Mécanique (Newton, mouvements)

L'intuition

Imagine que tu es sur la place Jemaa el-Fna, et tu vois un vendeur pousser sa charrette de dattes. Quand il pousse fort, la charrette accélère. Si elle est pleine, elle est plus lourde, et il doit pousser encore plus fort pour obtenir la même accélération. Si un ami l'aide à pousser dans la même direction, la charrette accélère encore plus. Si quelqu'un essaie de la retenir, elle ralentit.

C'est ça, la mécanique de Newton. L'accélération de la charrette (ou de n'importe quel objet) dépend de deux choses : la force totale qu'on lui applique et sa masse. Plus la force est grande, plus l'accélération est grande. Plus la masse est grande, plus l'accélération est petite pour la même force. C'est la base de tout ce chapitre.

Le cours

Ce chapitre est fondamental. Il représente une part importante de l'examen et demande une maîtrise rigoureuse de la méthode.

I. Rappels sur les vecteurs et les repères

Pour décrire un mouvement, on a besoin d'un repère. Un repère est constitué d'une origine et d'axes.

• Repère cartésien $(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ : Souvent utilisé pour les mouvements plans ou dans l'espace.
  • Position d'un point M : $\vec{OM} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$
  • Vitesse : $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \dot{x} \vec{i} + \dot{y} \vec{j} + \dot{z} \vec{k}$
  • Accélération : $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{x} \vec{i} + \ddot{y} \vec{j} + \ddot{z} \vec{k}$
• Repère de Frenet $(\text{M}, \vec{T}, \vec{N})$ : Adapté aux mouvements curvilignes. $\vec{T}$ est le vecteur tangentiel (dans le sens du mouvement) et $\vec{N}$ est le vecteur normal (dirigé vers le centre de courbure).
  • Vitesse : $\vec{v} = v \vec{T}$
  • Accélération : $\vec{a} = a_T \vec{T} + a_N \vec{N} = \frac{dv}{dt} \vec{T} + \frac{v^2}{R} \vec{N}$, où $R$ est le rayon de courbure.

Un repère galiléen est un repère dans lequel le principe d'inertie est vérifié. En pratique, pour les expériences terrestres, un repère lié à la Terre est considéré comme galiléen.

II. Les lois de Newton

1. Première loi de Newton (Principe d'inertie)

Dans un repère galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un solide est nulle, alors son vecteur vitesse est constant. $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \implies \vec{v} = \text{constante}$ Cela signifie que le solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.

2. Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique)

Dans un repère galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un solide est égale au produit de sa masse $m$ par le vecteur accélération $\vec{a}_G$ de son centre d'inertie G. $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$

Cette loi est la clé de ce chapitre. Elle permet de déterminer l'accélération du solide, puis, par intégration, sa vitesse et sa position.

3. Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques)

Si un corps A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément une force $\vec{F}_{B/A}$ sur le corps A telle que : $\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$ Ces deux forces ont la même ligne d'action, la même intensité, mais des sens opposés. Elles ne s'appliquent pas sur le même corps.

III. Forces courantes

• Poids ($\vec{P}$) : Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un corps.
  • Direction : Verticale
  • Sens : Vers le bas
  • Intensité : $P = m g$, où $g$ est l'intensité du champ de pesanteur ($g \approx 9.8 \text{ N/kg}$ sur Terre).
  • Expression vectorielle : $\vec{P} = m \vec{g}$
• Réaction normale ($\vec{R}_N$ ou $\vec{N}$) : Force exercée par une surface sur un objet en contact, perpendiculaire à la surface.
• Force de frottement ($\vec{f}$) : Force s'opposant au mouvement ou à la tendance au mouvement, parallèle à la surface de contact.
  • Intensité : $f = \mu R_N$ (frottement solide) ou $f = k v$ (frottement fluide à faible vitesse).
• Tension d'un fil ($\vec{T}$) : Force exercée par un fil ou une corde tendue, dirigée le long du fil.
• Force de traction ($\vec{F}$) : Force appliquée par un moteur, une personne, etc.

