Nombres complexes

Le chapitre des nombres complexes est fondamental en 2ème Bac Sciences Agronomiques. Il représente une part significative de l'examen national, avec une pondération d'environ 16% du total des mathématiques, intégré dans la section "Nombres complexes + Probabilités" qui pèse 30%. La maîtrise de ce chapitre est essentielle pour obtenir une bonne note.

L'intuition

Le cours

I. L'ensemble des nombres complexes

1. Introduction et définition

Jusqu'à présent, vous avez travaillé avec l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$. Cependant, certaines équations, comme $x^2 = -1$, n'admettent pas de solution dans $\mathbb{R}$. Pour résoudre ce problème, on introduit un nouvel ensemble de nombres appelé l'ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$.

Définition: On appelle nombre complexe tout nombre $z$ qui peut s'écrire sous la forme $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels et $i$ est un nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$. L'écriture $z = x + iy$ est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$.

• $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.

Remarques:

• Si $y = 0$, alors $z = x$ est un nombre réel. L'ensemble $\mathbb{R}$ est donc un sous-ensemble de $\mathbb{C}$.
• Si $x = 0$, alors $z = iy$ est un nombre imaginaire pur.

Égalité de deux nombres complexes: Deux nombres complexes $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales :

$z = z' \iff \text{Re}(z) = \text{Re}(z') \quad \text{et} \quad \text{Im}(z) = \text{Im}(z')$

2. Opérations sur les nombres complexes

Les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication s'effectuent comme avec les polynômes, en remplaçant $i^2$ par $-1$.

Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ deux nombres complexes.

• Addition: $z + z' = (x + x') + i(y + y')$.
• Soustraction: $z - z' = (x - x') + i(y - y')$.
• Multiplication: $z \cdot z' = (x + iy)(x' + iy') = xx' + ixy' + iyx' + i^2yy' = (xx' - yy') + i(xy' + yx')$.

Conjugué d'un nombre complexe: Définition: Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre complexe $\bar{z} = x - iy$.

Propriétés du conjugué: Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

1. $\overline{\bar{z}} = z$
2. $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$
3. $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$
4. $z$ est réel $\iff z = \bar{z}$
5. $z$ est imaginaire pur $\iff z = -\bar{z}$
6. $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
7. $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$
8. $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
9. $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ pour $z' \neq 0$

Division: Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de rendre le dénominateur réel.

$\frac{z}{z'} = \frac{x + iy}{x' + iy'} = \frac{(x + iy)(x' - iy')}{(x' + iy')(x' - iy')} = \frac{xx' - ixy' + iyx' - i^2yy'}{(x')^2 - (iy')^2} = \frac{(xx' + yy') + i(yx' - xy')}{(x')^2 + (y')^2}$

3. Module d'un nombre complexe

Définition: Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre réel positif $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Propriétés du module: Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

1. $|z| = 0 \iff z = 0$
2. $|z| = |\bar{z}| = |-z|$
3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2$
4. $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$
5. $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ pour $z' \neq 0$
6. $|z^n| = |z|^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
7. Inégalité triangulaire: $||z| - |z'|| \le |z + z'| \le |z| + |z'|$

4. Argument d'un nombre complexe

Définition: Soit $z = x + iy$ un nombre complexe non nul. On appelle argument de $z$ tout réel $\theta$ tel que $\cos \theta = \frac{x}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{y}{|z|}$. L'argument est défini à $2k\pi$ près ($k \in \mathbb{Z}$). On note $\arg(z) = \theta \pmod{2\pi}$. L'argument principal est l'unique argument $\theta$ tel que $-\pi < \theta \le \pi$.

Propriétés de l'argument: Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.

1. $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$
2. $\arg(z \cdot z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
3. $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
4. $\arg(z^n) = n \arg(z) \pmod{2\pi}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$
5. $\arg(kz) = \arg(z) \pmod{2\pi}$ si $k > 0$ réel
6. $\arg(kz) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}$ si $k < 0$ réel

5. Formes trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique: Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$, où $|z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est un argument de $z$.

Forme exponentielle: En utilisant la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, la forme trigonométrique peut s'écrire sous la forme exponentielle: $z = |z|e^{i\theta}$.

