Les ondes

Le chapitre sur les ondes représente environ 11% de la note finale à l'examen national. Il est crucial de maîtriser les définitions, les relations fondamentales et les applications pour bien réussir cette partie.

L'intuition

Imagine que tu es au bord de la mer, à Mohammedia par exemple, et que tu observes les vagues. L'eau monte et descend, mais elle ne se déplace pas de la haute mer jusqu'à la plage avec la vague. C'est la perturbation (la forme de la vague) qui avance, pas la matière (l'eau). Si tu jettes une bouteille à la mer, elle ne sera pas portée par la vague jusqu'au rivage, elle oscillera sur place. C'est ça, une onde : une perturbation qui se propage sans transporter de matière, mais qui transporte de l'énergie.

Maintenant, pense à la lumière du soleil qui éclaire ta chambre. Elle a traversé le vide de l'espace avant d'arriver sur Terre. Elle n'a pas eu besoin d'air ou d'un autre support pour voyager. C'est une onde d'un autre type. Le son, par contre, si tu parles, a besoin de l'air pour que tes amis t'entendent. Sans air, pas de son. Ces deux exemples te montrent qu'il existe différents types d'ondes avec des propriétés distinctes.

Le cours

I. Généralités sur les ondes

Une onde est la propagation d'une perturbation dans un milieu, sans transport de matière mais avec transport d'énergie.

A. Types d'ondes

1. Ondes mécaniques

   • Elles nécessitent un milieu matériel (solide, liquide, gaz) pour se propager.
   • Exemples : ondes à la surface de l'eau, ondes sonores, ondes le long d'une corde.
   • Elles peuvent être :
     • Transversales : la direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ex: onde sur une corde, onde à la surface de l'eau).
     • Longitudinales : la direction de la perturbation est parallèle à la direction de propagation de l'onde (ex: onde sonore).

2. Ondes électromagnétiques (ou lumineuses)

   • Elles ne nécessitent pas de milieu matériel pour se propager. Elles peuvent se propager dans le vide.
   • Exemples : lumière visible, ondes radio, micro-ondes, rayons X, rayons gamma.
   • Elles sont toujours transversales.

B. Célérité de propagation ($v$)

La célérité (ou vitesse de propagation) d'une onde est la vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu. Elle dépend des propriétés du milieu.

$v = \frac{d}{\Delta t}$

où $d$ est la distance parcourue par l'onde et $\Delta t$ est le temps mis pour parcourir cette distance. L'unité de la célérité est le mètre par seconde (m/s).

II. Ondes mécaniques progressives périodiques

Une onde est dite périodique si la perturbation se reproduit identique à elle-même à intervalles de temps réguliers.

A. Période ($T$) et Fréquence ($f$ ou $\nu$)

• La période temporelle $T$ est la plus petite durée au bout de laquelle un point du milieu de propagation retrouve le même état vibratoire. Elle s'exprime en secondes (s).
• La fréquence $f$ (ou $\nu$) est le nombre de périodes par seconde. Elle s'exprime en Hertz (Hz).

$f = \frac{1}{T} \quad \text{ou} \quad \nu = \frac{1}{T}$

B. Longueur d'onde ($\lambda$)

La longueur d'onde $\lambda$ est la plus petite distance séparant deux points du milieu qui vibrent en phase à un instant donné. C'est aussi la distance parcourue par l'onde pendant une période $T$. Elle s'exprime en mètres (m).

Relation fondamentale :

$\lambda = v \cdot T$

Puisque $T = \frac{1}{f}$, on a aussi :

$\lambda = \frac{v}{f} \quad \text{ou} \quad \lambda = \frac{v}{\nu}$

C. Déphasage

Deux points $M_1$ et $M_2$ du milieu de propagation, distants de $d$, vibrent :

• En phase si $d = k \cdot \lambda$, avec $k$ un entier naturel ($k \in \mathbb{N}$).
• En opposition de phase si $d = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda$, avec $k \in \mathbb{N}$.

D. Phénomène de diffraction

La diffraction est le phénomène par lequel une onde contourne un obstacle ou une ouverture de petite dimension (comparable à la longueur d'onde). Elle se manifeste par une modification de la direction de propagation de l'onde et une figure caractéristique.

