Fonctions logarithmes

L'intuition

Imagine que tu as une balance un peu spéciale. D'un côté, tu as un poids que tu veux mesurer, disons $X$. De l'autre côté, tu as des poids marqués "$e^1$", "$e^2$", "$e^3$", etc. La fonction $\ln(X)$ te dit quel est l'exposant $y$ tel que $e^y = X$. En gros, elle te donne la "puissance" qu'il faut donner à $e$ pour obtenir $X$.

Par exemple, si tu as un poids de $e$ (environ $2.718$), la balance te dira $1$, parce que $e^1 = e$. Si tu as un poids de $e^2$, elle te dira $2$. Si tu as un poids de $1$, elle te dira $0$, parce que $e^0 = 1$. La fonction $\ln(x)$ "déverrouille" l'exposant.

Observe la courbe : elle part de très bas à gauche et monte lentement. Elle ne traverse jamais l'axe vertical $x=0$.

La fonction logarithme népérien n'est définie que pour les nombres strictement positifs. Tu ne peux pas demander "quelle puissance de $e$ donne un nombre négatif ou zéro", ça n'a pas de sens dans ce contexte.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$. Elle est définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$.

Définition : Pour tout $x > 0$ et pour tout $y \in \mathbb{R}$, on a :

$y = \ln(x) \iff x = e^y$

Conséquences directes :

• $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.
• $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$.
• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.

II. Propriétés algébriques du logarithme népérien

Ces propriétés sont cruciales pour simplifier les expressions et résoudre les équations et inéquations. Elles découlent directement des propriétés des puissances.

Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

1. $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
2. $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
3. $\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$ (cas particulier de la propriété 2 avec $a=1$)
4. $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour tout $n \in \mathbb{Q}$ (et donc pour $n \in \mathbb{Z}$).
5. $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ (cas particulier de la propriété 4 avec $n=\frac{1}{2}$)

III. Étude de la fonction $\ln(x)$

1. Domaine de définition et continuité

La fonction $\ln(x)$ est définie et continue sur $]0, +\infty[$.

2. Dérivabilité

La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0, +\infty[$, et sa dérivée est :

$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

Démonstration (attendue à l'examen) :

1. 1

   Démontre que $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

2. 2

   1. Poser la relation réciproque

3. 3

   2. Dériver implicitement par rapport à $x$

4. 4

   3. Appliquer la règle de la chaîne

5. 5

   4. Exprimer $\frac{dy}{dx}$ en fonction de $y$

6. 6

   5. Substituer $e^y$ par $x$

Étape suivante

Dérivée d'une fonction composée : Si $u(x)$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

3. Limites aux bornes du domaine de définition

• $\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Observe la courbe : elle descend très vite vers $-\infty$ quand $x$ s'approche de $0$ par la droite, et elle monte lentement vers $+\infty$ quand $x$ devient très grand.

4. Tableau de variations

5. Limites usuelles (à connaître par cœur)

Ces limites sont très importantes pour lever les formes indéterminées.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissance comparée : $x$ l'emporte sur $\ln(x)$)
• $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln(x) = 0$ (croissance comparée : $x$ l'emporte sur $\ln(x)$)
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

IV. Résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques

La clé est de toujours commencer par déterminer le domaine de validité de l'équation ou de l'inéquation. Le logarithme n'est défini que pour des arguments strictement positifs.

Méthode générale :

1. Déterminer le domaine de définition de l'équation/inéquation (tous les arguments des $\ln$ doivent être $>0$).
2. Utiliser les propriétés algébriques du $\ln$ pour simplifier l'expression.
3. Appliquer la fonction exponentielle (qui est strictement croissante) pour "enlever" le $\ln$.
   • $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A>0, B>0$)
   • $\ln(A) > \ln(B) \iff A > B$ (avec $A>0, B>0$)
   • $\ln(A) = k \iff A = e^k$ (avec $A>0$)
   • $\ln(A) > k \iff A > e^k$ (avec $A>0$)
4. Résoudre l'équation/inéquation obtenue.
5. Vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine de définition initial.

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale :

Exercice : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln(3)$.

1. 1

   Résoudre $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln(3)$.

2. 2

   1. Déterminer le domaine de définition

3. 3

   2. Résoudre les inégalités

4. 4

   3. Appliquer les propriétés du $\ln$

5. 5

   4. Simplifier l'équation

6. 6

   5. Égaliser les arguments

7. 7

   6. Résoudre l'équation algébrique

8. 8

   7. Vérifier les solutions par rapport au domaine de définition

9. 9

   8. Conclure

Étape suivante

La méthode

Quand tu étudies une fonction $f(x)$ qui contient des $\ln(x)$, voici les étapes à suivre, celles que le correcteur attend.

