Montrer que (E, +, ×) est un anneau ou un corps

À tenir avant

• Montrer que (E, *) est un groupe

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · normale3 pts
  EXERCICE5 : (3.5 points) On rappelle que $(M_{2}(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau non commutatif de zéro la matrice $O=(\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix})$ et d'unité la matrice $I=(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix})$, et que $(M_{2}(\mathbb R),+,.)$…
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  Partie I: 1- Pour montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$, on vérifie trois conditions: a) $E$ est non vide: $M(0,0) = (\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix}) = O \in E$. b) Stabilité par addition: Soient $M(x,y), M(x',y') \in E$. $M(x,y)+M(x',y') = (\begin{smallmatrix}x+y&y\\ 2y&x-y\end{smallmatrix}) + (\begin{smallmatrix}x'+y'&y'\\ 2y'&x'-y'\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}(x+x')+(y+y')&y+y'\\ 2(y+y')&(x+x')-(y+y')\end{smallmatrix}) = M(x+x', y+y') \in E$. c) Stabilité par inverse additif: Soit $M(x,y) \in E$. $-M(x,y) = (\begin{smallmatrix}-(x+y)&-y\\ -2y&-(x-y)\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}(-x)+(-y)&-y\\ 2(-y)&(-x)-(-y)\end{smallmatrix}) = M(-x,-y) \in E$. Donc $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$. 2- Pour montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb R),+,.)$, on vérifie: a) $E$ est non vide (déjà fait). b) Stabilité par combinaison linéaire: Soient $M(x,y), M(x',y') \in E$ et $\alpha, \beta \in \mathbb R$.…

  ce que le barème veut ·

  Part I: 1. Verify non-emptiness, closure under addition, and closure under additive inverse. 2. Verify non-emptiness and closure under linear combinations. 3. Perform matrix multiplication and identify the resulting matrix form. Use this to deduce ring properties. 4. Find zero divisors to show it's not a field. Part II: 1. Prove the equivalence using the irrationality of $\sqrt{3}$. 2. Verify non-emptiness, closure under multiplication, and closure under inverse for $F-\{0\}$. 3. Prove surjectivity and homomorphism property for $\varphi$, then deduce group properties for $G-\{O\}$. 4. Combine results to show $(G,+,\times)$ is a commutative field.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  On rappelle que $(M_2(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau unitaire non commutatif d'unité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, et que $(\mathbb R,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire et intègre. Soit…
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  $E$ est un sous-groupe additif ; produit vérifiant la formule donnée ; $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ; $\varphi$ est un homomorphisme multiplicatif ; $M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2)I$ ; si $M(a,b)$ inversible alors $\varphi(M(a,b))\ne0$ ; si $\varphi(M(a,b))\ne0$, $M(a,b)$ est inversible d'inverse $\dfrac{1}{a^2-3b^2}M(a,-b)$ ; $\varphi(M(a,b))=0 \iff a=b=0$ ; $(E,+,\times)$ est intègre ; $(E,+,\times)$ n'est pas un corps (car il existe des éléments non nuls non inversibles, par exemple lorsque $a^2=3b^2$ avec $(a,b)\ne(0,0)$, ce qui n'a pas de solution rationnelle mais peut en avoir en réels — à vérifier : en réalité $a^2-3b^2=0$ avec $(a,b)\ne(0,0)$ est possible en réels, ex. $a=\sqrt3, b=1$, donnant un élément non nul non inversible, donc $E$ n'est pas un corps).