Pour une onde lumineuse traversant une fente de largeur $a$ : La figure de diffraction est observée sur un écran situé à une distance $D$ de la fente. On observe une tache centrale lumineuse, encadrée de taches secondaires moins intenses.

L'écart angulaire $\theta$ (demi-largeur angulaire de la tache centrale) est donné par :

$\theta = \frac{\lambda}{a}$

où $\theta$ est en radians (rad), $\lambda$ et $a$ sont en mètres (m).

Pour de petits angles (ce qui est généralement le cas en optique), on peut approximer $\tan(\theta) \approx \theta$. La largeur de la tache centrale $L$ est donnée par :

$L = 2D \cdot \tan(\theta) \approx 2D \cdot \theta$

Donc, $L \approx 2D \frac{\lambda}{a}$.

III. Ondes lumineuses

La lumière est une onde électromagnétique. Sa célérité dans le vide est $c = 3,00 \times 10^8$ m/s.

A. Indice de réfraction ($n$)

L'indice de réfraction $n$ d'un milieu transparent est une grandeur sans unité qui caractérise la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu.

$n = \frac{c}{v}$

où $v$ est la célérité de la lumière dans le milieu considéré. Pour le vide, $n=1$. Pour l'air, $n \approx 1$. Pour l'eau, $n \approx 1,33$. Pour le verre, $n \approx 1,5$.

B. Changement de milieu

Lorsqu'une onde lumineuse passe d'un milieu à un autre :

• Sa fréquence $\nu$ (ou $f$) ne change jamais.
• Sa célérité $v$ change.
• Sa longueur d'onde $\lambda$ change.

On a $\lambda = \frac{v}{\nu}$. Donc, si $v$ change, $\lambda$ change. Puisque $v = \frac{c}{n}$, on peut écrire :

$\lambda = \frac{c}{n \cdot \nu}$

La longueur d'onde dans un milieu d'indice $n$ est $\lambda_n = \frac{\lambda_{vide}}{n}$, où $\lambda_{vide}$ est la longueur d'onde dans le vide.

C. Réfraction de la lumière (Loi de Snell-Descartes)

La réfraction est le changement de direction de propagation d'une onde lumineuse lorsqu'elle traverse la surface de séparation entre deux milieux transparents différents.

La loi de Snell-Descartes établit la relation entre les angles d'incidence et de réfraction, et les indices de réfraction des milieux :

$n_1 \cdot \sin(i_1) = n_2 \cdot \sin(i_2)$

où $n_1$ et $n_2$ sont les indices de réfraction des milieux 1 et 2, et $i_1$ et $i_2$ sont les angles d'incidence et de réfraction, mesurés par rapport à la normale à la surface de séparation.

IV. Exploitation d'un oscillogramme (double-période)

Un oscillogramme est la représentation graphique d'un signal en fonction du temps, obtenue avec un oscilloscope. Pour une onde périodique, il permet de déterminer sa période temporelle $T$.

Sur un oscillogramme, l'axe horizontal représente le temps. La sensibilité horizontale (ou balayage) $S_h$ est exprimée en ms/div (millisecondes par division). La période $T$ est la durée d'un motif élémentaire. Si un motif élémentaire s'étend sur $X$ divisions, alors :

$T = X \cdot S_h$

Il est souvent plus précis de mesurer la durée de plusieurs périodes (par exemple, 2T, 5T) puis de diviser par le nombre de périodes pour obtenir $T$.

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale :

Une lumière monochromatique de fréquence $\nu = 5.0 \times 10^{14}$ Hz passe de l'air ($n_1 = 1.00$) dans un verre d'indice $n_2 = 1.50$. Calculer sa longueur d'onde dans l'air puis dans le verre. Donnée : $c = 3.0 \times 10^{8}$ m/s.

Correction pas à pas :

1. Identifier les données :

   • Fréquence $\nu = 5.0 \times 10^{14}$ Hz.
   • Indice de l'air $n_1 = 1.00$.
   • Indice du verre $n_2 = 1.50$.
   • Célérité de la lumière dans le vide $c = 3.0 \times 10^{8}$ m/s.