Formule de Moivre: Pour tout nombre complexe $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ et tout entier relatif $n$, on a :

$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) = r^n e^{in\theta}$

II. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Considérons l'équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$, où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

1. Si $\Delta > 0$, les solutions sont réelles : $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
2. Si $\Delta = 0$, il y a une solution réelle double : $z_0 = \frac{-b}{2a}$.
3. Si $\Delta < 0$, alors $\Delta = (-1)(-\Delta) = i^2(-\Delta) = (i\sqrt{-\Delta})^2$. Les solutions sont complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

III. Nombres complexes et géométrie

Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$. À tout nombre complexe $z = x + iy$, on associe :

• Un point $M(x, y)$, appelé image de $z$.
• Un vecteur $\vec{OM}$ de coordonnées $(x, y)$, appelé image vectorielle de $z$. Inversement, à tout point $M(x, y)$ ou vecteur $\vec{OM}$, on associe le nombre complexe $z = x + iy$, appelé affixe de $M$ ou affixe de $\vec{OM}$.

1. Affixe d'un vecteur et distance entre deux points

• Affixe d'un vecteur: Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ a pour affixe $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$.
• Distance entre deux points: La distance $AB$ est égale au module de l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $AB = |z_B - z_A|$.

2. Interprétation géométrique du module et de l'argument

• Le module $|z_B - z_A|$ représente la distance entre les points $A$ et $B$.
• L'argument $\arg(z_B - z_A)$ représente la mesure de l'angle $(\vec{u}, \vec{AB})$.

3. Alignement et orthogonalité

Soient $A, B, C$ trois points distincts d'affixes $z_A, z_B, z_C$.

• Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.
• Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre imaginaire pur.

4. Transformations du plan

a) Translation: La translation de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $z_{\vec{w}}$ transforme le point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' = z + z_{\vec{w}}$.

b) Homothétie: L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ transforme le point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' - \omega = k(z - \omega)$.

c) Rotation: La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\alpha$ transforme le point $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$.

Exemple résolu

Question d'annale:

1. Écrire le nombre complexe $z = 1 + i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.
2. Calculer $(1 + i)^{8}$. Donner le résultat sous forme algébrique.
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2} - 2z + 5 = 0$.

Solution:

1. Écrire $z = 1 + i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.

   1. 1

      Calcul du module

      $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

   2. 2

      Calcul de l'argument

   3. 3

      Forme trigonométrique

   Étape suivante

2. Calculer $(1 + i)^{8}$. Donner le résultat sous forme algébrique.

   1. 1

      Mettre $1+i$ sous forme trigonométrique

      $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$.

   2. 2

      Forme trigonométrique de $1+i$

   3. 3

      Appliquer la formule de Moivre

   4. 4

      Simplifier

   5. 5

      Calculer les valeurs trigonométriques

   6. 6

      Forme algébrique

   Étape suivante

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2} - 2z + 5 = 0$.

   1. 1

      Calcul du discriminant

      L'équation est de la forme $az^2 + bz + c = 0$ avec $a=1, b=-2, c=5$. $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$.

   2. 2

      Interprétation du discriminant

   3. 3

      Calcul des solutions

   4. 4

      Application numérique

   5. 5

      Application numérique

   6. 6

      Ensemble des solutions

   Étape suivante

La méthode

1. Identifier la forme demandée : Algébrique, trigonométrique ou exponentielle. Chaque forme a ses avantages pour différentes opérations.
2. Appliquer les définitions et propriétés : Module, argument, conjugué, formules d'Euler et de Moivre.
3. Effectuer les calculs avec rigueur : Ne pas oublier $i^2 = -1$, simplifier les fractions, réduire les arguments modulo $2\pi$.
4. Vérifier la cohérence du résultat : Un module doit être positif, un argument principal entre $-\pi$ et $\pi$.

Pièges classiques

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les nombres complexes à l'examen national sont souvent directes et visent à évaluer votre maîtrise des différentes formes et des opérations.

• Écrire un nombre complexe sous une forme donnée (algébrique, trigonométrique, exponentielle).
  • Calcul du module : 0.5 pt
  • Calcul de l'argument : 0.5 pt
  • Écriture de la forme : 0.25 pt
• Calculer des puissances de nombres complexes (souvent avec la formule de Moivre).
  • Mise sous forme trigonométrique : 0.75 pt
  • Application de la formule de Moivre : 0.5 pt
  • Retour à la forme algébrique : 0.25 pt
• Résoudre des équations du second degré dans $\mathbb{C}$.
  • Calcul du discriminant $\Delta$ : 0.5 pt
  • Détermination des solutions (formules) : 0.75 pt
  • Calcul des solutions : 0.25 pt
• Interprétation géométrique (affixes de points, vecteurs, distances, angles, transformations).
  • Calcul d'affixe de vecteur ou distance : 0.5 pt
  • Calcul d'argument pour un angle : 0.5 pt
  • Conclusion géométrique (alignement, orthogonalité, nature d'un triangle) : 0.5 pt