Équations différentielles

L'intuition

Imagine que tu conduis une voiture. La vitesse à laquelle tu roules, c'est $y(t)$, une fonction du temps $t$. L'accélération, c'est la dérivée de la vitesse, $y'(t)$. Si tu veux savoir comment la vitesse de ta voiture évolue en fonction de l'accélération que tu lui donnes, tu es en train de résoudre une équation différentielle.

Par exemple, si ton accélération est proportionnelle à ta vitesse, disons $y'(t) = 2y(t)$, ça veut dire que plus tu vas vite, plus tu accélères. C'est une équation différentielle. Résoudre ça, c'est trouver toutes les fonctions $y(t)$ qui respectent cette règle.

Un autre exemple, imagine que tu as un compte bancaire. L'argent que tu as, c'est $y(t)$. Les intérêts que tu gagnes, c'est $y'(t)$. Si les intérêts sont proportionnels à l'argent que tu as sur ton compte, $y'(t) = a y(t)$, alors tu as une équation différentielle. La solution te donnera l'évolution de ton capital au cours du temps.

Ces équations décrivent des phénomènes où la vitesse de changement d'une quantité dépend de la quantité elle-même, ou de sa vitesse de changement. C'est partout en physique, en biologie, en économie.

Le cours

Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction inconnue $y$ à ses dérivées $y'$, $y''$, etc. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient cette équation.

On va se concentrer sur deux types d'équations différentielles qui sont au programme.

I. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Ce sont les équations de la forme $y' = ay + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles ($a \neq 0$). La fonction inconnue $y$ est une fonction de la variable $x$, souvent notée $y(x)$.

1. Cas particulier : $y' = ay$

C'est le cas où $b=0$.

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $y(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration : Soit $y(x) = C e^{ax}$. Alors $y'(x) = C \cdot a e^{ax} = a (C e^{ax}) = a y(x)$. Donc $y(x) = C e^{ax}$ est bien une solution.

Réciproquement, soit $y$ une solution de $y' = ay$. Considérons la fonction $g(x) = y(x) e^{-ax}$. Calculons sa dérivée : $g'(x) = y'(x) e^{-ax} + y(x) (-a e^{-ax})$ $g'(x) = e^{-ax} (y'(x) - a y(x))$ Puisque $y$ est solution de $y' = ay$, on a $y'(x) - a y(x) = 0$. Donc $g'(x) = e^{-ax} \cdot 0 = 0$. Si $g'(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$, alors $g(x)$ est une fonction constante. Soit $g(x) = C$, où $C \in \mathbb{R}$. Donc $y(x) e^{-ax} = C$, ce qui implique $y(x) = C e^{ax}$.

2. Cas général : $y' = ay + b$

Théorème : Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sur $\mathbb{R}$ (avec $a \neq 0$) sont les fonctions de la forme $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration : On cherche une solution particulière constante $y_p(x) = k$. Alors $y_p'(x) = 0$. En remplaçant dans l'équation : $0 = ak + b$, donc $k = -\frac{b}{a}$. Ainsi, $y_p(x) = -\frac{b}{a}$ est une solution particulière.

Soit $y$ une solution quelconque de $y' = ay + b$. Considérons la fonction $z(x) = y(x) - y_p(x) = y(x) + \frac{b}{a}$. Alors $z'(x) = y'(x)$. En remplaçant dans l'équation : $z'(x) = a(z(x) - \frac{b}{a}) + b$ $z'(x) = az(x) - b + b$ $z'(x) = az(x)$. C'est une équation du type $y' = ay$. Ses solutions sont $z(x) = C e^{ax}$. Donc $y(x) + \frac{b}{a} = C e^{ax}$, ce qui donne $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.

3. Détermination de la solution vérifiant une condition initiale

Souvent, on te demandera de trouver LA solution qui passe par un point donné, c'est-à-dire qui vérifie une condition initiale du type $y(x_0) = y_0$. Pour cela, tu dois d'abord trouver la solution générale (avec $C$), puis remplacer $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ pour trouver la valeur de $C$.

II. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Ce sont les équations de la forme $y'' + ay' + by = 0$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. La fonction inconnue $y$ est une fonction de la variable $x$.

1. Équation caractéristique

Pour résoudre $y'' + ay' + by = 0$, on associe une équation polynomiale appelée équation caractéristique : $r^2 + ar + b = 0$. Les solutions de cette équation du second degré en $r$ vont déterminer la forme de la solution générale de l'équation différentielle. On calcule le discriminant $\Delta = a^2 - 4b$.

2. Cas selon le discriminant $\Delta$

a) Premier cas : $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes) L'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Les solutions de l'équation différentielle $y'' + ay' + by = 0$ sont les fonctions de la forme : $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

b) Deuxième cas : $\Delta = 0$ (une racine réelle double) L'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ a une racine réelle double $r = -\frac{a}{2}$. Les solutions de l'équation différentielle $y'' + ay' + by = 0$ sont les fonctions de la forme : $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{rx}$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

c) Troisième cas : $\Delta < 0$ (deux racines complexes conjuguées) L'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ a deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$, où $\alpha = -\frac{a}{2}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$. Les solutions de l'équation différentielle $y'' + ay' + by = 0$ sont les fonctions de la forme : $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes réelles.

3. Détermination de la solution vérifiant des conditions initiales

Pour les équations du second ordre, tu as besoin de deux conditions initiales pour déterminer les deux constantes $C_1$ et $C_2$. Ces conditions sont généralement de la forme $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$.

Tu devras :

1. Trouver la solution générale $y(x)$ (avec $C_1$ et $C_2$).
2. Calculer la dérivée de cette solution générale, $y'(x)$.
3. Utiliser les deux conditions initiales pour former un système de deux équations à deux inconnues ($C_1$ et $C_2$) et le résoudre.