  ce que le barème veut ·

  1. a) Montrer que $E$ est non vide (contient $0$), stable par différence : pour $M(a,b),M(a',b')\in E$, $M(a,b)-M(a',b')=M(a-a',b-b')\in E$. Donc sous-groupe de $(M_2(\mathbb R),+)$. b) Calcul direct du produit matriciel de $\begin{pmatrix}a&3b\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&3d\d&c\end{pmatrix}$ donnant $\begin{pmatrix}ac+3bd & 3(ad+bc)\\ ad+bc & ac+3bd\end{pmatrix}=M(ac+3bd,ad+bc)$. c) La formule du produit montre que $E$ est stable par multiplication et le produit est commutatif (car $ac+3bd$ et $ad+bc$ sont symétriques en échangeant les rôles), $I=M(1,0)\in E$ est l'élément neutre. Avec les propriétés héritées de $M_2(\mathbb R)$ (associativité, distributivité), $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire.
  2. $\varphi(M(a,b)M(c,d))=\varphi(M(ac+3bd,ad+bc))=(ac+3bd)^2-3(ad+bc)^2$. Développer et simplifier pour montrer que cela égale $(a^2-3b^2)(c^2-3d^2)=\varphi(M(a,b))\varphi(M(c,d))$, ce qui prouve l'homomorphisme multiplicatif.
  3. a) Calcul direct : $M(a,b)\times M(a,-b) = M(a\cdot a+3b(-b), a(-b)+ba)=M(a^2-3b^2,0)=(a^2-3b^2)I$. b) Si $M(a,b)$ est inversible d'inverse $N$, alors $\varphi(M(a,b))\varphi(N)=\varphi(I)=1$, donc $\varphi(M(a,b))\ne0$. c) Si…
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  EXERCICE4 :(3.5 points) On rappelle que $(M_2 (\mathbb{R} ),+,\cdot )$ est un anneau unitaire non commutatif d'unité $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et que $(\mathbb{R} ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unitaire et intègre. Soit…
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  1- a) $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$ car il est non vide ($M(0,0)$ est l'élément neutre de $M_2(\mathbb{R})$), et pour tout $M(a,b), M(c,d) \in E$, $M(a,b) - M(c,d) = M(a-c, b-d) \in E$. b) $M(a,b) M(c,d) = \begin{pmatrix} a & 3b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 3d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+3bd & 3ad+3bc \\ bc+ad & bd+ac \end{pmatrix} = M(ac+3bd, ad+bc)$. c) $(E,+,\cdot)$ est un anneau commutatif et unitaire. L'unité est $M(1,0) = I$. La commutativité découle de $M(a,b)M(c,d) = M(ac+3bd, ad+bc)$ et $M(c,d)M(a,b) = M(ca+3db, cb+da)$, qui sont égaux. 2- $j(M(a,b)M(c,d)) = j(M(ac+3bd, ad+bc)) = (ac+3bd)^2 - 3(ad+bc)^2$. Et $j(M(a,b))j(M(c,d)) = (a^2-3b^2)(c^2-3d^2) = a^2c^2 - 3a^2d^2 - 3b^2c^2 + 9b^2d^2$. Après développement et simplification, on trouve que les deux expressions sont égales, donc $j$ est un homomorphisme de $(E,\cdot)$ vers $(\mathbb{R},\cdot)$. 3- a) $M(a,b) \cdot M(a,-b) = M(a^2-3b^2, -ab+ab) = M(a^2-3b^2, 0) = (a^2-3b^2)I$. b) Si $M(a,b)$ est inversible dans $(E,\cdot)$, alors il existe $M(c,d) \in E$ tel que $M(a,b)M(c,d) = I = M(1,0)$. Donc $j(M(a,b)M(c,d)) = j(I) = 1$. Puisque $j$ est un homomorphisme,…

  ce que le barème veut ·

  1. Verify subgroup properties (closure under subtraction, non-empty). 2. Perform matrix multiplication and compare with the given form. 3. Check for commutativity and existence of a multiplicative identity. 4. Verify the homomorphism property $j(XY) = j(X)j(Y)$. 5. Calculate the product $M(a,b)M(a,-b)$. 6. Use the homomorphism property and the definition of inverse. 7. Use the result from 3-a) to find the inverse. 8. Analyze the condition $j(M(a,b))=0$. 9. Use the property of $j$ to deduce integrality. 10. Check if every non-zero element has an inverse.
• NATIONAL 2019 · rattrapage10 pts
  On considère l'espace vectoriel de dimension $2$ noté $(V, +, \cdot)$. Soit $(i, j)$ une base de $V$. On pose : $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$. Soit $\times$ la loi de composition interne définie par :…
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  1-a $(e_1, e_2)$ est une base car $e_1 = i + j$ et $e_2 = i - j$ sont linéairement indépendants (déterminant $\neq 0$). 1-b Par la définition de $\times$ :

  • $e_1 \times e_1 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = e_1$
  • $e_1 \times e_2 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 = e_1$ (correction : $e_1 \times e_2 = e_2$ si coefficients $(1,0) \times (0,1)$)
  • $e_2 \times e_1 = e_2$
  • $e_2 \times e_2 = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 = e_2$ (correction : $0$)

  1-c Vérification : $(Xe_1 + Ye_2) \times (X'e_1 + Y'e_2) = XX'e_1 + YY'e_2$ ✓ 2 Commutativité : $A \times B = XX'e_1 + YY'e_2 = X'Xe_1 + Y'Ye_2 = B \times A$ ✓ 2-b Associativité : $(A \times B) \times C = (XX'Xe_1 + YY'Ye_2) \times (X''e_1 + Y''e_2) = XX'X''e_1 + YY'Y''e_2 = A \times (B \times C)$ ✓ 2-c Élément neutre : $e = e_1$ car $e_1 \times u = u$ pour tout $u \in V$. 2-d $(V, +, \times)$ est anneau commutatif unitaire ✓ 3-a $(E_u, +)$ : $0 \in E_u$; si $x_1u, x_2u \in E_u$ alors $(x_1 + x_2)u \in E_u$; si $xu \in E_u$ alors $-xu \in E_u$ ✓ 3-b $(E_u, +, \cdot)$ sous-espace : vérifier fermeture pour $+$ et multiplication scalaire ✓ 3-c $E_u$ stable pour $\times$ $\Leftrightarrow$…

  ce que le barème veut ·

  1-a Montrer que $(e_1, e_2)$ est libre : si $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = 0$, alors $(\lambda_1 + \lambda_2)i + (\lambda_1 - \lambda_2)j = 0$, d'où $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. 1-b Appliquer la définition de $\times$ : $(Xe_1 + Ye_2) \times (X'e_1 + Y'e_2) = XX'e_1 + YY'e_2$.

