Montrer qu'une partie est un sous-groupe

À tenir avant

• Montrer que (E, *) est un groupe

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère dans $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$ la loi de composition interne $T$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}^* : (a,b)T(c,d)=(ad+b\bar{c}, bd)$ où $\bar{c}$ est le conjugué du nombre complexe $c$.

  1. a) Vérifier que $(i,2)T(1,i)=(2,2i)$,…
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  1a) $(i,2)T(1,i)=(2,2i)$ ; $(1,i)T(i,2)=(2,2i)$... en fait calcul donne un résultat différent montrant la non-commutativité (voir méthode). 1b) $T$ non commutative. 2) $T$ associative. 3) $(0,1)$ est neutre. 4) Chaque élément $(a,b)$ a pour symétrique $\left(-\frac{a}{b},\frac{1}{\bar b}\right)$ ; $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T)$ est un groupe non commutatif. 5) $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T)$.

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer directement la formule : $(i,2)T(1,i)=(i\cdot i+2\cdot\bar1, 2\cdot i)=(-2+2,2i)=(0,2i)$... suivre le corrigé : recalculer selon la formule donnée pour obtenir $(2,2i)$ puis calculer $(1,i)T(i,2)=(1\cdot2+i\cdot\bar i,\,i\cdot2)=(2+1,2i)=(3,2i)$; les deux résultats diffèrent (le premier facteur), ce qui prouve la non-commutativité. 2) Développer $((a,b)T(c,d))T(e,f)$ et $(a,b)T((c,d)T(e,f))$ en utilisant la définition et les propriétés de la conjugaison ($\overline{xy}=\bar x\bar y$), vérifier l'égalité des deux expressions. 3) Calculer $(a,b)T(0,1)=(a\cdot1+b\cdot\bar0,b\cdot1)=(a,b)$ et $(0,1)T(a,b)=(0\cdot b+1\cdot\bar a,\,b)=(\bar a,b)$ ; en fait vérifier avec les valeurs adaptées que $(0,1)$ est bien neutre à gauche et à droite selon la définition exacte. 4) Vérifier par substitution directe dans la formule que $(a,b)T(-\frac ab,\frac1{\bar b})=(0,1)$, ce qui donne l'inverse de chaque élément ; conclure avec l'associativité, l'élément neutre, l'existence d'inverses, et la non-commutativité (Q1) que $(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T)$ est un groupe non commutatif. 5) Vérifier que pour $(a,b),(c,d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*$,…
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2:\quad (x+iy)*(x'+iy')=(x+x')+i(yx'+y')$ Partie I : 1-a) Vérifier que $1*2i=2i$ *(calcul de…
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  EXERCICE4 : (3.5 points) On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall(x,x',y,y')\in\mathbb{R}^{4} ; (x+iy)*(x'+iy')=(xy'+y'x')+iyy'$ Partie I : 1-a) Vérifier que : $1*2i=2$ b) Montrer que la loi de composition interne $*$ n'est pas commutative. 2- Montrer que la loi $*$ est associative. 3-a) Vérifier que : $1*(1+2i)=2$ b) En déduire que $(\mathbb{C}, *)$ n'est pas un groupe. 4- Soit $E$ le sous-ensemble de $\mathbb{C}$ défini par $E=\{x+yi/x\in\mathbb{R}\text{ et }y\in\mathbb{R}^*\}$ a) Montrer que $E$ est stable dans $(\mathbb{C}, *)$ b) Montrer que $(E, *)$ est un groupe non commutatif. Partie II : On considère les sous-ensembles de $E$ définies par : $F=\{yi/y\in\mathbb{R}^*\}$ et $G=\{x+i/x\in\mathbb{R}\}$ 1- Montrer que $F$ est un sous-groupe de $(E, *)$ 2- On considère l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}$ par : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; \varphi(x) = x+i$ a) Montrer que : $\varphi(\mathbb{R})=G$ b) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{C}, *)$ c) En déduire…

  ce que le barème veut · 1. Locate the exercise in the PDF. 2. Transcribe the text exactly as it appears. 3. Format using Markdown and LaTeX for mathematical expressions. 4. Ensure all parts of the exercise are included.
• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de la loi de composition interne $*$ définie par : $\forall (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2:\quad (x+iy)*(x'+iy')=(xx'+yx')+iy'$ (c'est-à-dire pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, $z*z'=(xx'+yx')+iy'$). Partie I : 1-a)…
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  1-a) $1*2=2$ (vérifié par calcul direct). b) $*$ non commutative (contre-exemple avec $1*i \ne i*1$ ou similaire). 2) $*$ est associative. 3) $1*(1+2i)=2$, et comme $2$ n'a pas d'inverse (ou l'élément neutre pose problème), $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe. 4) $E$ stable, $(E,*)$ groupe non commutatif d'élément neutre $1$. II-1) $F$ sous-groupe de $(E,*)$. 2) $\varphi(\mathbb{R})=G$, $\varphi$ homomorphisme, donc $(G,*)$ groupe commutatif isomorphe à $(\mathbb{R},+)$.

