Électricité (RC, RL, RLC, modulation)

L'intuition

Imagine que tu es en train de remplir un grand seau d'eau avec un tuyau.

Pour le circuit RC (Résistance-Condensateur), le seau, c'est le condensateur qui stocke l'eau (la charge électrique). Le tuyau, c'est la résistance qui limite le débit d'eau (le courant). Quand tu ouvres le robinet, l'eau ne remplit pas le seau instantanément, ça prend un certain temps. Plus le seau est grand (grande capacité $C$) ou plus le tuyau est fin (grande résistance $R$), plus ça prend de temps. Ce temps caractéristique, c'est la constante de temps $\tau$.

Pour le circuit RL (Résistance-Bobine), c'est un peu plus abstrait. Imagine que tu essaies de faire tourner une lourde roue (la bobine) avec une manivelle (le courant). Au début, c'est difficile de la faire démarrer, elle résiste au changement de mouvement. Une fois lancée, elle a de l'inertie et continue de tourner. La résistance, c'est le frottement qui s'oppose au mouvement. La bobine s'oppose aux variations de courant, elle "lisse" les changements. La constante de temps $\tau$ ici, c'est le temps qu'il faut pour que le courant s'établisse ou s'annule.

Enfin, pour le circuit RLC (Résistance-Bobine-Condensateur), c'est comme une balançoire. Le condensateur et la bobine échangent de l'énergie, comme la balançoire qui monte et descend. Si la balançoire est idéale (pas de frottement, donc pas de résistance $R$), elle oscille indéfiniment. C'est la période propre $T_0$. Si tu ajoutes des frottements (la résistance $R$), la balançoire ralentit et s'arrête. C'est l'amortissement.

Le cours

I. Le dipôle RC

Un dipôle RC est constitué d'un résistor de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$ montés en série.

1. Le condensateur

Un condensateur est un composant capable de stocker des charges électriques. Il est caractérisé par sa capacité $C$, exprimée en Farad (F).

• Relation charge-tension : La charge $q$ stockée par le condensateur est proportionnelle à la tension $u_C$ à ses bornes : $q = C \cdot u_C$

  où $q$ est en Coulomb (C), $C$ en Farad (F) et $u_C$ en Volt (V).

• Relation courant-charge : Le courant $i$ traversant le condensateur est la dérivée de la charge par rapport au temps : $i = \frac{dq}{dt}$

  où $i$ est en Ampère (A), $q$ en Coulomb (C) et $t$ en seconde (s).

• Relation courant-tension : En combinant les deux relations précédentes, on obtient : $i = C \frac{du_C}{dt}$

2. Établissement de la tension aux bornes d'un condensateur (charge)

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue $E$, d'un résistor de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur.

• Loi des mailles : D'après la loi des mailles, la somme des tensions dans une maille fermée est nulle. En parcourant la maille dans le sens du courant : $E = u_R + u_C$

  où $u_R = R \cdot i$ (loi d'Ohm).

• Équation différentielle en $u_C$ : On a $i = C \frac{du_C}{dt}$. En substituant $i$ dans la loi des mailles : $E = R \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C$

  $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$

  C'est l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension $u_C$ lors de la charge du condensateur.

• Solution de l'équation différentielle : La solution de cette équation différentielle est de la forme : $u_C(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + B$

  En régime permanent ($t \to \infty$), $u_C = E$. Donc $B = E$. À $t=0$, le condensateur est déchargé, donc $u_C(0) = 0$. $0 = A e^0 + E \implies A = -E$

  D'où la solution : $u_C(t) = E (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$

  où $\tau = RC$ est la constante de temps du circuit, exprimée en secondes (s).

• Interprétation de $\tau$ : À $t = \tau$, $u_C(\tau) = E (1 - e^{-1}) \approx 0.63 E$. La constante de temps $\tau$ représente le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne environ 63% de sa valeur finale. Graphiquement, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine de la courbe $u_C(t)$ avec l'asymptote $u_C = E$.