IV. Mouvements types

1. Chute libre verticale

Un solide est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids. On néglige les frottements de l'air.

• Système : Solide (masse $m$)
• Bilan des forces : $\vec{P}$
• 2e loi de Newton : $\vec{P} = m \vec{a}_G$ $m \vec{g} = m \vec{a}_G \implies \vec{a}_G = \vec{g}$
• Dans un repère $(\text{O}, \vec{k})$ vertical orienté vers le haut : $a_z = -g$
  • Vitesse : $v_z(t) = -gt + v_0$
  • Position : $z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0$

2. Mouvement sur un plan incliné

Un solide glisse sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale.

• Forces : Poids $\vec{P}$, Réaction normale $\vec{R}_N$, Frottements $\vec{f}$ (si présents).
• Repère adapté : $(\text{O}, \vec{x}, \vec{y})$ où $\vec{x}$ est parallèle au plan et $\vec{y}$ est perpendiculaire au plan.
• Projections de la 2e loi de Newton :
  • Sur l'axe $x$: $P_x + R_{Nx} + f_x = m a_x$
  • Sur l'axe $y$: $P_y + R_{Ny} + f_y = m a_y$
  • Avec $P_x = mg \sin \alpha$, $P_y = -mg \cos \alpha$, $R_{Nx} = 0$, $R_{Ny} = R_N$, $f_x = -f$ (si mouvement vers le bas), $f_y = 0$.
  • Comme il n'y a pas de mouvement selon $y$, $a_y = 0$.

3. Mouvement d'un projectile (chute libre parabolique)

Un objet est lancé avec une vitesse initiale $\vec{v}_0$ et n'est soumis qu'à son poids.

• Repère : $(\text{O}, \vec{i}, \vec{j})$ où $\vec{i}$ est horizontal et $\vec{j}$ est vertical vers le haut.
• 2e loi de Newton : $\vec{P} = m \vec{a}_G \implies \vec{a}_G = \vec{g}$
• Projections :
  • $a_x = 0$
  • $a_y = -g$
• Équations horaires :
  • $v_x(t) = v_{0x}$
  • $v_y(t) = -gt + v_{0y}$
  • $x(t) = v_{0x} t + x_0$
  • $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} t + y_0$
• Équation de la trajectoire : On exprime $t$ en fonction de $x$ à partir de $x(t)$, puis on substitue dans $y(t)$. Si $x_0 = 0$ et $y_0 = 0$: $t = \frac{x}{v_{0x}}$ $y(x) = -\frac{1}{2}g \left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2 + v_{0y} \left(\frac{x}{v_{0x}}\right)$ $y(x) = -\frac{g}{2v_{0x}^2} x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} x$ C'est l'équation d'une parabole.

4. Mouvement circulaire uniforme

Un corps décrit une trajectoire circulaire à vitesse angulaire constante.

• L'accélération est centripète (dirigée vers le centre).
• $\vec{a} = \frac{v^2}{R} \vec{N}$, où $R$ est le rayon de la trajectoire et $\vec{N}$ le vecteur normal.
• La 2e loi de Newton permet de déterminer la force nécessaire pour maintenir ce mouvement.

V. Théorème de l'énergie cinétique

Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) relie la variation de l'énergie cinétique d'un système au travail des forces extérieures qui s'exercent sur lui. $\Delta E_c = \sum W_{ext}$ où $\Delta E_c = E_{c_f} - E_{c_i} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$ est la variation de l'énergie cinétique entre l'état initial (i) et l'état final (f). Le travail d'une force constante $\vec{F}$ sur un déplacement $\vec{AB}$ est $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\vec{F}, \vec{AB})$.

• Travail du poids : $W_{AB}(\vec{P}) = \vec{P} \cdot \vec{AB} = m \vec{g} \cdot \vec{AB}$. Si l'axe $Oz$ est vertical vers le haut, $W_{AB}(\vec{P}) = -mg(z_B - z_A)$. Si l'axe $Oz$ est vertical vers le bas, $W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_B - z_A)$.
• Travail de la réaction normale : $W(\vec{R}_N) = 0$ car $\vec{R}_N$ est perpendiculaire au déplacement.
• Travail des forces de frottement : $W(\vec{f}) = -f \cdot d$ (toujours négatif, car les frottements s'opposent au mouvement).