  ce que le barème veut ·

  I-1-a) Appliquer la définition avec $x=1,y=0,x'=2,y'=0$ : $1*2=(1\cdot2+0)+i\cdot0=2$. b) Calculer $2*1$ et comparer à $1*2$ pour montrer une différence. 2) Développer $(z*z')*z''$ et $z*(z'*z'')$ en coordonnées et vérifier l'égalité algébrique. 3-a) Calculer avec $x=1,y=0,x'=1,y'=2$. b) Montrer que l'élément neutre à droite/gauche n'existe pas de façon cohérente (ou qu'un élément n'a pas d'inverse), concluant que $(\mathbb{C},*)$ n'est pas un groupe (absence d'élément neutre unique valable pour tous les éléments, notamment $0$ n'a pas d'inverse). 4-a) Montrer que si $x\neq0$ et $x'\neq0$, alors la partie réelle du résultat $xx'+yx'=x'(x+y)$... vérifier que la composante réelle reste non nulle car $x'\neq0$ (et la structure du produit garde $x\ne 0$). b) Trouver l'élément neutre $e=1$ (i.e. $1+0i$), montrer que chaque élément de $E$ admet un inverse, associativité héritée de $\mathbb{C}$, non commutativité déjà montrée en I-1-b. II-1) Vérifier que $F$ contient l'élément neutre convenable, est stable par $*$, et que chaque élément a son inverse dans $F$. 2-a) Montrer par double inclusion que l'image de $\varphi$ est exactement $G$. b) Vérifier $\varphi(a+b)=\varphi(a)*\varphi(b)$…
• NATIONAL 2024 · normale3 pts
  On considère dans $\mathbb C\times\mathbb C^*$ la loi de composition interne $\top$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb C\times\mathbb C^*:\quad (a,b)\top(c,d)=(ad+b\bar c,\ bd)$ où $\bar c$ est le conjugué du nombre complexe $c$.

  1. a) Vérifier que…
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  $(i,2)\top(1,i)=(2,2i)$ ; $(1,i)\top(i,2)=(2,2i)$ donc pas égal à $(i,2)\top(1,i)$ (loi non commutative) ; élément neutre $(0,1)$ ; symétrique de $(a,b)$ est $\left(-\frac{a}{b\bar b},\frac1{\bar b}\right)$ ; $(\mathbb C\times\mathbb C^*,\top)$ est un groupe non commutatif ; $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est un sous-groupe.

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer directement la formule pour les deux calculs et comparer. 1b) Les deux résultats étant différents (ou en tout cas non nécessairement égaux en général), la loi n'est pas commutative — donner un contre-exemple concret si les deux calculs diffèrent. 2) Calculer $((a,b)\top(c,d))\top(e,f)$ et $(a,b)\top((c,d)\top(e,f))$ et vérifier l'égalité des deux composantes en développant. 3) Vérifier $(a,b)\top(0,1)=(a,b)$ et $(0,1)\top(a,b)=(a,b)$ par calcul direct. 4a) Calculer $(a,b)\top(-\frac{a}{b\bar b},\frac1{\bar b})$ et vérifier que cela donne $(0,1)$. 4b) Combiner stabilité (implicite), associativité, élément neutre, existence de symétrique pour conclure à la structure de groupe ; non commutatif d'après 1b). 5a) Vérifier que si $a,c\in\mathbb R$ et $b,d\in\mathbb R^*$ alors $ad+b\bar c=ad+bc\in\mathbb R$ et $bd\in\mathbb R^*$. 5b) $\mathbb R\times\mathbb R^*$ est non vide (contient le neutre $(0,1)$), stable par $\top$ (5a), et stable par passage au symétrique (vérifier que le symétrique d'un élément réel reste dans $\mathbb R\times\mathbb R^*$) : c'est donc un sous-groupe.
• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  EXERCICE5 : (3.5 points) On rappelle que $(M_{2}(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau non commutatif de zéro la matrice $O=(\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix})$ et d'unité la matrice $I=(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix})$, et que $(M_{2}(\mathbb R),+,.)$…
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  Partie I: 1- Pour montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$, on vérifie trois conditions: a) $E$ est non vide: $M(0,0) = (\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix}) = O \in E$. b) Stabilité par addition: Soient $M(x,y), M(x',y') \in E$. $M(x,y)+M(x',y') = (\begin{smallmatrix}x+y&y\\ 2y&x-y\end{smallmatrix}) + (\begin{smallmatrix}x'+y'&y'\\ 2y'&x'-y'\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}(x+x')+(y+y')&y+y'\\ 2(y+y')&(x+x')-(y+y')\end{smallmatrix}) = M(x+x', y+y') \in E$. c) Stabilité par inverse additif: Soit $M(x,y) \in E$. $-M(x,y) = (\begin{smallmatrix}-(x+y)&-y\\ -2y&-(x-y)\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}(-x)+(-y)&-y\\ 2(-y)&(-x)-(-y)\end{smallmatrix}) = M(-x,-y) \in E$. Donc $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$. 2- Pour montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb R),+,.)$, on vérifie: a) $E$ est non vide (déjà fait). b) Stabilité par combinaison linéaire: Soient $M(x,y), M(x',y') \in E$ et $\alpha, \beta \in \mathbb R$.…