3. Décharge du condensateur

Considérons le condensateur précédemment chargé, branché sur un résistor de résistance $R$. À $t=0$, la tension aux bornes du condensateur est $u_C(0) = E$.

(sans le générateur)

• Loi des mailles : $u_R + u_C = 0$

  $R \cdot i + u_C = 0$

• Équation différentielle en $u_C$ : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

• Solution de l'équation différentielle : $u_C(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}}$

  À $t=0$, $u_C(0) = E$, donc $A = E$. D'où la solution : $u_C(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}$

  avec $\tau = RC$.

II. Le dipôle RL

Un dipôle RL est constitué d'un résistor de résistance $R$ et d'une bobine d'inductance $L$ montés en série.

1. La bobine

Une bobine est un composant capable de stocker de l'énergie sous forme de champ magnétique. Elle est caractérisée par son inductance $L$, exprimée en Henry (H), et souvent par une résistance interne $r$.

• Tension aux bornes d'une bobine : La tension $u_L$ aux bornes d'une bobine est donnée par : $u_L = L \frac{di}{dt} + r i$

  où $L$ est en Henry (H), $i$ en Ampère (A), $t$ en seconde (s) et $r$ en Ohm ($\Omega$). Si la bobine est idéale (résistance interne $r=0$), alors $u_L = L \frac{di}{dt}$.

2. Établissement du courant dans une bobine

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue $E$, d'un résistor de résistance $R$ et d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur.

• Loi des mailles : $E = u_R + u_L$

  $E = R \cdot i + (L \frac{di}{dt} + r i)$

  $E = (R+r) i + L \frac{di}{dt}$

• Équation différentielle en $i$ : $L \frac{di}{dt} + (R+r) i = E$

  $\frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L} i = \frac{E}{L}$

  C'est l'équation différentielle régissant l'évolution du courant $i$ lors de l'établissement du courant.

• Solution de l'équation différentielle : La solution est de la forme : $i(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + B$

  En régime permanent ($t \to \infty$), le courant est constant, $\frac{di}{dt} = 0$. Donc $(R+r) i_{max} = E \implies i_{max} = \frac{E}{R+r}$. Donc $B = \frac{E}{R+r}$. À $t=0$, le courant est nul (la bobine s'oppose à l'établissement instantané du courant), donc $i(0) = 0$. $0 = A e^0 + \frac{E}{R+r} \implies A = -\frac{E}{R+r}$

  D'où la solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$

  où $\tau = \frac{L}{R+r}$ est la constante de temps du circuit, exprimée en secondes (s). Si la bobine est idéale ($r=0$), alors $\tau = \frac{L}{R}$.

• Interprétation de $\tau$ : À $t = \tau$, $i(\tau) = i_{max} (1 - e^{-1}) \approx 0.63 i_{max}$. La constante de temps $\tau$ représente le temps nécessaire pour que le courant atteigne environ 63% de sa valeur finale. Graphiquement, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine de la courbe $i(t)$ avec l'asymptote $i = i_{max}$.

3. Rupture du courant

Considérons le circuit précédent en régime permanent, puis on ouvre l'interrupteur pour déconnecter le générateur, laissant la bobine et la résistance en série.

• Équation différentielle en $i$ : $L \frac{di}{dt} + (R+r) i = 0$

• Solution de l'équation différentielle : $i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

  où $I_0$ est le courant initial (le courant en régime permanent avant la rupture) et $\tau = \frac{L}{R+r}$.

III. Oscillations libres dans un circuit RLC série

Un circuit RLC série est composé d'un résistor de résistance $R$, d'une bobine d'inductance $L$ (résistance interne $r=0$ pour simplifier) et d'un condensateur de capacité $C$.

1. Équation différentielle

Considérons un condensateur initialement chargé, puis connecté en série avec une bobine et un résistor.