Le TEC est particulièrement utile pour calculer des vitesses sans avoir à intégrer les équations du mouvement, surtout quand les forces sont constantes ou que le chemin est simple.

Exemple résolu

Un chariot de masse $m = 2.0 \text{ kg}$ est tiré horizontalement sur une surface lisse (sans frottement) par une force constante $F = 10 \text{ N}$. Déterminer l'accélération du chariot.

1. Système étudié : Le chariot de masse $m$.

2. Repère d'étude : Un repère terrestre considéré galiléen, avec un axe horizontal $Ox$ orienté dans le sens du mouvement et un axe vertical $Oy$ orienté vers le haut.

3. Bilan des forces extérieures : * Le poids $\vec{P}$ du chariot, vertical vers le bas, d'intensité $P = mg$. * La réaction normale $\vec{R}_N$ de la surface, verticale vers le haut, d'intensité $R_N$. * La force de traction $\vec{F}$, horizontale, dans le sens du mouvement, d'intensité $F = 10 \text{ N}$. * Les frottements sont négligés (surface lisse).

Figure 1 : Schéma des forces appliquées au chariot.

4. Application de la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$ $\vec{P} + \vec{R}_N + \vec{F} = m \vec{a}_G$

5. Projection sur les axes du repère :

• Sur l'axe $Ox$ (horizontal) : $P_x + R_{Nx} + F_x = m a_x$ $0 + 0 + F = m a_x$ $F = m a_x$

• Sur l'axe $Oy$ (vertical) : $P_y + R_{Ny} + F_y = m a_y$ $-P + R_N + 0 = m a_y$ Comme le chariot ne se déplace pas verticalement, $a_y = 0$. $-P + R_N = 0 \implies R_N = P = mg$ (Cette équation permet de calculer $R_N$ si nécessaire, mais n'est pas utile pour l'accélération horizontale ici).

6. Calcul de l'accélération : À partir de l'équation sur l'axe $Ox$: $F = m a_x$ $a_x = \frac{F}{m}$ $a_x = \frac{10 \text{ N}}{2.0 \text{ kg}}$ $a_x = 5.0 \text{ m/s}^2$

L'accélération du chariot est de $5.0 \text{ m/s}^2$.

La méthode

Pour résoudre un problème de mécanique utilisant la 2e loi de Newton, suis ces étapes rigoureuses :

1. Définir le système étudié : Précise clairement l'objet ou l'ensemble d'objets dont tu vas étudier le mouvement. (Ex: "Le solide (S) de masse $m$").
2. Choisir un repère d'étude :
   • Précise l'origine et l'orientation des axes.
   • Indique qu'il est galiléen (souvent un repère terrestre).
   • Adapte le repère au mouvement (cartésien pour rectiligne/parabolique, Frenet pour circulaire).
3. Faire le bilan des forces extérieures :
   • Liste toutes les forces s'exerçant sur le système.
   • Représente-les sur un schéma clair avec leurs points d'application, directions et sens.
   • Donne leurs expressions vectorielles ou leurs intensités si connues.
4. Appliquer la deuxième loi de Newton :
   • Écris l'équation vectorielle : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$.
5. Projeter la 2e loi de Newton sur les axes du repère :
   • Obtiens des équations scalaires pour chaque axe. Sois attentif aux signes des projections.
6. Résoudre le système d'équations :
   • Détermine l'accélération $a_x$, $a_y$ (ou $a_T$, $a_N$).
   • Si l'accélération est constante, intègre pour trouver les équations horaires de la vitesse $v(t)$ puis de la position $x(t)$, $y(t)$. N'oublie pas les constantes d'intégration (conditions initiales).
   • Si le problème demande une vitesse ou une distance sans passer par les équations horaires, pense au Théorème de l'Énergie Cinétique.
7. Vérifier les unités et la cohérence des résultats.