2. Calculer la longueur d'onde dans l'air ($\lambda_1$) :

   • On sait que la célérité de la lumière dans l'air est approximativement égale à celle dans le vide, donc $v_1 \approx c$.
   • La relation fondamentale est $\lambda = v / \nu$.
   • Dans l'air : $\lambda_1 = \frac{c}{\nu}$
   • Application numérique : $\lambda_1 = \frac{3.0 \times 10^{8}}{5.0 \times 10^{14}} = 0.60 \times 10^{-6}$ m
   • Convertir en nanomètres (nm) si demandé ou pour une meilleure lisibilité : $\lambda_1 = 600 \times 10^{-9}$ m $= 600$ nm.

3. Calculer la longueur d'onde dans le verre ($\lambda_2$) :

   • La fréquence $\nu$ ne change pas lors du passage d'un milieu à un autre.
   • La célérité de la lumière dans le verre est $v_2 = \frac{c}{n_2}$.
   • Donc, la longueur d'onde dans le verre est $\lambda_2 = \frac{v_2}{\nu} = \frac{c}{n_2 \cdot \nu}$.
   • On peut aussi utiliser la relation $\lambda_n = \frac{\lambda_{vide}}{n}$. Ici, $\lambda_{vide}$ est $\lambda_1$ (longueur d'onde dans l'air, assimilé au vide).
   • Application numérique : $\lambda_2 = \frac{600 \text{ nm}}{1.50} = 400$ nm.
   • Ou avec la formule complète : $\lambda_2 = \frac{3.0 \times 10^{8}}{1.50 \times 5.0 \times 10^{14}} = \frac{3.0 \times 10^{8}}{7.5 \times 10^{14}} = 0.40 \times 10^{-6}$ m $= 400$ nm.

Réponses : La longueur d'onde de la lumière dans l'air est $\lambda_1 = 600$ nm. La longueur d'onde de la lumière dans le verre est $\lambda_2 = 400$ nm.

La méthode

Pour réussir les exercices sur les ondes, suis ces étapes systématiquement :

1. Lis attentivement l'énoncé et identifie le type d'onde : Est-ce une onde mécanique (son, eau, corde) ou une onde lumineuse ? Cela détermine les propriétés à utiliser (milieu de propagation, $c$ ou $v$).
2. Liste les grandeurs connues et inconnues : Note toutes les valeurs données avec leurs unités (fréquence, longueur d'onde, célérité, indice, largeur de fente, distance à l'écran, etc.).
3. Convertis les unités si nécessaire : Assure-toi que toutes les grandeurs sont dans le Système International (m, s, Hz, rad). Les nm, cm, mm doivent être convertis en mètres.
4. Choisis la bonne formule :
   • Pour la relation fondamentale : $\lambda = v \cdot T$ ou $\lambda = v / \nu$.
   • Pour la diffraction : $\theta = \lambda / a$ et $L = 2D \theta$.
   • Pour la réfraction : $n_1 \cdot \sin(i_1) = n_2 \cdot \sin(i_2)$ et $n = c/v$.
   • Pour l'oscillogramme : $T = X \cdot S_h$.
5. Effectue l'application numérique : Remplace les symboles par les valeurs numériques.
6. N'oublie pas l'unité du résultat : Chaque résultat doit être accompagné de son unité correcte.
7. Vérifie la cohérence du résultat : Un angle de diffraction de 90° est clairement faux. Une longueur d'onde de plusieurs kilomètres pour la lumière est aussi absurde.

