Suites numériques

L'intuition

Imagine que tu as un compte d'épargne. Chaque mois, tu y déposes une certaine somme ou tu retires de l'argent, ou bien la banque te verse des intérêts. La somme d'argent que tu as sur ce compte à la fin de chaque mois, c'est une suite numérique. Le premier mois, tu as $u_0$ dirhams, le deuxième mois $u_1$ dirhams, et ainsi de suite. Chaque $u_n$ représente l'état de ton compte au $n$-ième mois.

On va étudier comment ces sommes évoluent : est-ce que ton argent augmente toujours (suite croissante) ? Diminue toujours (suite décroissante) ? Est-ce qu'il y a une limite à ce que tu peux avoir sur ce compte (suite bornée) ? Est-ce que tu peux prévoir combien tu auras dans 10 ans ? C'est ça, l'idée derrière les suites numériques.

Le cours

Définition d'une suite numérique

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ de la forme $\{n \in \mathbb{N} \mid n \geq n_0\}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)_{n \geq n_0}$. $u_n$ est appelé le terme général de la suite.

Une suite peut être définie de deux manières principales :

1. Par une formule explicite : $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction. Par exemple, $u_n = 2n+1$.
2. Par une relation de récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$, avec le premier terme $u_0$ (ou $u_{n_0}$) donné. Par exemple, $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

Sens de variation d'une suite (Monotonie)

Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$, on compare $u_{n+1}$ et $u_n$.

• Suite croissante : $(u_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$.
• Suite strictement croissante : $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$.
• Suite décroissante : $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$.
• Suite strictement décroissante : $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$.
• Suite monotone : Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Pour étudier la monotonie, on peut :

1. Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe.
2. Si les termes sont strictement positifs, calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et le comparer à 1.
3. Si $u_n = f(n)$, étudier les variations de la fonction $f$.

Suites bornées

• Suite majorée : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$.
• Suite minorée : Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un nombre réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq m$.
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Pour montrer qu'une suite est bornée, on utilise souvent la démonstration par récurrence.

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1} = u_n + r$

Propriétés :

• Terme général : Si le premier terme est $u_p$, alors $u_n = u_p + (n-p)r$. Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 + nr$.
• Somme des premiers termes : La somme des $N$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : $S_N = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = (n-p+1) \times \frac{u_p + u_n}{2}$. Si la somme commence à $u_0$ jusqu'à $u_n$, alors $S_{n+1} = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$.

Quand $r > 0$, la suite est croissante. Quand $r < 0$, la suite est décroissante. Quand $r = 0$, la suite est constante.

Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1} = q \times u_n$

Propriétés :

• Terme général : Si le premier terme est $u_p$, alors $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 \times q^n$.
• Somme des premiers termes : La somme des $N$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par : $S_N = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = u_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$). Si la somme commence à $u_0$ jusqu'à $u_n$, alors $S_{n+1} = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$). Si $q=1$, alors $S_N = (n-p+1) \times u_p$.

Si $q > 1$ et $u_0 > 0$, la suite diverge vers $+\infty$. Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$, la suite converge vers 0. Si $q = 1$, la suite est constante. Si $q = -1$, la suite alterne entre $u_0$ et $-u_0$. Si $q < -1$, la suite diverge et alterne de signe.

Limite d'une suite

La limite d'une suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est notée $\lim_{n \to +\infty} u_n$.

• Suite convergente : Une suite $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie $L \in \mathbb{R}$.
• Suite divergente : Une suite $(u_n)$ est divergente si elle n'admet pas de limite finie (la limite est $+\infty$, $-\infty$, ou la suite n'admet pas de limite).

Théorèmes de convergence importants :

1. Théorème de la convergence monotone :
   • Toute suite croissante et majorée converge.
   • Toute suite décroissante et minorée converge.
   • (Attention : une suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$. Une suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.)
2. Théorème des gendarmes : Si pour tout $n$ assez grand, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
3. Théorème de comparaison :
   • Si pour tout $n$ assez grand, $u_n \geq v_n$ et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
   • Si pour tout $n$ assez grand, $u_n \leq v_n$ et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Limites des suites de référence :

• $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ pour $k > 0$.
• $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ pour $k > 0$.
• $\lim_{n \to +\infty} q^n$ :
  • Si $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
  • Si $q = 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
  • Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
  • Si $q \leq -1$, la suite diverge (n'a pas de limite).

