Dénombrement et probabilités

L'intuition

Imagine que tu es au souk et que tu dois choisir des fruits. Si tu dois choisir 3 fruits différents parmi 10 pour faire une salade, l'ordre dans lequel tu les prends n'a pas d'importance. Que tu prennes une pomme, puis une banane, puis une orange, ou une orange, puis une banane, puis une pomme, c'est la même salade. C'est ça, une combinaison.

Maintenant, si tu dois choisir 3 fruits différents pour les disposer sur une brochette, et que l'ordre compte (parce que l'esthétique est importante pour la présentation), alors choisir pomme-banane-orange n'est pas la même chose que banane-pomme-orange. C'est ça, un arrangement.

Le dénombrement, c'est l'art de compter ces différentes façons de choisir ou d'organiser des éléments, sans avoir à tout lister. Et les probabilités, c'est utiliser ce dénombrement pour évaluer les chances qu'un événement se produise.

Le cours

I. Dénombrement

Le dénombrement est l'ensemble des techniques permettant de compter le nombre de façons de réaliser une tâche ou de choisir des éléments.

1. Principe fondamental du dénombrement (ou principe multiplicatif)

Si une expérience se déroule en $k$ étapes successives, et que la première étape peut être réalisée de $n_1$ façons, la deuxième de $n_2$ façons, ..., et la $k$-ième de $n_k$ façons, alors le nombre total de façons de réaliser l'expérience est le produit $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.

2. Arrangements

Un arrangement est un choix ordonné de $p$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments est important et les répétitions ne sont pas permises.

Définition: Un $p$-arrangement d'un ensemble de $n$ éléments est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts choisis parmi ces $n$ éléments. On le note $A_n^p$.

Formule: Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est donné par :

$A_n^p = n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$

où $n!$ (factorielle de $n$) est le produit de tous les entiers positifs de 1 à $n$. Par convention, $0! = 1$.

Exemple: De combien de façons peut-on élire un président, un vice-président et un secrétaire parmi 10 candidats ? Ici, l'ordre est important (président $\ne$ vice-président) et les candidats sont distincts. C'est un arrangement de 3 parmi 10. $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

3. Permutations

Une permutation est un cas particulier d'arrangement où $p=n$. C'est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble.

Définition: Une permutation d'un ensemble de $n$ éléments est un arrangement de ces $n$ éléments.

Formule: Le nombre de permutations de $n$ éléments est donné par :

$P_n = A_n^n = n!$

Exemple: De combien de façons peut-on ranger 5 livres différents sur une étagère ? C'est une permutation de 5 éléments. $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

4. Combinaisons

Une combinaison est un choix non ordonné de $p$ éléments distincts parmi $n$ éléments. L'ordre des éléments n'est pas important et les répétitions ne sont pas permises.

Définition: Une $p$-combinaison d'un ensemble de $n$ éléments est un sous-ensemble de $p$ éléments choisis parmi ces $n$ éléments. On le note $C_n^p$ ou $\binom{n}{p}$.

Formule: Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est donné par :

$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Propriétés des combinaisons:

• $C_n^0 = 1$ (Il y a une seule façon de choisir 0 élément : ne rien choisir).
• $C_n^n = 1$ (Il y a une seule façon de choisir $n$ éléments : choisir tous les éléments).
• $C_n^1 = n$ (Il y a $n$ façons de choisir 1 élément parmi $n$).
• $C_n^p = C_n^{n-p}$ (Symétrie).
• Formule du triangle de Pascal : $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$.

II. Probabilités

La théorie des probabilités permet de modéliser le hasard et de quantifier les chances qu'un événement se produise.

1. Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire: Une expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude. (Ex: lancer un dé, tirer une carte).
• Univers ($\Omega$): L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. (Ex: pour un dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$).
• Événement: Une partie de l'univers, c'est-à-dire un ensemble de résultats possibles. (Ex: "obtenir un nombre pair" est l'événement $\{2, 4, 6\}$).
• Événement élémentaire: Un événement qui ne contient qu'un seul résultat. (Ex: "obtenir 3").
• Événement impossible ($\emptyset$): L'événement qui ne contient aucun résultat. $P(\emptyset) = 0$.
• Événement certain ($\Omega$): L'événement qui contient tous les résultats. $P(\Omega) = 1$.
• Événements incompatibles (ou disjoints): Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps.
• Événement contraire ($\bar{A}$ ou $A^c$): L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. $\bar{A} = \Omega \setminus A$. On a $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

2. Calcul des probabilités

La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre réel compris entre 0 et 1.

• $0 \le P(A) \le 1$.
• $P(\emptyset) = 0$.
• $P(\Omega) = 1$.

Équiprobabilité: Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se produire. Dans ce cas, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à A}}{\text{Nombre total de cas possibles}} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$

Propriétés:

• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

3. Probabilités conditionnelles

Définition: Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(B) \ne 0$. La probabilité de $A$ sachant $B$ (ou probabilité conditionnelle de $A$ par $B$) est notée $P(A|B)$ ou $P_B(A)$ et est définie par :

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

De cette définition, on tire la formule des probabilités composées :

$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$

Et si $P(A) \ne 0$, on a aussi $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$.

Arbre de probabilités: Un outil visuel pour représenter les probabilités conditionnelles. Chaque branche représente un événement, et les probabilités sont multipliées le long des chemins.

4. Indépendance d'événements

Définition: Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre. Mathématiquement, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si $P(B) \ne 0$, cela équivaut à $P(A|B) = P(A)$. Si $P(A) \ne 0$, cela équivaut à $P(B|A) = P(B)$.

III. Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

1. Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Loi de probabilité: Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$, sa loi de probabilité est la donnée des probabilités $P(X=x_i)$ pour chaque valeur $x_i$. On a $\sum_{i=1}^n P(X=x_i) = 1$.

Espérance mathématique ($E(X)$): C'est la valeur moyenne que l'on peut attendre de $X$ sur un grand nombre d'expériences.

$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$

Variance ($V(X)$): Mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance.

$V(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 P(X=x_i) = E(X^2) - (E(X))^2$

où $E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 P(X=x_i)$.

Écart-type ($\sigma(X)$): C'est la racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que $X$.

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

2. Loi binomiale

Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : succès (avec probabilité $p$) ou échec (avec probabilité $1-p$).

La loi binomiale modélise le nombre de succès $X$ obtenus lors de $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience de Bernoulli. On la note $B(n, p)$. La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est donnée par :

$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

où $k \in \{0, 1, \dots, n\}$.

Paramètres de la loi binomiale:

• Espérance : $E(X) = np$
• Variance : $V(X) = np(1-p)$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Note: choose(n, k) est une fonction pour $C_n^k$.

IV. Loi continue (pour information, hors programme 2BAC Agro)

Pour les variables aléatoires continues (qui peuvent prendre une infinité de valeurs dans un intervalle), on utilise des fonctions de densité de probabilité. La probabilité est alors calculée par des intégrales. La loi normale (ou loi de Gauss) est un exemple important de loi continue.

Exemple résolu

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules.

1. Calculer le nombre total de tirages possibles.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.
3. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
4. Calculer l'espérance mathématique de $X$.

Solution :

1. Nombre total de tirages possibles : Puisque le tirage est simultané, l'ordre n'a pas d'importance. On utilise les combinaisons. On tire 3 boules parmi un total de $5+3=8$ boules. Nombre total de tirages = $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

2. Probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges : Soit $A$ l'événement "obtenir exactement 2 boules rouges". Pour obtenir 2 boules rouges, il faut choisir 2 boules parmi les 5 rouges ($C_5^2$) ET 1 boule parmi les 3 vertes ($C_3^1$). Nombre de cas favorables à $A = C_5^2 \times C_3^1 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{3}{1} = 10 \times 3 = 30$. La probabilité de $A$ est $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$.