Pièges classiques

• Oublier le repère galiléen : Toujours préciser que le repère est galiléen. C'est une condition fondamentale pour appliquer les lois de Newton.
• Erreurs de projection : Les signes des composantes des forces sont cruciaux. Un angle mal identifié ou un sens de projection inversé peut tout fausser. Fais un schéma clair et utilise la trigonométrie correctement ($\sin$, $\cos$).
• Confondre masse et poids : La masse $m$ est une grandeur scalaire intrinsèque à l'objet (en kg). Le poids $\vec{P}$ est une force (en N), dépendante de $g$.
• Oublier des forces : La réaction normale, les frottements (s'ils ne sont pas négligés), la tension d'un fil sont souvent oubliés. Fais un bilan exhaustif.
• Ne pas distinguer $\vec{a}$ et $a$ : $\vec{a}$ est un vecteur, $a$ est son intensité ou une de ses composantes.
• Intégration incorrecte : Lors du passage de l'accélération à la vitesse, puis à la position, n'oublie pas les constantes d'intégration qui dépendent des conditions initiales ($v_0$, $x_0$, $y_0$).
• Mauvaise application du TEC : Le TEC s'applique à la variation d'énergie cinétique entre deux points, et la somme des travaux de toutes les forces extérieures. Oublier un travail ou le calculer avec un mauvais signe est une erreur fréquente. Le travail de la réaction normale est nul si le déplacement est tangentiel à la surface.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre est systématiquement évalué, souvent sous forme d'un exercice complet ou d'une partie significative d'un exercice plus grand.

Formats de questions réels :

• Détermination de l'accélération :
  • "Déterminer l'accélération du chariot." (Exemple résolu ci-dessus)
  • "Calculer la valeur de cette accélération."
  • Ces questions testent directement l'application de la 2e loi de Newton et la projection.
• Établissement des équations horaires :
  • "Établir les équations horaires du mouvement $x(t)$ et $y(t)$."
  • "Déduire l'équation de la trajectoire $y(x)$."
  • Ces questions évaluent ta capacité à intégrer l'accélération et à utiliser les conditions initiales.
• Calcul de vitesse ou de position à un instant donné :
  • "Calculer la vitesse du solide à l'instant $t=2 \text{ s}$."
  • "Déterminer la hauteur maximale atteinte par le projectile."
  • "Calculer la portée du tir."
  • Ces questions nécessitent l'exploitation des équations horaires ou du TEC.
• Application du Théorème de l'Énergie Cinétique :
  • "En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la vitesse du solide au point B."
  • "Déterminer la distance parcourue avant l'arrêt, en utilisant le TEC."
  • Ces questions vérifient ta maîtrise du TEC et du calcul des travaux des forces.
• Analyse de mouvement circulaire :
  • "Calculer la tension du fil pour maintenir le mouvement circulaire uniforme."
  • "Déterminer la vitesse angulaire."
  • Ces questions combinent la 2e loi de Newton avec les spécificités du repère de Frenet.
• Calcul du poids :
  • "Un objet a une masse $m = 500 \text{ g}$. Calculer son poids $P$ sur Terre. On prendra $g = 9.8 \text{ N/kg}$." (Question de base, souvent en début d'exercice pour vérifier les fondamentaux).

Barème et attendus :

• Schéma des forces : Souvent noté (0.5 à 1 point). Il doit être clair et précis.
• Application de la 2e loi de Newton (vectorielle) : Noté (0.5 point).
• Projections : Notées (0.5 à 1 point par axe).
• Calcul de l'accélération / Équations horaires : Noté (1 à 2 points).
• Application du TEC : Noté (1.5 à 2 points).
• Unités et chiffres significatifs : Toujours exigés. Une absence d'unité ou une valeur avec trop ou pas assez de chiffres significatifs peut coûter des points.
• Démarche claire et justifiée : Chaque étape doit être explicitée. Ne saute pas d'étapes de calcul.

La clé de la réussite est la rigueur dans l'application de la méthode. Entraîne-toi sur des exercices variés pour maîtriser chaque type de mouvement et l'utilisation du théorème de l'énergie cinétique.