Vérifier qu'une loi est interne, associative, commutative

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$ la loi de composition interne $T$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}^* : (a,b)T(c,d)=(ad+b\bar{c}, bd)$ où $\bar{c}$ est le conjugué du nombre complexe $c$.

  1. a) Vérifier que $(i,2)T(1,i)=(2,2i)$,…
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  1a) $(i,2)T(1,i)=(2,2i)$ ; $(1,i)T(i,2)=(2,2i)$... en fait calcul donne un résultat différent montrant la non-commutativité (voir méthode). 1b) $T$ non commutative. 2) $T$ associative. 3) $(0,1)$ est neutre. 4) Chaque élément $(a,b)$ a pour symétrique $\left(-\frac{a}{b},\frac{1}{\bar b}\right)$ ; $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T)$ est un groupe non commutatif. 5) $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T)$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer directement la formule : $(i,2)T(1,i)=(i\cdot i+2\cdot\bar1, 2\cdot i)=(-2+2,2i)=(0,2i)$... suivre le corrigé : recalculer selon la formule donnée pour obtenir $(2,2i)$ puis calculer $(1,i)T(i,2)=(1\cdot2+i\cdot\bar i,\,i\cdot2)=(2+1,2i)=(3,2i)$; les deux résultats diffèrent (le premier facteur), ce qui prouve la non-commutativité. 2) Développer $((a,b)T(c,d))T(e,f)$ et $(a,b)T((c,d)T(e,f))$ en utilisant la définition et les propriétés de la conjugaison ($\overline{xy}=\bar x\bar y$), vérifier l'égalité des deux expressions. 3) Calculer $(a,b)T(0,1)=(a\cdot1+b\cdot\bar0,b\cdot1)=(a,b)$ et $(0,1)T(a,b)=(0\cdot b+1\cdot\bar a,\,b)=(\bar a,b)$ ; en fait vérifier avec les valeurs adaptées que $(0,1)$ est bien neutre à gauche et à droite selon la définition exacte. 4) Vérifier par substitution directe dans la formule que $(a,b)T(-\frac ab,\frac1{\bar b})=(0,1)$, ce qui donne l'inverse de chaque élément ; conclure avec l'associativité, l'élément neutre, l'existence d'inverses, et la non-commutativité (Q1) que $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T)$ est un groupe non commutatif. 5) Vérifier que pour $(a,b),(c,d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*$,…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2:\quad (x+iy)*(x'+iy')=(x+x')+i(yx'+y')$ Partie I : 1-a) Vérifier que $1*2i=2i$ *(calcul de…
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  EXERCICE4 : (3.5 points) On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall(x,x',y,y')\in\mathbb{R}^{4} ; (x+iy)*(x'+iy')=(xy'+y'x')+iyy'$ Partie I : 1-a) Vérifier que : $1*2i=2$ b) Montrer que la loi de composition interne $*$ n'est pas commutative. 2- Montrer que la loi $*$ est associative. 3-a) Vérifier que : $1*(1+2i)=2$ b) En déduire que $(\mathbb{C}, *)$ n'est pas un groupe. 4- Soit $E$ le sous-ensemble de $\mathbb{C}$ défini par $E=\{x+yi/x\in\mathbb{R}\text{ et }y\in\mathbb{R}^*\}$ a) Montrer que $E$ est stable dans $(\mathbb{C}, *)$ b) Montrer que $(E, *)$ est un groupe non commutatif. Partie II : On considère les sous-ensembles de $E$ définies par : $F=\{yi/y\in\mathbb{R}^*\}$ et $G=\{x+i/x\in\mathbb{R}\}$ 1- Montrer que $F$ est un sous-groupe de $(E, *)$ 2- On considère l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}$ par : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; \varphi(x) = x+i$ a) Montrer que : $\varphi(\mathbb{R})=G$ b) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{C}, *)$ c) En déduire…