La courbe $f(x) = (0.5)^x$ converge vers 0. La courbe $h(x) = (-0.5)^x$ converge vers 0 en alternant autour de 0. La courbe $i(x) = (-1.5)^x$ diverge en alternant.

Convergence d'une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$

Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ est convergente vers une limite $L$, et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors $L$ est solution de l'équation $L = f(L)$.

Méthode pour étudier la convergence d'une suite récurrente :

1. Montrer que la suite est bornée (souvent par récurrence).
2. Montrer que la suite est monotone (en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$).
3. Conclure à la convergence grâce au théorème de la convergence monotone.
4. Calculer la limite en résolvant l'équation $L = f(L)$.

Exemple résolu

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \leq u_n \leq 2$.

   • Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1$. On a bien $1 \leq 1 \leq 2$. La propriété est vraie pour $n=0$.
   • Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $1 \leq u_k \leq 2$. Montrons que $1 \leq u_{k+1} \leq 2$. On a $1 \leq u_k \leq 2$. Ajoutons 2 à chaque membre : $1+2 \leq u_k+2 \leq 2+2$, soit $3 \leq u_k+2 \leq 4$. Appliquons la fonction racine carrée (qui est croissante sur $\mathbb{R}^+$) : $\sqrt{3} \leq \sqrt{u_k+2} \leq \sqrt{4}$. On sait que $\sqrt{3} \approx 1.732$, donc $1 \leq \sqrt{3}$. Ainsi, $1 \leq \sqrt{u_k+2} \leq 2$. Donc $1 \leq u_{k+1} \leq 2$.
   • Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \leq u_n \leq 2$.
   • La suite $(u_n)$ est donc bornée (minorée par 1 et majorée par 2).

2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$. On va étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$. Pour simplifier l'expression, on peut multiplier par l'expression conjuguée : $u_{n+1} - u_n = \frac{(\sqrt{u_n + 2} - u_n)(\sqrt{u_n + 2} + u_n)}{\sqrt{u_n + 2} + u_n}$ $u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n + 2) - u_n^2}{\sqrt{u_n + 2} + u_n} = \frac{-u_n^2 + u_n + 2}{\sqrt{u_n + 2} + u_n}$. Le dénominateur $\sqrt{u_n + 2} + u_n$ est toujours positif car $u_n \geq 1$. Il faut étudier le signe du numérateur $-u_n^2 + u_n + 2$. Considérons le polynôme $P(x) = -x^2 + x + 2$. Cherchons ses racines : $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(2) = 1 + 8 = 9$. $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-1 - 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$. $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-1 + 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$. Le polynôme $-x^2 + x + 2$ est positif entre ses racines $-1$ et $2$. Puisque $1 \leq u_n \leq 2$, on a $-1 \leq u_n \leq 2$. Donc, pour $u_n \in [1, 2]$, le numérateur $-u_n^2 + u_n + 2$ est positif ou nul. Plus précisément, si $u_n = 2$, alors $-2^2 + 2 + 2 = -4 + 4 = 0$. Si $u_n \in [1, 2[$, alors $-u_n^2 + u_n + 2 > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2 (d'après la question 1). D'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. Soit $L$ sa limite. Puisque $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ et que la fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ est continue sur $[1, 2]$ (intervalle où se trouvent les termes de la suite), la limite $L$ doit vérifier $L = \sqrt{L+2}$. $L^2 = L+2$ (on sait que $L \geq 1$ car la suite est croissante et $u_0=1$, donc $L$ est positif). $L^2 - L - 2 = 0$. Cherchons les racines de ce polynôme : $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. $L_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$. $L_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$. Puisque $u_n \geq 1$ pour tout $n$, la limite $L$ doit être supérieure ou égale à 1. Donc $L = 2$. La suite $(u_n)$ converge vers 2.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices sur les suites numériques, surtout celles définies par récurrence.

Étudier la monotonie d'une suite

1. 1

   1. Calculer $u_{n+1} - u_n$

   $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$.

2. 2

   2. Étudier le signe de la différence

3. 3

   3. Conclure sur la monotonie

Étape suivante

Si les termes sont positifs, tu peux aussi utiliser le rapport :

1. 1

   1. Calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

   Pour $u_n = 2^n$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$.

