bacdyaliCommencer

Produit scalaire et vectoriel dans V₃

Mathématiques · 2ème Bac Sciences Agronomiques · 3 exercices

Méthode officielle

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé: calculer un produit scalaire (coordonnées ou ||u|| ||v|| cos θ), en déduire orthogonalité et angles; calculer un produit vectoriel, interpréter comme vecteur normal, et en déduire une aire (||u ∧ v||) ou un volume (produit mixte).

Produit scalaire et vectoriel dans V3V_3

Ce chapitre est essentiel pour la géométrie dans l'espace. Il représente environ 15% de la note totale en mathématiques à l'examen national pour la filière Sciences Agronomiques. La maîtrise de ces outils est indispensable pour résoudre des problèmes liés aux distances, aux angles, aux aires et aux volumes dans l'espace.

L'intuition

Le cours

Dans tout ce chapitre, l'espace est muni d'un repère orthonormé direct (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}). Les vecteurs sont notés u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} et leurs coordonnées sont u⃗(x,y,z)\vec{u}(x,y,z), v⃗(x′,y′,z′)\vec{v}(x',y',z'), w⃗(x′′,y′′,z′′)\vec{w}(x'',y'',z'').

I. Produit scalaire de deux vecteurs

1. Définition et propriétés

Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, noté u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, est un nombre réel défini par :

u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣⋅cos⁡(θ)\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)

où θ\theta est l'angle non orienté entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, avec 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi.

Propriétés :

  • Commutativité : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • Distributivité par rapport à l'addition : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • Associativité avec un scalaire : (ku⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(kv⃗)=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})
  • Produit scalaire d'un vecteur par lui-même (carré scalaire) : u⃗⋅u⃗=u⃗2=∣∣u⃗∣∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2. Donc ∣∣u⃗∣∣=u⃗⋅u⃗||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}.

2. Expression analytique du produit scalaire

Dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), si u⃗(x,y,z)\vec{u}(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec{v}(x',y',z'), alors :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

3. Orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul, et ils sont considérés comme orthogonaux par convention.

4. Calcul de l'angle entre deux vecteurs

À partir de la définition du produit scalaire, on peut exprimer le cosinus de l'angle θ\theta entre deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} :

cos⁡(θ)=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}

où ∣∣u⃗∣∣=x2+y2+z2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} et ∣∣v⃗∣∣=x′2+y′2+z′2||\vec{v}|| = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}.

Vérifie que tu suis

Si u⃗⋅v⃗=−5\vec{u} \cdot \vec{v} = -5, que peut-on dire de l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?

II. Produit vectoriel de deux vecteurs

1. Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, noté u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v}, est un vecteur w⃗\vec{w} qui possède les caractéristiques suivantes :

  • Direction : w⃗\vec{w} est orthogonal aux deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.
  • Sens : Le sens de w⃗\vec{w} est tel que le trièdre (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) est direct (règle du tire-bouchon ou de la main droite).
  • Norme : ∣∣u⃗∧v⃗∣∣=∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣⋅sin⁡(θ)||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta), où θ\theta est l'angle non orienté entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.

Cas particuliers :

  • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires, alors θ=0\theta = 0 ou θ=π\theta = \pi, donc sin⁡(θ)=0\sin(\theta) = 0. Dans ce cas, u⃗∧v⃗=0⃗\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}.
  • Réciproquement, si u⃗∧v⃗=0⃗\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} et u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} sont non nuls, alors u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires.

2. Expression analytique du produit vectoriel

Dans un repère orthonormé direct (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), si u⃗(x,y,z)\vec{u}(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec{v}(x',y',z'), alors u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} a pour coordonnées :

u⃗∧v⃗=(yz′−zy′zx′−xz′xy′−yx′)\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix}

Une méthode mnémotechnique pour retenir ces coordonnées est d'écrire les coordonnées de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux fois l'une sous l'autre, puis de "barrer" la première et la dernière ligne : xx′yy′zz′xx′yy′\begin{array}{c|c} x & x' \\ y & y' \\ z & z' \\ x & x' \\ y & y' \end{array} Les coordonnées de u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} sont alors : (yz′−zy′,zx′−xz′,xy′−yx′)(yz' - zy', zx' - xz', xy' - yx').

3. Propriétés du produit vectoriel

  • Anticommutativité : u⃗∧v⃗=−(v⃗∧u⃗)\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u})
  • Distributivité par rapport à l'addition : u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}
  • Associativité avec un scalaire : (ku⃗)∧v⃗=u⃗∧(kv⃗)=k(u⃗∧v⃗)(k\vec{u}) \wedge \vec{v} = \vec{u} \wedge (k\vec{v}) = k(\vec{u} \wedge \vec{v})
  • Produit vectoriel d'un vecteur par lui-même : u⃗∧u⃗=0⃗\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}

4. Applications géométriques

  • Aire d'un parallélogramme : L'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est donnée par A=∣∣u⃗∧v⃗∣∣\mathcal{A} = ||\vec{u} \wedge \vec{v}||.

  • Aire d'un triangle : L'aire du triangle ABCABC est donnée par AABC=12∣∣AB⃗∧AC⃗∣∣\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}||.

  • Vecteur normal à un plan : Si un plan est défini par trois points non alignés A,B,CA, B, C, alors le vecteur n⃗=AB⃗∧AC⃗\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} est un vecteur normal à ce plan.

    Vérifie que tu suis

    Si n⃗\vec{n} est un vecteur normal à un plan P, quelle est l'équation cartésienne générale de ce plan ?