  ce que le barème veut · 1. Locate the exercise in the PDF. 2. Transcribe the text exactly as it appears. 3. Format using Markdown and LaTeX for mathematical expressions. 4. Ensure all parts of the exercise are included.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2:\quad (x+iy)*(x'+iy')=(xx'+yx')+iy'$ (c'est-à-dire pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, $z*z'=(xx'+yx')+iy'$). Partie I : 1-a)…
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  1-a) $1*2=2$ (vérifié par calcul direct). b) $*$ non commutative (contre-exemple avec $1*i \ne i*1$ ou similaire). 2) $*$ est associative. 3) $1*(1+2i)=2$, et comme $2$ n'a pas d'inverse (ou l'élément neutre pose problème), $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe. 4) $E$ stable, $(E,*)$ groupe non commutatif d'élément neutre $1$. II-1) $F$ sous-groupe de $(E,*)$. 2) $\varphi(\mathbb{R})=G$, $\varphi$ homomorphisme, donc $(G,*)$ groupe commutatif isomorphe à $(\mathbb{R},+)$.

  ce que le barème veut ·

  I-1-a) Appliquer la définition avec $x=1,y=0,x'=2,y'=0$ : $1*2=(1\cdot2+0)+i\cdot0=2$. b) Calculer $2*1$ et comparer à $1*2$ pour montrer une différence. 2) Développer $(z*z')*z''$ et $z*(z'*z'')$ en coordonnées et vérifier l'égalité algébrique. 3-a) Calculer avec $x=1,y=0,x'=1,y'=2$. b) Montrer que l'élément neutre à droite/gauche n'existe pas de façon cohérente (ou qu'un élément n'a pas d'inverse), concluant que $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe (absence d'élément neutre unique valable pour tous les éléments, notamment $0$ n'a pas d'inverse). 4-a) Montrer que si $x\neq0$ et $x'\neq0$, alors la partie réelle du résultat $xx'+yx'=x'(x+y)$... vérifier que la composante réelle reste non nulle car $x'\neq0$ (et la structure du produit garde $x\ne 0$). b) Trouver l'élément neutre $e=1$ (i.e. $1+0i$), montrer que chaque élément de $E$ admet un inverse, associativité héritée de $\mathbb{C}$, non commutativité déjà montrée en I-1-b. II-1) Vérifier que $F$ contient l'élément neutre convenable, est stable par $*$, et que chaque élément a son inverse dans $F$. 2-a) Montrer par double inclusion que l'image de $\varphi$ est exactement $G$. b) Vérifier $\varphi(a+b)=\varphi(a)*\varphi(b)$…
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère dans $\mathbb C\times\mathbb C^*$ la loi de composition interne $\top$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb C\times\mathbb C^*:\quad (a,b)\top(c,d)=(ad+b\bar c,\ bd)$ où $\bar c$ est le conjugué du nombre complexe $c$.

  1. a) Vérifier que…
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  $(i,2)\top(1,i)=(2,2i)$ ; $(1,i)\top(i,2)=(2,2i)$ donc pas égal à $(i,2)\top(1,i)$ (loi non commutative) ; élément neutre $(0,1)$ ; symétrique de $(a,b)$ est $\left(-\frac{a}{b\bar b},\frac1{\bar b}\right)$ ; $(\mathbb C\times\mathbb C^*,\top)$ est un groupe non commutatif ; $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est un sous-groupe.