2. 2

   2. Comparer le rapport à 1

3. 3

   3. Conclure sur la monotonie

Étape suivante

Montrer qu'une suite est bornée (souvent par récurrence)

1. 1

   1. Initialisation

   Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme ($n=0$ ou $n=n_0$).

2. 2

   2. Hérédité (Hypothèse de récurrence)

3. 3

   3. Hérédité (Démonstration)

4. 4

   4. Conclusion

Étape suivante

Déterminer la limite d'une suite convergente

1. 1

   1. Vérifier la convergence

   Montrer que la suite est monotone et bornée (théorème de convergence monotone) ou utiliser les théorèmes de comparaison/gendarmes.

2. 2

   2. Poser l'équation de la limite

3. 3

   3. Résoudre l'équation

4. 4

   4. Choisir la bonne limite

Étape suivante

Pièges classiques

• Confondre $u_n$ et $n$ : $u_n$ est la valeur du terme à l'indice $n$, $n$ est l'indice lui-même.

  Vérifie que tu suis

  Soit $u_n = 2n+1$. Quel est le 3ème terme de la suite (en commençant par $u_0$) ?

  $u_2 = 5$$u_3 = 7$
• Oublier les conditions pour les suites géométriques : La formule de la somme n'est valable que si $q \neq 1$. Si $q=1$, la somme est simplement $(n-p+1) \times u_p$.
• Erreur dans le nombre de termes d'une somme : Pour une somme de $u_p$ à $u_n$, il y a $n-p+1$ termes.

  Vérifie que tu suis

  Combien de termes y a-t-il dans la somme $u_5 + u_6 + \dots + u_{15}$ ?

  11 termes10 termes
• Oublier de vérifier la continuité de $f$ pour trouver la limite : Pour que $L = f(L)$ soit valable, la fonction $f$ doit être continue en $L$. Dans la plupart des cas au BAC, $f$ est continue sur l'intervalle où se trouve la suite.
• Ne pas justifier le choix de la limite : Si l'équation $L=f(L)$ donne plusieurs solutions, tu dois justifier laquelle est la bonne en utilisant les propriétés de la suite (monotonie, bornes, premier terme). Par exemple, si la suite est croissante et $u_0=1$, la limite ne peut pas être $-1$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des suites numériques est fondamental et apparaît presque systématiquement dans la partie "Analyse" de l'examen national. Il représente environ 10% de la note totale de l'analyse, soit environ 5% de la note finale.

Les questions sont souvent structurées en plusieurs parties, comme dans l'exemple résolu :

1. Calcul de termes spécifiques : $u_1, u_2$, etc. (Application directe des connaissances).
   • Exemple : "La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$. Calculer $u_{10}$ et la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$."
   • Barème typique : 0.5 point pour $u_{10}$, 0.75 point pour la somme.
2. Démonstration par récurrence : Montrer qu'une suite est bornée. (Mobilisation en situation familière).
   • Exemple : "Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Montrer par récurrence que pour tout $n$, $1 \leq u_n \leq 2$."
   • Barème typique : 1.5 à 2 points (0.5 pour l'initialisation, 0.75 pour l'hérédité, 0.25 pour la conclusion).
3. Étude de la monotonie : En général, il faut étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. (Mobilisation en situation familière).
   • Exemple : "Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$."
   • Barème typique : 1 point.
4. Convergence et calcul de la limite : Utiliser le théorème de convergence monotone, puis résoudre $L=f(L)$. (Mobilisation en situation familière / Synthèse).
   • Exemple : "En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite."
   • Barème typique : 1.5 points (0.5 pour la convergence, 1 pour la limite).
5. Suites auxiliaires : On te donne une suite $(v_n)$ liée à $(u_n)$ et on te demande de montrer qu'elle est arithmétique ou géométrique, puis d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et de trouver sa limite. (Synthèse).
   • Exemple : "Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 1$. On pose $v_n = u_n - 2$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et donner sa limite."
   • Barème typique : 2 à 3 points (1 pour montrer géométrique, 1 pour $u_n$, 0.5 pour la limite).

La rédaction doit être rigoureuse, chaque étape justifiée. Ne saute pas d'étapes, même si elles te semblent évidentes. Le correcteur attribue des points pour chaque argument correct.