Fonctions exponentielles

Ce chapitre est crucial pour l'examen national. Il représente une part importante de la section Analyse, qui pèse pour environ 55% de la note finale. Maîtriser la fonction exponentielle, c'est s'assurer des points sur les limites, les dérivées et l'étude de fonctions.

L'intuition

Imagine que tu as une population de bactéries qui double toutes les heures. Si tu commences avec une bactérie, après 1 heure tu en as 2, après 2 heures tu en as 4, après 3 heures tu en as 8, et ainsi de suite. Le nombre de bactéries à l'instant $t$ est $2^t$.

Maintenant, imagine une croissance continue, où la population ne double pas d'un coup, mais augmente à chaque instant, proportionnellement à sa taille actuelle. C'est le principe de la fonction exponentielle $e^x$. Le nombre $e$ (environ 2.718) est la base de cette croissance "naturelle" ou "continue". C'est comme si la population augmentait de façon instantanée, sans attendre une heure complète pour doubler.

La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme népérien (ln), que tu as déjà étudiée. Cela signifie qu'elles "s'annulent" l'une l'autre. Si tu prends le logarithme d'un nombre, puis l'exponentielle du résultat, tu retrouves ton nombre de départ. C'est une symétrie par rapport à la droite $y=x$.

Le cours

I. Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$.

• Définition : Pour tout réel $x$, $y = e^x$ si et seulement si $x = \ln(y)$ et $y > 0$.
• Domaine de définition : La fonction $x \mapsto e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$.
• Image : L'ensemble des valeurs prises par $e^x$ est $\mathbb{R}^{+*}$, c'est-à-dire $]0, +\infty[$.
• Valeurs particulières :
  • $e^0 = 1$ (car $\ln(1) = 0$)
  • $e^1 = e$ (car $\ln(e) = 1$)

Propriétés algébriques : Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier relatif $n$ :

1. $e^{x+y} = e^x \times e^y$
2. $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
3. $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
4. $(e^x)^n = e^{nx}$
5. $\sqrt{e^x} = e^{x/2}$

Ces propriétés sont très importantes pour simplifier les expressions et résoudre les équations. Elles découlent directement des propriétés du logarithme népérien.

II. Étude de la fonction exponentielle

1. Continuité et dérivabilité

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

• Dérivée : La fonction exponentielle est sa propre dérivée. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$.

• Dérivée d'une fonction composée : Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

2. Sens de variation

Puisque $(e^x)' = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Limites aux bornes

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Ces limites sont essentielles pour l'étude de fonctions. La limite en $-\infty$ signifie que l'axe des abscisses ($y=0$) est une asymptote horizontale à la courbe de $e^x$ en $-\infty$.

4. Croissances comparées

Ces limites sont fondamentales pour lever des formes indéterminées. Elles montrent que l'exponentielle "gagne" toujours face aux puissances de $x$ et aux logarithmes.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance de $x$ en $+\infty$).
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle "écrase" n'importe quelle puissance de $x$ en $-\infty$).

III. Équations et inéquations avec l'exponentielle

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :

• Équations : $e^{f(x)} = e^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ Et $e^{f(x)} = k$ avec $k>0 \iff f(x) = \ln(k)$
• Inéquations : $e^{f(x)} < e^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ $e^{f(x)} > e^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ $e^{f(x)} < k$ avec $k>0 \iff f(x) < \ln(k)$ $e^{f(x)} > k$ avec $k>0 \iff f(x) > \ln(k)$

Si $k \le 0$, l'équation $e^{f(x)} = k$ n'a pas de solution, et l'inéquation $e^{f(x)} < k$ n'a pas de solution. L'inéquation $e^{f(x)} > k$ est toujours vraie (car $e^{f(x)} > 0$).

Exemple résolu

Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3 e^{x} + 2 = 0$. (Extrait d'annale réelle)

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   1. Reconnaître la forme quadratique.

   On remarque que $e^{2x} = (e^x)^2$. L'équation est de la forme $Y^2 - 3Y + 2 = 0$ en posant $Y = e^x$.

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   2. Résoudre l'équation auxiliaire.

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   Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$.

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   Les solutions sont $Y_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1$ et $Y_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2$.

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   3. Revenir à la variable $x$.

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   4. Résoudre les équations exponentielles.

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   Pour $e^x = 2$, on prend le logarithme népérien des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(2)$, ce qui donne $x = \ln(2)$.

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   5. Donner l'ensemble des solutions.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices sur les fonctions exponentielles.

1. Simplification des expressions :

   • Utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle ($e^{x+y}$, $e^{nx}$, etc.) pour réécrire les expressions sous une forme plus simple.
   • Exemple : $e^{2x+1} = e^{2x} \times e^1 = (e^x)^2 \times e$.

2. Résolution d'équations et inéquations :

   • Si tu as $e^{f(x)} = e^{g(x)}$, passe directement à $f(x) = g(x)$.
   • Si tu as $e^{f(x)} = k$ (avec $k>0$), alors $f(x) = \ln(k)$. Si $k \le 0$, pas de solution.
   • Pour les inéquations, utilise la stricte croissance de l'exponentielle : $e^{f(x)} < e^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$.
   • Si l'équation est de la forme $a(e^x)^2 + b(e^x) + c = 0$, pose $Y = e^x$ et résous l'équation du second degré en $Y$. N'oublie pas de vérifier que les solutions $Y$ sont positives avant de revenir à $x$.