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer directement la formule pour les deux calculs et comparer. 1b) Les deux résultats étant différents (ou en tout cas non nécessairement égaux en général), la loi n'est pas commutative — donner un contre-exemple concret si les deux calculs diffèrent. 2) Calculer $((a,b)\top(c,d))\top(e,f)$ et $(a,b)\top((c,d)\top(e,f))$ et vérifier l'égalité des deux composantes en développant. 3) Vérifier $(a,b)\top(0,1)=(a,b)$ et $(0,1)\top(a,b)=(a,b)$ par calcul direct. 4a) Calculer $(a,b)\top(-\frac{a}{b\bar b},\frac1{\bar b})$ et vérifier que cela donne $(0,1)$. 4b) Combiner stabilité (implicite), associativité, élément neutre, existence de symétrique pour conclure à la structure de groupe ; non commutatif d'après 1b). 5a) Vérifier que si $a,c\in\mathbb R$ et $b,d\in\mathbb R^*$ alors $ad+b\bar c=ad+bc\in\mathbb R$ et $bd\in\mathbb R^*$. 5b) $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est non vide (contient le neutre $(0,1)$), stable par $\top$ (5a), et stable par passage au symétrique (vérifier que le symétrique d'un élément réel reste dans $\mathbb R\times\mathbb R^*$) : c'est donc un sous-groupe.
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  EXERCICE5 : (3.5 points) On rappelle que $(M_{2}(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau non commutatif de zéro la matrice $O=(\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix})$ et d'unité la matrice $I=(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix})$, et que $(M_{2}(\mathbb R),+,.)$…
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  Partie I: 1- Pour montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$, on vérifie trois conditions: a) $E$ est non vide: $M(0,0) = (\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix}) = O \in E$. b) Stabilité par addition: Soient $M(x,y), M(x',y') \in E$. $M(x,y)+M(x',y') = (\begin{smallmatrix}x+y&y\\ 2y&x-y\end{smallmatrix}) + (\begin{smallmatrix}x'+y'&y'\\ 2y'&x'-y'\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}(x+x')+(y+y')&y+y'\\ 2(y+y')&(x+x')-(y+y')\end{smallmatrix}) = M(x+x', y+y') \in E$. c) Stabilité par inverse additif: Soit $M(x,y) \in E$. $-M(x,y) = (\begin{smallmatrix}-(x+y)&-y\\ -2y&-(x-y)\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}(-x)+(-y)&-y\\ 2(-y)&(-x)-(-y)\end{smallmatrix}) = M(-x,-y) \in E$. Donc $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$. 2- Pour montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb R),+,.)$, on vérifie: a) $E$ est non vide (déjà fait). b) Stabilité par combinaison linéaire: Soient $M(x,y), M(x',y') \in E$ et $\alpha, \beta \in \mathbb R$.…

  ce que le barème veut ·

  Part I: 1. Verify non-emptiness, closure under addition, and closure under additive inverse. 2. Verify non-emptiness and closure under linear combinations. 3. Perform matrix multiplication and identify the resulting matrix form. Use this to deduce ring properties. 4. Find zero divisors to show it's not a field. Part II: 1. Prove the equivalence using the irrationality of $\sqrt{3}$. 2. Verify non-emptiness, closure under multiplication, and closure under inverse for $F-\{0\}$. 3. Prove surjectivity and homomorphism property for $\varphi$, then deduce group properties for $G-\{O\}$. 4. Combine results to show $(G,+,\times)$ is a commutative field.
• NATIONAL 2019 · rattrapage10 pts
  On considère l'espace vectoriel de dimension $2$ noté $(V, +, \cdot)$. Soit $(i, j)$ une base de $V$. On pose : $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$. Soit $\times$ la loi de composition interne définie par :…
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  1-a $(e_1, e_2)$ est une base car $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$ sont linéairement indépendants (déterminant $\neq 0$). 1-b Par la définition de $\times$ :

  • $e_1 \times e_1 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = e_1$
  • $e_1 \times e_2 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = e_1$ (correction : $e_1 \times e_2 = e_2$ si coefficients $(1,0) \times (0,1)$)
  • $e_2 \times e_1 = e_2$
  • $e_2 \times e_2 = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 = e_2$ (correction : $0$)

  1-c Vérification : $(Xe_1 + Ye_2) \times (X'e_1 + Y'e_2) = XX'e_1 + YY'e_2$ ✓ 2 Commutativité : $A \times B = XX'e_1 + YY'e_2 = X'Xe_1 + Y'Ye_2 = B \times A$ ✓ 2-b Associativité : $(A \times B) \times C = (XX'Xe_1 + YY'Ye_2) \times (X''e_1 + Y''e_2) = XX'X''e_1 + YY'Y''e_2 = A \times (B \times C)$ ✓ 2-c Élément neutre : $e = e_1$ car $e_1 \times u = u$ pour tout $u \in V$. 2-d $(V, +, \times)$ est anneau commutatif unitaire ✓ 3-a $(E_u, +)$ : $0 \in E_u$; si $x_1u, x_2u \in E_u$ alors $(x_1 + x_2)u \in E_u$; si $xu \in E_u$ alors $-xu \in E_u$ ✓ 3-b $(E_u, +, \cdot)$ sous-espace : vérifier fermeture pour $+$ et multiplication scalaire ✓ 3-c $E_u$ stable pour $\times$ $\Leftrightarrow$…

