation de désintégration :

   • Identifie le type de désintégration (alpha, bêta-moins, bêta-plus).
   • Écris le noyau père à gauche et le noyau fils inconnu ($^A_Z\text{Y}$) plus la particule émise à droite.
   • Applique les lois de conservation de Soddy :
     • Somme des $A$ à gauche = Somme des $A$ à droite.
     • Somme des $Z$ à gauche = Somme des $Z$ à droite.
   • Déduis $A$ et $Z$ du noyau fils.
   • Utilise le tableau périodique (ou les données fournies) pour identifier le symbole chimique du noyau fils à partir de son $Z$.

2. Pour exploiter la loi de décroissance radioactive :

   • Si on te donne $t_{1/2}$ et qu'on te demande $\lambda$, utilise $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$. N'oublie pas de convertir $t_{1/2}$ dans l'unité de temps souhaitée pour $\lambda$ (souvent en secondes).
   • Si on te demande le nombre de noyaux ou l'activité à un instant $t$, utilise $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ ou $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$. Assure-toi que $\lambda$ et $t$ sont dans des unités de temps cohérentes (par exemple, $\lambda$ en $s^{-1}$ et $t$ en $s$).
   • Si le temps $t$ est un multiple de $t_{1/2}$ ($t = n \cdot t_{1/2}$), tu peux utiliser la relation simplifiée $N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$ ou $A(t) = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

3. Pour calculer une énergie (de liaison ou libérée) :

   • Énergie de liaison :
     • Calcule le défaut de masse $\Delta m = (Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n) - m_{noyau}$.
     • Applique $E_l = \Delta m \cdot c^2$.
   • Énergie libérée :
     • Calcule la variation de masse $\Delta m = m_{produits} - m_{réactifs}$.
     • Applique $E_{libérée} = |\Delta m| \cdot c^2$.
   • Fais attention aux unités : si les masses sont en u, utilise la conversion $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$. Si les masses sont en kg, utilise $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ et l'énergie sera en Joules.

Pièges classiques

• Oubli des lois de Soddy : Ne pas vérifier la conservation de $A$ et $Z$ après avoir écrit l'équation. C'est la base pour identifier le noyau fils.
• Erreurs d'unités :
  • Ne pas convertir la demi-vie en secondes (ou autre unité cohérente) avant de calculer $\lambda$.
  • Mélanger les unités de masse (u et kg) ou d'énergie (J et MeV) sans utiliser les facteurs de conversion appropriés.
  • Oublier les unités dans le résultat final.
• Confondre $A$ et $Z$ : Bien identifier le nombre de masse $A$ (en haut) et le numéro atomique $Z$ (en bas) dans la notation $^A_Z\text{X}$.
• Erreur de signe pour $\Delta m$ : Pour l'énergie libérée, $\Delta m = m_{produits} - m_{réactifs}$ est souvent négatif. Il faut prendre sa valeur absolue pour obtenir une énergie libérée positive.
• Calcul de $\Delta m$ pour la désintégration $\beta^-$ : Lors d'une désintégration $\beta^-$, le noyau père se transforme en noyau fils et un électron. Si on te donne les masses atomiques (masse du noyau + électrons), il faut être vigilant. Par exemple, pour $^{131}_{53}\text{I} \rightarrow ^{131}_{54}\text{Xe} + ^0_{-1}\text{e}$: Si on utilise les masses des noyaux : $\Delta m = m_{noyau}(^{131}\text{Xe}) + m_e - m_{noyau}(^{131}\text{I})$ Si on utilise les masses atomiques : $m_{atome}(^{131}\text{I}) = m_{noyau}(^{131}\text{I}) + 53 m_e$ $m_{atome}(^{131}\text{Xe}) = m_{noyau}(^{131}\text{Xe}) + 54 m_e$ Alors $\Delta m = (m_{atome}(^{131}\text{Xe}) - 54 m_e + m_e) - (m_{atome}(^{131}\text{I}) - 53 m_e)$ $\Delta m = m_{atome}(^{131}\text{Xe}) - m_{atome}(^{131}\text{I})$. Dans ce cas particulier de la $\beta^-$, la masse de l'électron émis est compensée par la différence du nombre d'électrons entre l'atome père et l'atome fils. C'est pourquoi, souvent, on peut directement utiliser les masses atomiques pour calculer $\Delta m$ dans les désintégrations $\beta^-$. Pour les désintégrations $\beta^+$, c'est plus complexe, il faut ajouter $2m_e$ à la masse du positon. Si tu as un doute, utilise toujours les masses des noyaux et des particules émises. L'exemple résolu utilise les masses des noyaux et de l'électron, ce qui est la méthode la plus sûre.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des transformations nucléaires représente environ 8% de la note totale de physique-chimie, ce qui est significatif. Les questions sont généralement directes et visent à vérifier ta maîtrise des concepts fondamentaux et des calculs associés.

Formats de questions réels :

• Écriture d'équations de désintégration :

  • "Le noyau de X est radioactif [alpha/bêta-moins/bêta-plus]. Écrire l'équation de sa désintégration et identifier le noyau fils." (Très fréquent, voir l'exemple d'annale).
  • On te donne une équation incomplète et tu dois identifier la particule émise ou le noyau fils/père.
  • Barème typique : 1 point (0,5 pour l'équation, 0,5 pour l'identification du noyau fils).

• Composition du noyau :

  • "Donner la composition (nombre de protons et de neutrons) du noyau de l'atome de X." (Simple, souvent en début d'exercice).
  • Barème typique : 0,5 point.

• Calculs liés à la décroissance radioactive :

  • Calcul de $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ ou vice-versa.
  • Calcul de l'activité ou du nombre de noyaux à un instant donné.
  • Détermination du temps nécessaire pour qu'une certaine fraction de noyaux se désintègre.
  • Barème typique : 1 à 1,5 points par calcul, avec des points pour la formule, l'application numérique et l'unité.

• Calculs d'énergie :

  • Calcul de l'énergie de liaison d'un noyau.
  • Calcul de l'énergie libérée lors d'une désintégration nucléaire.
  • Barème typique : 1,5 à 2 points, avec des points pour le calcul du défaut de masse/variation de masse, l'application de $E = |\Delta m| \cdot c^2$ et l'unité.

Attentes du correcteur :

• Clarté et rigueur : Présente tes calculs étape par étape.
• Formules : Écris toujours la formule littérale avant l'application numérique.
• Unités : Indique systématiquement les unités dans les calculs intermédiaires et les résultats finaux. Une absence d'unité peut coûter des points.
• Chiffres significatifs : Respecte les règles de chiffres significatifs (souvent 2 ou 3 après la virgule pour les résultats finaux, sauf indication contraire).
• Identification : Pour les noyaux fils, donne le symbole chimique correct.

La clé est de bien maîtriser les formules, de comprendre les concepts physiques derrière et de s'entraîner à appliquer la méthode rigoureusement.