3. Loi de probabilité de $X$ : $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouges tirées. On tire 3 boules. Les valeurs possibles pour $X$ sont $0, 1, 2, 3$.

   • $P(X=0)$ : 0 rouge et 3 vertes. $C_5^0 \times C_3^3 = 1 \times 1 = 1$. $P(X=0) = \frac{1}{56}$.
   • $P(X=1)$ : 1 rouge et 2 vertes. $C_5^1 \times C_3^2 = 5 \times 3 = 15$. $P(X=1) = \frac{15}{56}$.
   • $P(X=2)$ : 2 rouges et 1 verte. $C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$. $P(X=2) = \frac{30}{56}$.
   • $P(X=3)$ : 3 rouges et 0 verte. $C_5^3 \times C_3^0 = 10 \times 1 = 10$. $P(X=3) = \frac{10}{56}$. Vérification : $1+15+30+10 = 56$. La somme des probabilités est bien $\frac{56}{56}=1$. La loi de probabilité de $X$ est : | $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{56}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{30}{56}$ | $\frac{10}{56}$ |

4. Espérance mathématique de $X$ : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ $E(X) = 0 \times \frac{1}{56} + 1 \times \frac{15}{56} + 2 \times \frac{30}{56} + 3 \times \frac{10}{56}$ $E(X) = 0 + \frac{15}{56} + \frac{60}{56} + \frac{30}{56} = \frac{105}{56} = \frac{15}{8} = 1.875$.

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend de toi.

1. Identifier le type de dénombrement :

   • L'ordre compte-t-il ?
     • Oui : C'est un arrangement ou une permutation.
       • Tous les éléments sont-ils utilisés ($p=n$) ? Oui : Permutation ($n!$). Non : Arrangement ($A_n^p$).
     • Non : C'est une combinaison ($C_n^p$).
   • Les répétitions sont-elles possibles ? (Souvent non au Bac, mais si oui, c'est $n^p$ pour un tirage avec remise et ordre).

2. Calculer les probabilités en cas d'équiprobabilité :

   • Étape 1 : Déterminer le nombre total de cas possibles (Card($\Omega$)) en utilisant les techniques de dénombrement appropriées.
   • Étape 2 : Déterminer le nombre de cas favorables à l'événement (Card($A$)) en utilisant les techniques de dénombrement.
   • Étape 3 : Appliquer la formule $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.

3. Appliquer les probabilités conditionnelles :

   • Étape 1 : Identifier les événements et les probabilités données ($P(A)$, $P(B)$, $P(A|B)$, etc.).
   • Étape 2 : Utiliser la formule $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ou $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$.
   • Étape 3 : Si nécessaire, utiliser la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité marginale : $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$.

4. Vérifier l'indépendance d'événements :

   • Étape 1 : Calculer $P(A \cap B)$.
   • Étape 2 : Calculer le produit $P(A) \times P(B)$.
   • Étape 3 : Comparer les deux résultats. Si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, alors les événements sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas.

5. Traiter une variable aléatoire discrète :

   • Étape 1 : Déterminer les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre la variable aléatoire $X$.
   • Étape 2 : Pour chaque $x_i$, calculer $P(X=x_i)$ (souvent avec les techniques de dénombrement).
   • Étape 3 : Présenter la loi de probabilité sous forme de tableau.
   • Étape 4 : Calculer l'espérance $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.
   • Étape 5 : Calculer la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ et l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ si demandé.

1. 1

   Calculer $P(A \cup B)$ si $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ et $P(A \cap B) = 0,2$.

2. 2

   Appliquer la formule

3. 3

   Substituer les valeurs

4. 4

   Calculer

Étape suivante

Pièges classiques

• Confondre arrangements et combinaisons : C'est l'erreur la plus fréquente. Rappelle-toi : si l'ordre des éléments change le résultat, c'est un arrangement. Si l'ordre n'a pas d'importance, c'est une combinaison.