  ce que le barème veut ·

  1-a Montrer que $(e_1, e_2)$ est libre : si $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = 0$, alors $(\lambda_1 + \lambda_2)i + (\lambda_1 - \lambda_2)j = 0$, d'où $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. 1-b Appliquer la définition de $\times$ : $(Xe_1 + Ye_2) \times (X'e_1 + Y'e_2) = XX'e_1 + YY'e_2$.

  • Pour $e_1 \times e_1 : X=1, Y=0, X'=1, Y'=0 \Rightarrow e_1$
  • Pour $e_1 \times e_2 : X=1, Y=0, X'=0, Y'=1 \Rightarrow e_2$ (correction du corrigé)
  • Pour $e_2 \times e_2 : X=0, Y=1, X'=0, Y'=1 \Rightarrow 0$

  1-c Développement direct par bilinéarité. 2 Commutativité : $A \times B$ et $B \times A$ donnent la même expression $XX'e_1 + YY'e_2$. 2-b Associativité : développer $(A \times B) \times C$ et $A \times (B \times C)$. 2-c Chercher $e \in V$ tel que $e \times A = A$ pour tout $A$ : $e = e_1$ convient. 2-d Conclusion : $(V, +, \times)$ est anneau commutatif unitaire d'élément neutre $e_1$. 3-a Vérifier les axiomes de sous-groupe : $0_V \in E_u$, fermeture pour addition et inverse. 3-b Même principe : vérifier fermeture pour la multiplication scalaire par éléments de $\mathbb{R}$. 3-c Dire : $E_u$ stable $\Leftrightarrow \forall x, xu \times xu \in E_u$.…
• NATIONAL 2019 · normale3 pts
  EXERCICE1: (3.5 points) On rappelle que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif et que $(M_2 (\mathbb{R}), +,\times)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice…
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  1.a) Commutativity: $(x+yi)*(a+bi) = xa+(x^2b+a^2y)i$. $(a+bi)*(x+yi) = ax+(a^2y+x^2b)i$. Since $xa=ax$ and $x^2b+a^2y = a^2y+x^2b$, the law $*$ is commutative. 1.b) Associativity: Let $z_1=x+yi$, $z_2=a+bi$, $z_3=c+di$. $(z_1*z_2)*z_3 = (xa+(x^2b+a^2y)i)* (c+di) = (xa)c + ((xa)^2d + c^2(x^2b+a^2y))i = xac + (x^2a^2d + c^2x^2b + c^2a^2y)i$. $z_1*(z_2*z_3) = (x+yi)*(ac+(a^2d+c^2b)i) = x(ac) + (x^2(a^2d+c^2b) + (ac)^2y)i = xac + (x^2a^2d + x^2c^2b + a^2c^2y)i$. The coefficients of $i$ are not equal in general ($c^2a^2y \neq a^2c^2y$ if $x \neq 0$). There is a typo in the problem statement. The original problem statement for the law $*$ is $(x+yi)*(a+bi)=xa+(x^2b+a^2y)i$. If it was $(x+yi)*(a+bi)=xa+(xb+ay)i$, then it would be associative. Given the problem, it is not associative. 1.c) Neutral element $e=u+vi$: $(x+yi)*(u+vi) = x+yi \implies xu+(x^2v+u^2y)i = x+yi$. So $xu=x \implies u=1$ (for $x \neq 0$). Then $x^2v+u^2y=y \implies x^2v+y=y \implies x^2v=0 \implies v=0$ (for $x \neq 0$). So $e=1+0i=1$. 1.d) Symmetric element $x'+y'i$ for $x+yi$: $(x+yi)*(x'+y'i) = 1$. So $xx'+(x^2y'+(x')^2y)i = 1$. $xx'=1 \implies x'=1/x$.…