Exemple résolu

Résoudre l'équation différentielle $y'' - 5y' + 6y = 0$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$.

1. 1

   1. Écrire l'équation caractéristique.

   L'équation différentielle est $y'' - 5y' + 6y = 0$. L'équation caractéristique associée est $r^2 - 5r + 6 = 0$.

2. 2

   2. Calculer le discriminant $\Delta$.

3. 3

   3. Déterminer les racines de l'équation caractéristique.

4. 4

   4. Écrire la solution générale de l'équation différentielle.

5. 5

   5. Utiliser la première condition initiale pour former une équation.

6. 6

   6. Calculer la dérivée de la solution générale.

7. 7

   7. Utiliser la deuxième condition initiale pour former une deuxième équation.

8. 8

   8. Résoudre le système d'équations pour trouver $C_1$ et $C_2$.

9. 9

   (1) $C_1 + C_2 = 1$

10. 10

    (2) $2C_1 + 3C_2 = 2$

11. 11

    De (1), $C_1 = 1 - C_2$. On substitue dans (2) :

12. 12

    $2(1 - C_2) + 3C_2 = 2$

13. 13

    $2 - 2C_2 + 3C_2 = 2$

14. 14

    $2 + C_2 = 2$

15. 15

    $C_2 = 0$.

16. 16

    Ensuite, $C_1 = 1 - C_2 = 1 - 0 = 1$.

17. 17

    9. Écrire la solution particulière.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes types que tu dois suivre pour résoudre ces exercices.

Pour $y' = ay + b$ :

1. Identifier $a$ et $b$.
2. Écrire la solution générale : $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
3. Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée :
   • Remplacer $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ dans la solution générale.
   • Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de $C$.
   • Écrire la solution particulière en remplaçant $C$ par sa valeur.

Pour $y'' + ay' + by = 0$ :

1. Écrire l'équation caractéristique : $r^2 + ar + b = 0$.
2. Calculer le discriminant $\Delta = a^2 - 4b$.
3. Déterminer les racines $r_1, r_2$ (ou $r$) en fonction du signe de $\Delta$.
4. Écrire la solution générale $y(x)$ en fonction des racines trouvées et des constantes $C_1, C_2$ :
   • Si $\Delta > 0$ : $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
   • Si $\Delta = 0$ : $y(x) = (C_1 x + C_2) e^{rx}$.
   • Si $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, avec $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$.
5. Si des conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ sont données :
   • Calculer la dérivée de la solution générale $y'(x)$.
   • Utiliser $y(x_0) = y_0$ pour obtenir une première équation en $C_1$ et $C_2$.
   • Utiliser $y'(x_0) = y'_0$ pour obtenir une deuxième équation en $C_1$ et $C_2$.
   • Résoudre le système de deux équations à deux inconnues pour trouver $C_1$ et $C_2$.
   • Écrire la solution particulière.

Pièges classiques

• Oublier le terme $-\frac{b}{a}$ dans la solution générale de $y' = ay + b$. C'est une erreur fréquente qui coûte des points.

  Vérifie que tu suis

  La solution générale de $y' = 2y + 4$ est :

  $y(x) = C e^{2x} - 2$$y(x) = C e^{2x} + 2$$y(x) = C e^{2x}$
• Confondre les cas de $\Delta$ pour les équations du second ordre. Chaque cas a une forme de solution différente.

  Vérifie que tu suis

  Si l'équation caractéristique $r^2 - 4r + 4 = 0$ a une racine double $r=2$, quelle est la forme de la solution générale de l'équation différentielle associée ?

  $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{2x}$$y(x) = (C_1 x + C_2) e^{2x}$$y(x) = e^{2x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$
• Erreurs de calcul du discriminant ou des racines. Vérifie toujours tes calculs.
• Erreurs dans la dérivation de $y(x)$ pour trouver $y'(x)$ avant d'appliquer les conditions initiales pour les équations du second ordre.
• Ne pas résoudre le système d'équations correctement pour trouver $C_1$ et $C_2$. Prends ton temps pour cette étape.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre est très prévisible à l'examen national. Il représente une petite partie du total (environ 8%), mais les questions sont souvent des applications directes des formules.

Format des questions réelles :

1. Résoudre une équation différentielle du premier ordre $y' = ay (+ b)$ sur $\mathbb{R}$.

   • Exemple : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$."
   • Exemple : "Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ sur $\mathbb{R}$."
   • Barème typique : 0.5 point pour la forme générale.

2. Déterminer la solution vérifiant une condition initiale.

   • Exemple : "Puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 3$." (Suite de la question précédente).
   • Barème typique : 0.5 point pour le calcul de $C$ et la solution finale.

3. Résoudre une équation différentielle du second ordre $y'' + ay' + by = 0$ sur $\mathbb{R}$.

   • Exemple : "Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'' - 5y' + 6y = 0$."
   • Barème typique : 0.25 point pour l'équation caractéristique, 0.25 point pour le discriminant et les racines, 0.5 point pour la solution générale.

4. Déterminer la solution vérifiant des conditions initiales.

   • Exemple : "Déterminer la solution de l'équation différentielle $y'' - 5y' + 6y = 0$ vérifiant $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$." (Suite de la question précédente).
   • Barème typique : 0.25 point pour $y'(x)$, 0.25 point pour le système, 0.25 point pour $C_1, C_2$, 0.25 point pour la solution finale.

Tu dois maîtriser ces étapes par cœur. Les questions sont rarement piégeuses, il s'agit d'appliquer les formules et les méthodes de résolution sans erreur de calcul.