Pièges classiques

• Confondre célérité et fréquence : La célérité ($v$) est une vitesse (m/s), la fréquence ($\nu$ ou $f$) est un nombre d'oscillations par seconde (Hz). Elles sont liées par $\lambda = v/\nu$, mais ce sont des grandeurs différentes.
• Oublier de convertir les unités : Les longueurs d'onde sont souvent données en nm, les largeurs de fente en mm, les distances en cm. Il faut tout convertir en mètres pour les calculs. Un $\theta = \lambda/a$ avec $\lambda$ en nm et $a$ en mm donnera un résultat faux.
• Ne pas savoir ce qui change lors d'un changement de milieu : Pour la lumière, la fréquence ne change jamais. La célérité et la longueur d'onde changent.
• Utiliser des degrés au lieu de radians pour $\theta$ : Dans la formule $\theta = \lambda/a$, $\theta$ est en radians. Si tu utilises ensuite $L = 2D \tan(\theta)$, la calculatrice doit être en mode radians. Si tu utilises l'approximation $L = 2D \theta$, $\theta$ doit impérativement être en radians.
• Erreur dans la lecture d'un oscillogramme : Ne pas confondre la période $T$ avec la durée de plusieurs périodes, ou ne pas prendre en compte la sensibilité horizontale $S_h$. Mesure toujours sur plusieurs périodes pour plus de précision.
• Oublier les chiffres significatifs : Respecte le nombre de chiffres significatifs des données de l'énoncé dans ton résultat final.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des ondes est évalué à travers des exercices qui testent ta capacité à appliquer les relations fondamentales et à interpréter des phénomènes. Voici les formats de questions les plus courants, avec les attentes du correcteur :

1. Calcul de célérité, longueur d'onde ou fréquence :

   • Exemple : "Une onde se propage à la surface de l'eau. Un vibreur impose une fréquence N = 25 Hz et on mesure une longueur d'onde $\lambda = 1.2$ cm. Calculer la célérité v de l'onde."
   • Attendu : Formule ($\lambda = v/N$), conversion d'unités ($\lambda = 0.012$ m), application numérique ($v = 0.012 \times 25 = 0.30$ m/s), unité (m/s).

2. Analyse de déphasage :

   • Exemple : "Indiquer si deux points distants de d = 3.0 cm vibrent en phase ou en opposition de phase." (Suite de l'exemple précédent)
   • Attendu : Calcul du rapport $d/\lambda$ ($3.0 \text{ cm} / 1.2 \text{ cm} = 2.5$). Conclusion : $d = 2.5 \lambda = (2 + 0.5)\lambda$, donc les points vibrent en opposition de phase.

3. Application de la diffraction :

   • Exemple : "Un faisceau laser de longueur d'onde $\lambda = 633$ nm éclaire une fente de largeur $a = 0.10$ mm. La figure de diffraction est observée sur un écran à $D = 2.0$ m. Calculer la demi-largeur angulaire $\theta$ puis la largeur $L$ de la tache centrale."
   • Attendu : Conversions ($\lambda = 633 \times 10^{-9}$ m, $a = 0.10 \times 10^{-3}$ m). Calcul de $\theta = \lambda/a = (633 \times 10^{-9}) / (0.10 \times 10^{-3}) = 6.33 \times 10^{-3}$ rad. Calcul de $L = 2D\theta = 2 \times 2.0 \times 6.33 \times 10^{-3} = 2.53 \times 10^{-2}$ m $= 2.53$ cm. Unités (rad, m ou cm).

4. Changement de milieu et réfraction :

   • Exemple : "Une lumière monochromatique de fréquence $\nu = 5.0 \times 10^{14}$ Hz passe de l'air ($n_1 = 1.00$) dans un verre d'indice $n_2 = 1.50$. Calculer sa longueur d'onde dans l'air puis dans le verre. Donnée : $c = 3.0 \times 10^{8}$ m/s."
   • Attendu : Reconnaître que $\nu$ est constante. Calcul de $\lambda_{air} = c/\nu$. Calcul de $v_{verre} = c/n_2$ puis $\lambda_{verre} = v_{verre}/\nu$ (ou $\lambda_{verre} = \lambda_{air}/n_2$). Unités (m ou nm).
   • Exemple : "Calculer l'angle de réfraction $i_2$ si l'angle d'incidence $i_1 = 30^\circ$."
   • Attendu : Application de $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$. Calcul de $\sin(i_2) = (n_1 \sin(i_1))/n_2$. Calcul de $i_2 = \arcsin(...)$. Unité (degrés ou radians).

5. Lecture d'oscillogramme :

   • Exemple : "À partir de l'oscillogramme ci-dessous, déterminer la période $T$ du signal si la sensibilité horizontale est de $2.0$ ms/div."
   • Attendu : Mesure du nombre de divisions pour une période (ou plusieurs). Calcul $T = X \cdot S_h$. Conversion en secondes.

Le barème est généralement attribué pour la formule correcte, l'application numérique avec les bonnes unités et le résultat final. Sois rigoureux !