  • Exemple : Choisir 2 délégués parmi 10 (combinaison $C_{10}^2$). Élire un président et un vice-président parmi 10 (arrangement $A_{10}^2$).

• Oublier les factorielles ou les diviser au mauvais endroit : La formule de $C_n^p$ a un $p!$ au dénominateur qui n'est pas présent dans $A_n^p$.

• Ne pas vérifier la somme des probabilités : Pour une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités $P(X=x_i)$ doit toujours être égale à 1. Si ce n'est pas le cas, tu as fait une erreur de calcul.

• Confondre événements incompatibles et événements indépendants :

  • Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps.
  • Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. La réalisation de l'un n'influence pas l'autre.
  • Piège : Si $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A) \ne 0$, $P(B) \ne 0$, alors ils ne peuvent pas être indépendants car $P(A \cap B) = 0$ mais $P(A) \times P(B) \ne 0$.

• Erreur dans le calcul de $P(\bar{A})$ : C'est toujours $1 - P(A)$. Simple, mais facile à oublier ou à mal appliquer.

• Mal interpréter les énoncés : "Au moins", "au plus", "exactement" sont des mots clés qui déterminent comment tu dois compter les cas favorables.

  • "Au moins 2" signifie 2 ou 3 ou...
  • "Au plus 2" signifie 0 ou 1 ou 2.
  • "Exactement 2" signifie seulement 2.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre représente environ 12% de la note finale, il est donc crucial de le maîtriser. Les questions sont généralement directes et visent à évaluer ta capacité à appliquer les définitions et formules.

Formats de questions réels :

1. Questions de dénombrement pur :

   • "De combien de façons peut-on choisir un comité de 3 personnes parmi 10 ?" (Combinaison)
   • "Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 ?" (Arrangement)
   • "De combien de façons peut-on classer 5 livres sur une étagère ?" (Permutation)
   • Ces questions testent directement ta compréhension des $A_n^p$, $C_n^p$ et $n!$.

2. Calcul de probabilités avec équiprobabilité :

   • "Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges."
   • "On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?"
   • Ces exercices combinent dénombrement et la formule $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.

3. Probabilités conditionnelles et indépendance :

   • "Deux événements A et B vérifient $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ et $P(A \cap B) = 0,2$. A et B sont-ils indépendants ? Calculer $P(A \cup B)$."
   • "Dans une population, 10% des individus sont atteints d'une maladie M. Un test de dépistage est positif à 95% si l'individu est malade, et positif à 2% s'il n'est pas malade. Calculer la probabilité qu'un individu soit malade sachant que son test est positif." (Utilisation de l'arbre de probabilités et de la formule de Bayes implicitement).

4. Variables aléatoires discrètes et loi binomiale :

   • "On lance 4 fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de faces obtenues. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance." (Loi binomiale $B(4, 0.5)$).
   • "Un jeu consiste à tirer une boule d'une urne. Si la boule est rouge, on gagne 10 DH. Si elle est verte, on perd 5 DH. Déterminer la loi de probabilité du gain et son espérance." (Variable aléatoire discrète générale).

Barème : Les questions sont généralement découpées en sous-questions, chacune valant des points. La justification de chaque étape est primordiale. Par exemple :

• Identification du type de dénombrement (combinaison, arrangement) : 0.25 pt
• Calcul du nombre total de cas possibles : 0.5 pt
• Calcul du nombre de cas favorables : 0.5 pt
• Calcul de la probabilité (formule + résultat) : 0.5 pt
• Calcul d'une espérance : 0.75 pt
• Justification de l'indépendance : 0.5 pt

La rédaction doit être rigoureuse, avec des phrases claires et l'utilisation correcte des notations mathématiques. Ne saute pas les étapes de calcul, même si elles te semblent évidentes.