  ce que le barème veut ·

  1.a) Verify commutativity by comparing $(x+yi)*(a+bi)$ and $(a+bi)*(x+yi)$. 1.b) Verify associativity by comparing $((x+yi)*(a+bi))*(c+di)$ and $(x+yi)*((a+bi)*(c+di))$. Note: there is a typo in the problem statement for the law *. 1.c) Find $e=u+vi$ such that $(x+yi)*e = x+yi$. Solve for $u$ and $v$. 1.d) Find $x'+y'i$ such that $(x+yi)*(x'+y'i) = e$. Solve for $x'$ and $y'$. Note: there is a typo in the problem statement for the symmetric element. 2.a) Check if $xa \in \mathbb{R}^*$ for $x,a \in \mathbb{R}^*$ and if $x^2b+a^2y \in \mathbb{R}$ for $x,a \in \mathbb{R}^*$ and $y,b \in \mathbb{R}$. 2.b) Verify the group axioms: closure (done in 2.a), associativity (assuming corrected law), identity element (from 1.c), inverse element (from 1.d), and commutativity (from 1.a). 3. Verify the subgroup criteria: $G \subset E$, $G \neq \emptyset$, closure under $*$ and closure under inverse. 4.a) Check if the product of two matrices in $F$ results in a matrix in $F$. 4.b) Check if $\varphi$ is a homomorphism (i.e., $\varphi(z_1*z_2) = \varphi(z_1)\times\varphi(z_2)$) and if it is bijective (injective and surjective). Note: there is a typo in the problem statement for the law *. 4.c) Use…
• NATIONAL 2018 · rattrapage3 pts
  On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, et que $(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)$ est un espace vectoriel…
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  1. $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}), +)$ car :

  • $O = M(0,0) \in E$
  • Pour tout $M(x,y), M(x',y') \in E$, on a $M(x,y) + M(x',y') = M(x+x', y+y') \in E$ (stabilité)
  • Pour tout $M(x,y) \in E$, on a $-M(x,y) = M(-x,-y) \in E$ (inverse)

  2.a) $E$ est un sous-espace vectoriel car $O \in E$, il est stable par addition (montré en 1) et par multiplication scalaire : pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $M(x,y) \in E$, on a $\lambda M(x,y) = M(\lambda x, \lambda y) \in E$. 2.b) Les matrices $M(1,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $M(0,1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ forment une base de $E$. Donc $\dim(E) = 2$. 3.a) Pour $M(x,y), M(x',y') \in E$ : $M(x,y) \times M(x',y') = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' & y' \\ -y' & x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xx' - yy' & xy' + yx' \\ -(xy' + yx') & xx' - yy' \end{pmatrix} = M(xx' - yy', xy' + yx') \in E$ 3.b) $(E, +, \times)$ est un anneau car :

  • $(E, +)$ est un groupe abélien
  • La multiplication est associative (héritée de $M_2(\mathbb{R})$)
  • $I = M(1,0) \in E$ est l'élément unité
  • La multiplication est commutative :…

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  La résolution repose sur les propriétés de structure algébrique :

  1. Sous-groupe : Vérifier que le zéro appartient et qu'il y a stabilité par addition et inverse.
  2. Sous-espace vectoriel : Vérifier que $O \in E$, stabilité par addition et par multiplication scalaire.
  3. Dimension : Identifier deux matrices linéairement indépendantes qui engendrent $E$ : $M(1,0)$ et $M(0,1)$.
  4. Stabilité pour $\times$ : Effectuer le produit matriciel $M(x,y) \times M(x',y')$ et vérifier que le résultat a la forme $M(a,b)$.
  5. Anneau commutatif : Vérifier l'associativité de $\times$, l'existence d'un élément unité $I$, et la commutativité du produit.
  6. Stabilité pour $T$ : Montrer que $M(x,y) \times M(x',y') - M(5,0) \in E$.
  7. Homomorphisme : Utiliser la linéarité de l'addition des matrices.
  8. Groupe commutatif : Identifier l'élément neutre pour $T$ dans $E^*$ et montrer l'existence d'inverses.
  9. Corps commutatif : Rassembler les propriétés précédentes en vérifiant que tout élément non nul de $E$ possède un inverse pour $T$.