• Loi des mailles : $u_L + u_R + u_C = 0$

  $L \frac{di}{dt} + R i + u_C = 0$

  On sait que $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$. Donc $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$. En substituant dans la loi des mailles : $L C \frac{d^2u_C}{dt^2} + R C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

  C'est l'équation différentielle des oscillations libres amorties en $u_C$.

2. Cas du circuit LC idéal (oscillations libres non amorties)

Si la résistance totale du circuit est nulle ($R=0$), l'équation différentielle devient :

$L C \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = 0$

$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C = 0$

Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique.

• Solution : La solution est de la forme : $u_C(t) = U_{C,max} \cos(\omega_0 t + \phi)$

  où $U_{C,max}$ est l'amplitude maximale de la tension, $\omega_0$ est la pulsation propre et $\phi$ est la phase à l'origine.

• Pulsation propre $\omega_0$ et période propre $T_0$ : En identifiant avec l'équation d'un oscillateur harmonique ($\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$), on a : $\omega_0^2 = \frac{1}{LC} \implies \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

  La période propre $T_0$ est liée à la pulsation propre par $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$. D'où : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$

  $T_0$ est en secondes (s), $L$ en Henry (H) et $C$ en Farad (F).

3. Bilan d'énergie

Dans un circuit LC idéal, l'énergie totale est conservée. Elle oscille entre deux formes :

• Énergie emmagasinée dans le condensateur (électrique) : $E_C = \frac{1}{2} C u_C^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$

• Énergie emmagasinée dans la bobine (magnétique) : $E_L = \frac{1}{2} L i^2$

• Énergie totale : $E_{totale} = E_C + E_L = \text{constante}$

  En présence d'une résistance $R$, une partie de l'énergie est dissipée par effet Joule ($P_J = R i^2$), ce qui entraîne l'amortissement des oscillations.

IV. Modulation d'amplitude

La modulation d'amplitude est un procédé qui consiste à faire varier l'amplitude d'une onde porteuse (haute fréquence) en fonction d'un signal modulant (basse fréquence, contenant l'information).

1. Principe

• Signal modulant (ou signal informatif) : $u_m(t) = U_m \cos(2\pi f_m t)$ où $U_m$ est l'amplitude du signal modulant et $f_m$ sa fréquence.

• Onde porteuse : $u_p(t) = U_p \cos(2\pi f_p t)$ où $U_p$ est l'amplitude de la porteuse et $f_p$ sa fréquence. On a $f_p \gg f_m$.

• Signal modulé : L'amplitude de la porteuse est modifiée par le signal modulant. Le signal modulé $u_s(t)$ s'écrit : $u_s(t) = [U_p + u_m(t)] \cos(2\pi f_p t)$

  $u_s(t) = [U_p + U_m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_p t)$

  $u_s(t) = U_p [1 + \frac{U_m}{U_p} \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_p t)$

2. Taux de modulation $m$

Le taux de modulation $m$ est défini par :

$m = \frac{U_m}{U_p}$

Le signal modulé peut alors s'écrire :

$u_s(t) = U_p [1 + m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_p t)$

• Condition pour une bonne modulation : Pour éviter la surmodulation (distorsion du signal), il faut que l'amplitude de l'enveloppe reste positive. Cela implique : $1 + m \cos(2\pi f_m t) \ge 0$

  La valeur minimale de $\cos(2\pi f_m t)$ est $-1$. Donc $1 - m \ge 0 \implies m \le 1$. Ainsi, une bonne modulation nécessite $0 \le m \le 1$.

• Détermination graphique de $m$ : Sur l'oscillogramme du signal modulé, on peut mesurer l'amplitude maximale $U_{max}$ et l'amplitude minimale $U_{min}$ de l'enveloppe. $U_{max} = U_p + U_m$

  $U_{min} = U_p - U_m$

  Alors : $m = \frac{U_m}{U_p} = \frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}}$

Exemple résolu

Un circuit RL série est constitué d'une bobine d'inductance $L = 20 \text{ mH}$ et de résistance négligeable, et d'un résistor de résistance $R = 50 \Omega$.

1. Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit.
2. Si ce circuit est branché à un générateur de tension continue $E = 12 \text{ V}$, quelle sera l'intensité maximale du courant en régime permanent ?

Résolution :

1. Calcul de la constante de temps $\tau$ : Le circuit est un dipôle RL série. La bobine a une résistance négligeable, donc $r=0$. La constante de temps $\tau$ d'un circuit RL est donnée par la formule : $\tau = \frac{L}{R+r}$

   Ici, $L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$ et $R = 50 \Omega$, $r=0$. $\tau = \frac{20 \times 10^{-3}}{50 + 0} = \frac{20 \times 10^{-3}}{50}$

   $\tau = 0.4 \times 10^{-3} \text{ s} = 0.4 \text{ ms}$

   La constante de temps du circuit est $\tau = 0.4 \text{ ms}$.

2. Intensité maximale du courant en régime permanent : En régime permanent, le courant est établi et ne varie plus, donc $\frac{di}{dt} = 0$. L'équation différentielle du circuit est $L \frac{di}{dt} + (R+r) i = E$. En régime permanent, cette équation devient : $(R+r) I_{max} = E$

   Avec $r=0$, on a : $R \cdot I_{max} = E$

   $I_{max} = \frac{E}{R}$

   Ici, $E = 12 \text{ V}$ et $R = 50 \Omega$. $I_{max} = \frac{12}{50} = 0.24 \text{ A}$

   L'intensité maximale du courant en régime permanent sera de $0.24 \text{ A}$.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices sur l'électricité :

1. Identifier le type de circuit : RC, RL, RLC. Cela détermine les lois et formules à utiliser.
2. Faire un schéma clair du circuit : Représenter les composants (générateur, résistor, condensateur, bobine) et indiquer le sens conventionnel du courant et les tensions aux bornes de chaque dipôle.
3. Appliquer la loi des mailles : Écrire la relation entre les tensions dans la maille. C'est souvent le point de départ pour établir l'équation différentielle.
4. Exprimer les tensions en fonction du courant et de ses dérivées (ou de la tension aux bornes du condensateur et de ses dérivées) :
   • $u_R = R \cdot i$
   • $u_C = \frac{q}{C}$ et $i = C \frac{du_C}{dt}$
   • $u_L = L \frac{di}{dt} + r i$
5. Établir l'équation différentielle : Substituer les expressions des tensions dans la loi des mailles pour obtenir l'équation différentielle du circuit.
6. Résoudre l'équation différentielle (si demandé) : Utiliser la forme générale de la solution et les conditions initiales/finales pour déterminer les constantes.
7. Calculer la constante de temps $\tau$ ou la période propre $T_0$ :
   • Pour RC : $\tau = RC$
   • Pour RL : $\tau = L/(R+r)$
   • Pour RLC idéal : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$
8. Analyser le régime permanent :
   • Pour RC : $u_C = E$ (condensateur chargé, $i=0$)
   • Pour RL : $i = E/(R+r)$ (bobine se comporte comme un fil, $\frac{di}{dt}=0$)
9. Interpréter les courbes : Savoir lire $\tau$ sur une courbe de charge/décharge, ou $T_0$ sur une courbe d'oscillations.
10. Calculer le taux de modulation $m$ : Utiliser la formule $m = U_m/U_p$ ou $m = (U_{max} - U_{min}) / (U_{max} + U_{min})$.

Pièges classiques

• Unités : Toujours convertir les grandeurs dans les unités du Système International (SI) avant de faire les calculs.

  • mH en H ($1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$)
  • $\mu$F en F ($1 \mu\text{F} = 10^{-6} \text{ F}$)
  • nF en F ($1 \text{ nF} = 10^{-9} \text{ F}$)
  • k$\Omega$ en $\Omega$ ($1 \text{ k}\Omega = 10^3 \Omega$)
  • ms en s ($1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$) Un oubli de conversion coûte des points.