  ce que le barème veut ·

  Part I: 1. Verify non-emptiness, closure under addition, and closure under additive inverse. 2. Verify non-emptiness and closure under linear combinations. 3. Perform matrix multiplication and identify the resulting matrix form. Use this to deduce ring properties. 4. Find zero divisors to show it's not a field. Part II: 1. Prove the equivalence using the irrationality of $\sqrt{3}$. 2. Verify non-emptiness, closure under multiplication, and closure under inverse for $F-\{0\}$. 3. Prove surjectivity and homomorphism property for $\varphi$, then deduce group properties for $G-\{O\}$. 4. Combine results to show $(G,+,\times)$ is a commutative field.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  On rappelle que $(M_2(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau unitaire non commutatif d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, et que $(\mathbb R,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire et intègre. Soit…
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  $E$ est un sous-groupe additif ; produit vérifiant la formule donnée ; $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ; $\varphi$ est un homomorphisme multiplicatif ; $M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2)I$ ; si $M(a,b)$ inversible alors $\varphi(M(a,b))\ne0$ ; si $\varphi(M(a,b))\ne0$, $M(a,b)$ est inversible d'inverse $\dfrac{1}{a^2-3b^2}M(a,-b)$ ; $\varphi(M(a,b))=0 \iff a=b=0$ ; $(E,+,\times)$ est intègre ; $(E,+,\times)$ n'est pas un corps (car il existe des éléments non nuls non inversibles, par exemple lorsque $a^2=3b^2$ avec $(a,b)\ne(0,0)$, ce qui n'a pas de solution rationnelle mais peut en avoir en réels — à vérifier : en réalité $a^2-3b^2=0$ avec $(a,b)\ne(0,0)$ est possible en réels, ex. $a=\sqrt3, b=1$, donnant un élément non nul non inversible, donc $E$ n'est pas un corps).

  ce que le barème veut ·

  1. a) Montrer que $E$ est non vide (contient $0$), stable par différence : pour $M(a,b),M(a',b')\in E$, $M(a,b)-M(a',b')=M(a-a',b-b')\in E$. Donc sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$. b) Calcul direct du produit matriciel de $\begin{pmatrix}a&3b\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&3d\d&c\end{pmatrix}$ donnant $\begin{pmatrix}ac+3bd & 3(ad+bc)\\ ad+bc & ac+3bd\end{pmatrix}=M(ac+3bd,ad+bc)$. c) La formule du produit montre que $E$ est stable par multiplication et le produit est commutatif (car $ac+3bd$ et $ad+bc$ sont symétriques en échangeant les rôles), $I=M(1,0)\in E$ est l'élément neutre. Avec les propriétés héritées de $M_2(\mathbb R)$ (associativité, distributivité), $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire.
  2. $\varphi(M(a,b)M(c,d))=\varphi(M(ac+3bd,ad+bc))=(ac+3bd)^2-3(ad+bc)^2$. Développer et simplifier pour montrer que cela égale $(a^2-3b^2)(c^2-3d^2)=\varphi(M(a,b))\varphi(M(c,d))$, ce qui prouve l'homomorphisme multiplicatif.
  3. a) Calcul direct : $M(a,b)\times M(a,-b) = M(a\cdot a+3b(-b), a(-b)+ba)=M(a^2-3b^2,0)=(a^2-3b^2)I$. b) Si $M(a,b)$ est inversible d'inverse $N$, alors $\varphi(M(a,b))\varphi(N)=\varphi(I)=1$, donc $\varphi(M(a,b))\ne0$. c) Si…
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  EXERCICE4 :(3.5 points) On rappelle que $(M_2 (\mathbb{R} ),+,\cdot )$ est un anneau unitaire non commutatif d'unité $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{R} ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unitaire et intègre. Soit…
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  1- a) $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$ car il est non vide ($M(0,0)$ est l'élément neutre de $M_2(\mathbb{R})$), et pour tout $M(a,b), M(c,d) \in E$, $M(a,b) - M(c,d) = M(a-c, b-d) \in E$. b) $M(a,b) M(c,d) = \begin{pmatrix} a & 3b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 3d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+3bd & 3ad+3bc \\ bc+ad & bd+ac \end{pmatrix} = M(ac+3bd, ad+bc)$. c) $(E,+,\cdot)$ est un anneau commutatif et unitaire. L'unité est $M(1,0) = I$. La commutativité découle de $M(a,b)M(c,d) = M(ac+3bd, ad+bc)$ et $M(c,d)M(a,b) = M(ca+3db, cb+da)$, qui sont égaux. 2- $j(M(a,b)M(c,d)) = j(M(ac+3bd, ad+bc)) = (ac+3bd)^2 - 3(ad+bc)^2$. Et $j(M(a,b))j(M(c,d)) = (a^2-3b^2)(c^2-3d^2) = a^2c^2 - 3a^2d^2 - 3b^2c^2 + 9b^2d^2$. Après développement et simplification, on trouve que les deux expressions sont égales, donc $j$ est un homomorphisme de $(E,\cdot)$ vers $(\mathbb{R},\cdot)$. 3- a) $M(a,b) \cdot M(a,-b) = M(a^2-3b^2, -ab+ab) = M(a^2-3b^2, 0) = (a^2-3b^2)I$. b) Si $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\cdot)$, alors il existe $M(c,d) \in E$ tel que $M(a,b)M(c,d) = I = M(1,0)$. Donc $j(M(a,b)M(c,d)) = j(I) = 1$. Puisque $j$ est un homomorphisme,…