  • Volume d'un parallélépipède (produit mixte) : Le volume du parallélépipède construit sur trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} est donné par la valeur absolue du produit mixte : V=∣u⃗⋅(v⃗∧w⃗)∣V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{w})|

    Le produit mixte est un scalaire. Il est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires.

Exemple résolu

Soient les vecteurs u⃗(2,−1,2)\vec{u}(2,-1,2) et v⃗(1,2,−1)\vec{v}(1,2,-1).

  1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
  2. Calculer u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v}.
  3. Calculer l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.

Solution :

  1. Calcul de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et orthogonalité : Nous utilisons l'expression analytique du produit scalaire : u⃗⋅v⃗=(2)(1)+(−1)(2)+(2)(−1)\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(2) + (2)(-1)

    u⃗⋅v⃗=2−2−2\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 2 - 2

    u⃗⋅v⃗=−2\vec{u} \cdot \vec{v} = -2

    Puisque u⃗⋅v⃗=−2≠0\vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \ne 0, les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont pas orthogonaux.

  2. Calcul de u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} : Nous utilisons l'expression analytique du produit vectoriel : u⃗∧v⃗=((−1)(−1)−(2)(2)(2)(1)−(2)(−1)(2)(2)−(−1)(1))\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} (-1)(-1) - (2)(2) \\ (2)(1) - (2)(-1) \\ (2)(2) - (-1)(1) \end{pmatrix}

    u⃗∧v⃗=(1−42−(−2)4−(−1))\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ 2 - (-2) \\ 4 - (-1) \end{pmatrix}

    u⃗∧v⃗=(−345)\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}

    Donc, u⃗∧v⃗=(−3,4,5)\vec{u} \wedge \vec{v} = (-3, 4, 5).

  3. Calcul de l'aire du parallélogramme : L'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est donnée par ∣∣u⃗∧v⃗∣∣||\vec{u} \wedge \vec{v}||. ∣∣u⃗∧v⃗∣∣=(−3)2+42+52||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 5^2}

    ∣∣u⃗∧v⃗∣∣=9+16+25||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = \sqrt{9 + 16 + 25}

    ∣∣u⃗∧v⃗∣∣=50||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = \sqrt{50}

    ∣∣u⃗∧v⃗∣∣=52||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = 5\sqrt{2}

    L'aire du parallélogramme est 525\sqrt{2} unités d'aire.

La méthode

Pour résoudre les exercices de ce chapitre, suivez ces étapes clés :

  1. Identifier les vecteurs et leurs coordonnées : Toujours commencer par extraire les coordonnées des vecteurs ou des points donnés.
  2. Appliquer la formule appropriée : Utiliser la formule du produit scalaire (analytique ou avec le cosinus) ou du produit vectoriel selon la question.
  3. Effectuer les calculs avec rigueur : Les erreurs de signe ou de calcul sont fréquentes. Vérifiez chaque étape.
  4. Interpréter le résultat géométriquement : Traduire le résultat numérique en termes d'orthogonalité, d'angle, d'aire ou de volume.

Pièges classiques

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions d'examen sur ce chapitre sont généralement directes et visent à évaluer l'application des définitions et des formules.

  • Calcul du produit scalaire et test d'orthogonalité : (2 points)

    1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} en utilisant les coordonnées. (1 point)
    2. Conclure sur l'orthogonalité en comparant le résultat à zéro. (1 point)

  • Calcul du produit vectoriel et de l'aire : (3 points)

    1. Calculer les coordonnées de u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v}. (2 points)
    2. Calculer la norme de u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} pour obtenir l'aire du parallélogramme. (1 point)

  • Vecteur normal et équation de plan : (3 points)

    1. Calculer un vecteur normal au plan (ABC)(ABC) en utilisant le produit vectoriel AB⃗∧AC⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC}. (2 points)
    2. Déduire une équation cartésienne du plan en utilisant ce vecteur normal et un point du plan. (1 point)

  • Calcul d'angle : (2 points)

    1. Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les normes ∣∣u⃗∣∣||\vec{u}||, ∣∣v⃗∣∣||\vec{v}||. (1 point)
    2. Appliquer la formule cos⁡(θ)=u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} et donner la valeur de l'angle (si demandé). (1 point)

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, u(2,-1,2) et v(1,2,-1). Calculer u·v. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Voir la correction

u·v = 2*1 + (-1)2 + 2(-1) = 2 - 2 - 2 = -2. Le produit scalaire n'est pas nul, donc u et v ne sont pas orthogonaux.

Produit scalaire en coordonnées: u·v = xux_u xvx_v + yuy_u yvy_v + zuz_u zvz_v. Orthogonalité ssi u·v = 0.

Exercice 2·Moyen

A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1). Donner un vecteur normal au plan (ABC), puis une équation cartésienne de ce plan.

Voir la correction

AB=(-1,1,0), AC=(-1,0,1). n = AB ∧ AC = (1,1,1). Plan: x+y+z=1.

Deux vecteurs du plan, leur produit vectoriel est un normal; l'équation est n·(M-A)=0.

Exercice 3·Moyen

u(1,0,1) et v(0,1,1). Calculer u ∧ v, puis l'aire du parallélogramme construit sur u et v.

Voir la correction

u ∧ v = (-1,-1,1). ||u ∧ v|| = √3. L'aire vaut √3.

Produit vectoriel par le déterminant formel, puis aire = ||u ∧ v||.

Autres chapitres — Mathématiques