Continuité et limites

L'intuition

Imagine que tu es en train de tracer une route sur une carte. Si tu peux dessiner cette route d'un bout à l'autre sans jamais lever ton stylo, sans qu'il y ait de trous, de ponts effondrés ou de passages infranchissables, alors cette route est "continue". Une fonction continue, c'est la même chose : sa courbe représentative peut être tracée d'un seul trait, sans interruption.

Quand on parle de "limite", c'est comme si tu t'approchais d'une ville. Même si tu n'y entres pas encore, tu sais exactement où elle se trouve, où tu irais si tu continuais. En maths, la limite d'une fonction, c'est la valeur vers laquelle la fonction "tend" quand la variable $x$ s'approche d'un certain point, ou quand $x$ devient très grand (vers l'infini) ou très petit (vers moins l'infini).

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), c'est une conséquence directe de la continuité. Si tu pars d'une altitude $A$ sur une montagne et que tu arrives à une altitude $B$ en suivant un chemin continu (sans sauts ni précipices), alors tu es obligé de passer par toutes les altitudes intermédiaires entre $A$ et $B$. C'est une évidence dans la vie de tous les jours, et c'est ce que le TVI formalise pour les fonctions.

Le cours

I. Continuité d'une fonction en un point

1. Définition

Une fonction $f$ est dite continue en un point $x_0$ de son domaine de définition si et seulement si :

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Cette définition implique trois conditions essentielles :

1. $f(x_0)$ doit être défini (c'est-à-dire $x_0$ appartient au domaine de définition de $f$).
2. La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$ doit exister et être finie.
3. Cette limite doit être égale à la valeur de la fonction en $x_0$.

Dans ce modèle, la fonction est $f(x) = x^2$ partout, sauf en $x=a$ où elle prend la valeur $b$. Pour que $f$ soit continue en $a$, il faut que $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$. Ici, $\lim_{x \to a} x^2 = a^2$. Donc, pour la continuité, il faut que $b = a^2$.

2. Continuité à droite et à gauche

Une fonction $f$ est dite continue à droite en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$. Une fonction $f$ est dite continue à gauche en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$.

Propriété : Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite en $x_0$ et continue à gauche en $x_0$. Cela se traduit par :

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

II. Continuité d'une fonction sur un intervalle

1. Définition

• Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle ouvert $(a,b)$ si elle est continue en tout point $x_0 \in (a,b)$.
• Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur l'intervalle ouvert $(a,b)$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

2. Opérations sur les fonctions continues

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$, alors :

• Les fonctions $f+g$, $f-g$, $f \times g$ sont continues sur $I$.
• La fonction $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ pour tout $x \in I$ tel que $g(x) \neq 0$.
• La fonction $|f|$ est continue sur $I$.
• La fonction $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ pour tout $x \in I$ tel que $f(x) \ge 0$.
• Si $g$ est continue sur $I$ et $f$ est continue sur l'image $g(I)$, alors la fonction composée $f \circ g$ est continue sur $I$.

3. Fonctions usuelles continues

Ces fonctions sont des briques de base. Retiens bien leurs domaines de continuité :

• Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition (c'est-à-dire là où le dénominateur ne s'annule pas).
• Les fonctions $x \mapsto \sin(x)$ et $x \mapsto \cos(x)$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
• La fonction $x \mapsto \tan(x)$ est continue sur son domaine de définition, soit $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
• La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
• Les fonctions $x \mapsto \exp(x)$ et $x \mapsto \ln(x)$ (sur $]0, +\infty[$) sont continues.

III. Limites

1. Rappels sur les limites et techniques de calcul

Tu as déjà manipulé les limites en première année. C'est une compétence fondamentale.

Limites de fonctions polynomiales et rationnelles à l'infini :

• Pour une fonction polynomiale $P(x)$ en $\pm \infty$, la limite est celle de son terme de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.
• Pour une fonction rationnelle $\frac{P(x)}{Q(x)}$ en $\pm \infty$, la limite est celle du rapport des termes de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 - x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} 2x = -\infty$.

Formes indéterminées (FI) : Il y a quatre formes indéterminées principales. Quand tu tombes dessus, il faut utiliser une technique spécifique pour "lever" l'indétermination.

$\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \infty - \infty, \quad 0 \times \infty$

Les techniques courantes pour lever ces formes sont :

• Factorisation : Utile pour les polynômes ou expressions avec des puissances, souvent pour les formes $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
• Multiplication par l'expression conjuguée : Indispensable quand tu as des racines carrées, surtout pour les formes $\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$.
• Changement de variable : Parfois, simplifie l'expression et rend la limite plus évidente.
• Théorèmes de comparaison ou d'encadrement (théorème des gendarmes) : Pour les fonctions trigonométriques ou plus complexes, notamment quand tu as des termes bornés.
• Utilisation des limites usuelles : Par exemple, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

2. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

C'est un théorème puissant pour prouver l'existence de solutions à des équations.

Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire (cas particulier important) : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $c \in [a,b]$.

Ce modèle te montre une fonction cubique. Si tu observes les valeurs de $f(x)$ aux bornes de l'intervalle (par exemple $f(-2)$ et $f(2)$), et qu'elles sont de signes opposés, alors le TVI te garantit qu'il existe au moins une racine (une solution à $f(x)=0$) sur cet intervalle.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Étudier la continuité en $0$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \frac{1}{2}$."

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   Étape 1: Vérifier la définition de $f(0)$.

   On nous donne $f(0) = \frac{1}{2}$. La fonction est bien définie en $x_0=0$.

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   Étape 2: Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \to 0$.