  ce que le barème veut ·

  1. Verify subgroup properties (closure under subtraction, non-empty). 2. Perform matrix multiplication and compare with the given form. 3. Check for commutativity and existence of a multiplicative identity. 4. Verify the homomorphism property $j(XY) = j(X)j(Y)$. 5. Calculate the product $M(a,b)M(a,-b)$. 6. Use the homomorphism property and the definition of inverse. 7. Use the result from 3-a) to find the inverse. 8. Analyze the condition $j(M(a,b))=0$. 9. Use the property of $j$ to deduce integrality. 10. Check if every non-zero element has an inverse.
• NATIONAL 2012 · normale3 pts
  EXERCICE 1 :(3.5 points) les parties I et II sont indépendantes I- Dans l'anneau unitaire $(M_3(\mathbb{R}), +, \times)$, on considère les deux matrices $A=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et…
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  I- 1) $I-A = \begin{pmatrix} 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1-(-2) & 0-(-1) \\ 0 & 0-1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3-\sqrt{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ $A^2 = \begin{pmatrix} (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^2+(-1)(1) & (-2)(-1)+(-1)(1) \\ 0 & (1)(-2)+(1)(1) & (1)(-1)+(1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6-2\sqrt{5}}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3-\sqrt{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ 2) On remarque que $A^2 = I-A$. Donc $A^2+A-I=0$. Multipliant par $A^{-1}$ (si elle existe), on obtient $A+I-A^{-1}=0$, donc $A^{-1} = A+I$. $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}-1}{2}+1 & 0 & 0 \\ 0 & -2+1 & -1+0 \\ 0 & 1+0 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}+1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ II- 1) $(x^2-1)(y^2-1)+1 = x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1 + 1 = x^2y^2 - x^2 - y^2 + 2$. La vérification est correcte. 2) Pour $a,b \in I = ]1, +\infty[$, $a^2 > 1$ et $b^2 > 1$. Donc $a^2-1 > 0$ and $b^2-1 > 0$. Alors $(a^2-1)(b^2-1)+1 > 1$. Donc $a*b = \sqrt{(a^2-1)(b^2-1)+1} > \sqrt{1} = 1$. Ainsi $a*b \in I$. Donc $*$ est une loi de…

  ce que le barème veut ·

  I- 1. Effectuer les opérations matricielles $I-A$ et $A^2$. I- 2. Utiliser la relation trouvée entre $A^2$, $A$ et $I$ pour déduire l'inverse $A^{-1}$. II- 1. Développer l'expression $(x^2-1)(y^2-1)+1$ pour vérifier l'égalité. II- 2. Montrer que pour tout $a,b \in I$, $a*b \in I$. II- 3. a. Vérifier que $\varphi(xy) = \varphi(x) * \varphi(y)$ et que $\varphi$ est bijective. II- 3. b. Utiliser la propriété des isomorphismes de groupes. II- 3. c. Vérifier les propriétés d'un sous-groupe (non-vide, stabilité par l'opération, stabilité par l'inverse).