3. Calcul de limites :

   • Remplace $e^x$ par ses limites aux bornes ($+\infty$ en $+\infty$, $0$ en $-\infty$).
   • Si tu tombes sur une forme indéterminée ($0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$), pense aux croissances comparées.
     • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
     • $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
   • Parfois, un changement de variable peut aider, par exemple poser $t = -x$ si $x \to -\infty$.

4. Calcul de dérivées :

   • Applique la formule $(e^x)' = e^x$.
   • Pour une fonction composée, $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. Identifie bien $u(x)$ et calcule sa dérivée $u'(x)$.

5. Étude de fonctions :

   • Domaine de définition : Toujours $\mathbb{R}$ pour $e^x$, mais attention si l'exposant $u(x)$ ou d'autres termes de la fonction ont des restrictions.
   • Limites aux bornes : Calcule les limites en $+\infty$ et $-\infty$ en utilisant les propriétés et les croissances comparées.
   • Dérivée : Calcule $f'(x)$.
   • Signe de la dérivée : Détermine le signe de $f'(x)$ pour en déduire le sens de variation de $f$. Rappelle-toi que $e^x$ est toujours positif.
   • Tableau de variations : Résume toutes les informations (domaine, limites, variations) dans un tableau.
   • Points particuliers : Calcule $f(0)$ ou d'autres points si nécessaire pour tracer la courbe.

Pièges classiques

• Confondre $e^x$ et $x^e$ : La dérivée de $e^x$ est $e^x$. La dérivée de $x^e$ (qui est une puissance) est $e \cdot x^{e-1}$.
• Oublier la dérivée de l'exposant : Quand tu dérives $e^{u(x)}$, n'oublie pas le $u'(x)$ devant. C'est l'erreur la plus fréquente. Exemple : $(e^{2x})' \ne e^{2x}$, mais $(e^{2x})' = 2e^{2x}$.
• Erreurs de signe dans les limites : En $-\infty$, $e^x \to 0$, pas $-\infty$.
• Oublier les conditions sur $k$ pour $e^{f(x)} = k$ : L'équation $e^{f(x)} = k$ n'a de solution que si $k > 0$. Si $k \le 0$, il n'y a pas de solution.
• Ne pas vérifier les solutions d'une équation auxiliaire : Si tu poses $Y=e^x$, les solutions $Y$ doivent être strictement positives. Si tu trouves $Y=-1$, cela ne donne pas de solution pour $x$ car $e^x$ ne peut pas être négatif.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les fonctions exponentielles est systématiquement évalué dans la partie "Analyse" de l'examen national. Les questions sont souvent intégrées dans l'étude d'une fonction plus complexe.

Voici les types de questions que tu rencontreras :

1. Résolution d'équations et inéquations exponentielles :

   • Exemple : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3 e^{x} + 2 = 0$. (Vu dans l'exemple résolu)
   • Barème typique : 0.75 à 1 point. La méthode est valorisée (changement de variable, résolution de l'équation du second degré, retour à $x$).

2. Calcul de limites :

   • Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x}$ et $\lim_{x \to -\infty} x e^{x}$.
   • Barème typique : 0.5 à 1 point par limite. Il faut identifier la forme indéterminée et appliquer correctement les croissances comparées.
   • Pour $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x}$, on écrit $x e^{-x} = \frac{x}{e^x}$. C'est de la forme $\frac{+\infty}{+\infty}$. Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$.
   • Pour $\lim_{x \to -\infty} x e^{x}$, c'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$. Par croissance comparée, $\lim_{x \to -\infty} x e^{x} = 0$.

3. Calcul de dérivées :

   • Exemple : Soit $f(x) = (x - 1) e^x$. Calculer $f'(x)$.
   • Barème typique : 0.5 à 0.75 point. Il faut appliquer la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ et la dérivée de $e^x$.
   • Ici, $u(x) = x-1 \implies u'(x) = 1$. Et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.
   • $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = e^x (1 + x - 1) = x e^x$.

4. Étude de fonctions :

   • Exemple : Dresser le tableau de variations de $f(x) = (x - 1) e^x$ sur $\mathbb{R}$.
   • Barème typique : 1 à 1.5 points. Cela implique de :
     • Calculer les limites aux bornes (voir ci-dessus : $\lim_{x \to +\infty} (x-1)e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = 0$).
     • Calculer la dérivée (voir ci-dessus : $f'(x) = x e^x$).
     • Étudier le signe de la dérivée : $e^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x$.
       • Si $x < 0$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante.
       • Si $x > 0$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante.
       • Si $x = 0$, $f'(x) = 0$, il y a un minimum local en $x=0$. $f(0) = (0-1)e^0 = -1$.
     • Construire le tableau de variations complet.

Ces questions sont souvent enchaînées dans un même exercice d'étude de fonction. La rigueur dans la rédaction et la justification de chaque étape sont essentielles pour obtenir tous les points.