1. Domaine de définition :
   • Toujours commencer par ça. L'argument du $\ln$ doit être strictement positif. Si tu as $\ln(u(x))$, il faut que $u(x) > 0$.
2. Limites aux bornes du domaine :
   • Utilise les limites usuelles et les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.
   • N'oublie pas les limites en $0^+$ et en $+\infty$ pour $\ln(x)$.
3. Dérivée :
   • Applique la formule $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
   • Fais attention aux signes de $u'(x)$ et $u(x)$ pour le signe de la dérivée.
4. Tableau de variations :
   • Dresse le tableau avec le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
   • N'oublie pas d'y faire figurer les limites calculées précédemment.
5. Points particuliers (si demandés) :
   • Intersections avec les axes, asymptotes, etc.
6. Tracé de la courbe (si demandé) :
   • Utilise toutes les informations précédentes.

Pièges classiques

• Oublier le domaine de définition : C'est l'erreur la plus fréquente et elle coûte cher. Une solution trouvée algébriquement mais qui n'est pas dans le domaine n'est pas une solution.
  • Exemple : Résoudre $\ln(x) = \ln(2x-1)$.
    • Domaine : $x>0$ et $2x-1>0 \implies x>1/2$. Donc $D_f = ]1/2, +\infty[$.
    • $x = 2x-1 \implies x=1$. La solution $x=1$ est bien dans $D_f$.
  • Exemple : Résoudre $\ln(x^2) = 0$.
    • Domaine : $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
    • $x^2 = e^0 = 1 \implies x = 1$ ou $x = -1$. Les deux solutions sont valides. Si tu avais oublié le domaine, tu aurais pu penser à tort que $\ln(x^2)$ n'est défini que pour $x>0$.
• Confondre les propriétés algébriques :
  • $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$
  • $\ln(a-b) \neq \ln(a) - \ln(b)$
  • $\frac{\ln(a)}{\ln(b)} \neq \ln\left(\frac{a}{b}\right)$
• Erreur dans les limites de croissance comparée :
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n>0$. C'est toujours la puissance de $x$ qui l'emporte sur $\ln(x)$ à l'infini.
  • $\lim_{x \to 0^{+}} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n>0$. C'est toujours la puissance de $x$ qui l'emporte sur $\ln(x)$ en $0^+$.
• Erreur de signe dans la dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Le signe de la dérivée dépend du signe de $u'(x)$ et de $u(x)$. Comme $u(x)$ doit être positif, le signe de la dérivée est celui de $u'(x)$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions logarithmes est un pilier de l'analyse et est systématiquement évalué. Attends-toi à des questions qui testent ta capacité à :

1. Appliquer les propriétés algébriques (environ 50% du barème) :

   • Simplifier des expressions contenant des $\ln$.
   • Résoudre des équations et inéquations logarithmiques. C'est un classique, comme l'exemple résolu plus haut.
   • Format de question réel : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln(3)$." (2 points)
   • Consignes de correction : Le domaine de définition est la première chose vérifiée. Une erreur ici entraîne souvent une pénalité importante. Chaque étape de simplification doit être justifiée par la propriété utilisée.

2. Calculer des limites (environ 35% du barème) :

   • Utiliser les limites usuelles et les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.
   • Format de question réel : "Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$ et $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln(x)$." (1 point par limite)
   • Consignes de correction : La reconnaissance de la forme indéterminée et l'application correcte de la limite usuelle sont attendues.

3. Étudier une fonction (environ 15% du barème) :

   • Déterminer le domaine de définition.
   • Calculer la dérivée et étudier son signe.
   • Dresser le tableau de variations.
   • Calculer les limites aux bornes.
   • Format de question réel : "Soit $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0,+\infty[$. Étudier les variations de $f$ et déterminer son minimum." (3-4 points)
   • Consignes de correction : Chaque étape (domaine, dérivée, signe de la dérivée, variations, limites, valeur du minimum) est évaluée séparément. La rigueur de la rédaction est primordiale.

Le barème est souvent détaillé par étape. Par exemple, pour une résolution d'équation, 0.5 point pour le domaine, 0.5 point pour la simplification, 0.5 point pour la résolution de l'équation algébrique, et 0.5 point pour la vérification des solutions. Justifie toujours tes affirmations.