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   Étape 3: Identifier la forme indéterminée.

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   Étape 4: Lever l'indétermination (méthode de l'expression conjuguée).

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   Étape 5: Effectuer les calculs.

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   Étape 6: Simplifier l'expression.

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   Étape 7: Calculer la limite de l'expression simplifiée.

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   Étape 8: Comparer la limite avec $f(0)$.

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   Étape 9: Conclure sur la continuité.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que tu dois maîtriser pour ce chapitre :

1. Pour étudier la continuité d'une fonction $f$ en un point $x_0$ :

   • Vérifie si $f(x_0)$ est défini. Si non, la fonction n'est pas continue en $x_0$.
   • Calcule $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Si cette limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas continue en $x_0$.
   • Compare la limite avec $f(x_0)$. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, alors $f$ est continue en $x_0$. Sinon, elle ne l'est pas.
   • Cas particulier : Si $f$ est définie par morceaux, calcule les limites à droite et à gauche en $x_0$ et compare-les avec $f(x_0)$.

2. Pour étudier la continuité d'une fonction sur un intervalle :

   • Identifie le type de fonction. Est-ce une fonction usuelle (polynôme, rationnelle, trigonométrique, racine, exponentielle, logarithme) ? Si oui, elle est continue sur son domaine de définition.
   • Utilise les opérations sur les fonctions continues. Si $f$ et $g$ sont continues, alors $f+g$, $f-g$, $f \times g$, $f/g$ (si dénominateur non nul), $|f|$, $\sqrt{f}$ (si $f \ge 0$) et $f \circ g$ sont continues sur les intervalles appropriés.
   • Examine les points "problématiques" (valeurs qui annulent un dénominateur, points de raccordement pour les fonctions définies par morceaux, etc.) en utilisant la méthode de continuité en un point.

3. Pour calculer une limite :

   • Remplace $x$ par la valeur vers laquelle il tend. Si tu obtiens un résultat direct (un nombre, $\pm \infty$), c'est la limite.
   • Si tu obtiens une forme indéterminée, applique la technique appropriée :
     • $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ pour polynômes/rationnelles : factorise par le terme de plus haut degré ou utilise l'expression conjuguée si des racines sont présentes.
     • $\infty - \infty$ avec racines : multiplie par l'expression conjuguée.
     • $0 \times \infty$ : transforme l'expression pour la ramener à $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
   • Pense aux limites usuelles et aux théorèmes de comparaison/encadrement si nécessaire.

4. Pour appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

   • Vérifie que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a,b]$ donné. C'est la condition la plus importante.
   • Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
   • Vérifie que la valeur $k$ est bien comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
   • Conclus à l'existence d'au moins une solution $c \in [a,b]$ telle que $f(c)=k$.
   • Pour l'unicité : Ajoute la condition que $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$.

Pièges classiques

• Oublier de vérifier la continuité pour le TVI : C'est la condition la plus fréquente à oublier, et sans elle, le théorème n'est pas applicable. Un correcteur te retirera des points si tu ne la mentionnes pas.
• Confondre $\lim_{x \to x_0} f(x)$ et $f(x_0)$ : Pour la continuité, il faut que ces deux valeurs soient égales. Une fonction peut avoir une limite en $x_0$ sans être définie en $x_0$, ou être définie en $x_0$ mais avec une valeur différente de la limite.
• Erreurs de calcul avec les formes indéterminées :
  • Ne pas simplifier correctement après avoir multiplié par l'expression conjuguée.
  • Oublier de factoriser par le terme de plus haut degré pour les limites à l'infini.
  • Mal appliquer les règles de signe pour les limites infinies (ex: $\frac{1}{0^+}$ donne $+\infty$, $\frac{1}{0^-}$ donne $-\infty$).
• Ne pas justifier chaque étape : En maths, la rigueur est primordiale. Chaque affirmation (continuité d'une fonction usuelle, application d'un théorème, simplification) doit être justifiée.
• Oublier les limites latérales : Pour les fonctions définies par morceaux ou en présence de valeurs absolues, les limites à droite et à gauche sont souvent nécessaires.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre est un classique. Tu le retrouveras presque systématiquement dans la partie "Analyse" de l'examen national, qui représente environ 55% de la note.

• Questions directes sur la continuité en un point ou sur un intervalle :

  • "Étudier la continuité en $x_0$ de la fonction $f$ définie par..." (comme l'exemple résolu).
  • "Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est continue."
  • Ces questions testent l'application directe des définitions et des propriétés des fonctions usuelles. (Niveau : Application directe des connaissances, ~50%)

• Calcul de limites, souvent avec des formes indéterminées :

  • "Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2} + 3x} - x)$." (Vu en annale).
  • "Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$." (Utilisation de limites usuelles).
  • Ces questions sont là pour voir si tu maîtrises les techniques de levée d'indétermination. (Niveau : Mobilisation en situation familière, ~35%)

• Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

  • "Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[a,b]$."
  • "Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[a,b]$."
  • Il faudra bien vérifier les conditions d'application (continuité, et monotonie pour l'unicité). (Niveau : Mobilisation en situation familière, ~35%)

Barème et rédaction : Le barème est souvent détaillé par étape. Par exemple, pour l'étude de continuité en un point :

• 0.5 pt pour la valeur de $f(x_0)$.
• 1 pt pour le calcul de la limite (avec les étapes intermédiaires).
• 0.5 pt pour la comparaison et la conclusion.

Une rédaction rigoureuse est attendue. Justifie chaque étape : "La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale.", "Nous avons une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, nous allons multiplier par l'expression conjuguée.". Ne saute pas d'étapes de calcul, surtout pour les limites.