• Résistance interne de la bobine : Ne pas oublier la résistance interne $r$ de la bobine si elle est donnée. La résistance totale du circuit RL est $R_{totale} = R + r$. Si elle est négligeable, alors $r=0$.

• Conditions initiales :

  • À $t=0$, un condensateur déchargé a $u_C(0) = 0$.
  • À $t=0$, le courant dans une bobine est $i(0) = 0$ (elle s'oppose à l'établissement instantané du courant).

• Régime permanent :

  • Pour un condensateur en régime permanent avec un générateur continu, il est complètement chargé et se comporte comme un interrupteur ouvert (le courant est nul).
  • Pour une bobine en régime permanent avec un générateur continu, le courant est constant, donc $\frac{di}{dt}=0$. La bobine se comporte comme un fil (sa tension aux bornes est $r i_{max}$).

• Graphiques : Ne pas confondre la tangente à l'origine avec la courbe elle-même pour déterminer $\tau$. La tangente coupe l'asymptote horizontale en $t=\tau$.

• Modulation :

  • Vérifier que $f_p \gg f_m$ pour une bonne modulation.
  • Vérifier que $m \le 1$ pour éviter la surmodulation.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions d'examen sur ce chapitre sont très structurées et suivent souvent le même schéma :

1. Établissement de l'équation différentielle :

   • "Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ (ou $i(t)$)." (2-3 points)
   • C'est une application directe de la loi des mailles et des relations caractéristiques des dipôles. Il faut être rigoureux dans la démonstration.

2. Vérification d'une solution et détermination de $\tau$ ou $T_0$ :

   • "Vérifier que $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ est solution de l'équation différentielle et déterminer l'expression de $\tau$." (2-3 points)
   • Il faut dériver la solution proposée, la substituer dans l'équation différentielle et identifier les termes.

3. Calcul de $\tau$ ou $T_0$ :

   • "Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit." (1-2 points)
   • "Calculer la période propre $T_0$ des oscillations." (1-2 points)
   • Application directe des formules $\tau = RC$, $\tau = L/(R+r)$ ou $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. Attention aux unités !

4. Exploitation graphique :

   • "À partir de la courbe $u_C(t)$, déterminer graphiquement la valeur de $\tau$." (1-2 points)
   • "Déterminer la valeur de $U_{max}$ et $U_{min}$ à partir de l'oscillogramme du signal modulé, puis calculer le taux de modulation $m$." (1-2 points)
   • Il faut savoir tracer la tangente à l'origine ou identifier les amplitudes sur les courbes.

5. Analyse du régime permanent :

   • "Quelle est la valeur de l'intensité du courant en régime permanent ?" (1 point)
   • "Quelle est la tension aux bornes du condensateur en régime permanent ?" (1 point)
   • Comprendre le comportement des dipôles en régime établi.

6. Bilan d'énergie (pour RLC) :

   • "Calculer l'énergie emmagasinée dans le condensateur à $t=0$." (1-2 points)
   • "Justifier l'amortissement des oscillations dans un circuit RLC réel." (1 point)
   • Application des formules $E_C = \frac{1}{2} C u_C^2$ et $E_L = \frac{1}{2} L i^2$. L'amortissement est dû à la dissipation d'énergie par effet Joule dans la résistance.

7. Modulation d'amplitude :

   • "Définir le taux de modulation $m$." (1 point)
   • "Donner la condition pour une bonne modulation." (1 point)
   • "Calculer $m$ à partir des amplitudes $U_m$ et $U_p$ ou $U_{max}$ et $U_{min}$." (1-2 points)

Le poids de ce chapitre à l'examen est significatif (environ 21% de la partie Physique), donc maîtrise bien ces points. La rigueur dans les calculs, les unités et les démonstrations est cruciale.