  • Pour $e_1 \times e_1 : X=1, Y=0, X'=1, Y'=0 \Rightarrow e_1$
  • Pour $e_1 \times e_2 : X=1, Y=0, X'=0, Y'=1 \Rightarrow e_2$ (correction du corrigé)
  • Pour $e_2 \times e_2 : X=0, Y=1, X'=0, Y'=1 \Rightarrow 0$

  1-c Développement direct par bilinéarité. 2 Commutativité : $A \times B$ et $B \times A$ donnent la même expression $XX'e_1 + YY'e_2$. 2-b Associativité : développer $(A \times B) \times C$ et $A \times (B \times C)$. 2-c Chercher $e \in V$ tel que $e \times A = A$ pour tout $A$ : $e = e_1$ convient. 2-d Conclusion : $(V, +, \times)$ est anneau commutatif unitaire d'élément neutre $e_1$. 3-a Vérifier les axiomes de sous-groupe : $0_V \in E_u$, fermeture pour addition et inverse. 3-b Même principe : vérifier fermeture pour la multiplication scalaire par éléments de $\mathbb{R}$. 3-c Dire : $E_u$ stable $\Leftrightarrow \forall x, xu \times xu \in E_u$.…
• NATIONAL 2019 · normale3 pts
  EXERCICE1: (3.5 points) On rappelle que $(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif et que $(M_2 (\mathbb{R}), +,\times)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice…
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  1.a) Commutativity: $(x+yi)*(a+bi) = xa+(x^2b+a^2y)i$. $(a+bi)*(x+yi) = ax+(a^2y+x^2b)i$. Since $xa=ax$ and $x^2b+a^2y = a^2y+x^2b$, the law $*$ is commutative. 1.b) Associativity: Let $z_1=x+yi$, $z_2=a+bi$, $z_3=c+di$. $(z_1*z_2)*z_3 = (xa+(x^2b+a^2y)i)* (c+di) = (xa)c + ((xa)^2d + c^2(x^2b+a^2y))i = xac + (x^2a^2d + c^2x^2b + c^2a^2y)i$. $z_1*(z_2*z_3) = (x+yi)*(ac+(a^2d+c^2b)i) = x(ac) + (x^2(a^2d+c^2b) + (ac)^2y)i = xac + (x^2a^2d + x^2c^2b + a^2c^2y)i$. The coefficients of $i$ are not equal in general ($c^2a^2y \neq a^2c^2y$ if $x \neq 0$). There is a typo in the problem statement. The original problem statement for the law $*$ is $(x+yi)*(a+bi)=xa+(x^2b+a^2y)i$. If it was $(x+yi)*(a+bi)=xa+(xb+ay)i$, then it would be associative. Given the problem, it is not associative. 1.c) Neutral element $e=u+vi$: $(x+yi)*(u+vi) = x+yi \implies xu+(x^2v+u^2y)i = x+yi$. So $xu=x \implies u=1$ (for $x \neq 0$). Then $x^2v+u^2y=y \implies x^2v+y=y \implies x^2v=0 \implies v=0$ (for $x \neq 0$). So $e=1+0i=1$. 1.d) Symmetric element $x'+y'i$ for $x+yi$: $(x+yi)*(x'+y'i) = 1$. So $xx'+(x^2y'+(x')^2y)i = 1$. $xx'=1 \implies x'=1/x$.…

  ce que le barème veut ·

  1.a) Verify commutativity by comparing $(x+yi)*(a+bi)$ and $(a+bi)*(x+yi)$. 1.b) Verify associativity by comparing $((x+yi)*(a+bi))*(c+di)$ and $(x+yi)*((a+bi)*(c+di))$. Note: there is a typo in the problem statement for the law *. 1.c) Find $e=u+vi$ such that $(x+yi)*e = x+yi$. Solve for $u$ and $v$. 1.d) Find $x'+y'i$ such that $(x+yi)*(x'+y'i) = e$. Solve for $x'$ and $y'$. Note: there is a typo in the problem statement for the symmetric element. 2.a) Check if $xa \in \mathbb{R}^*$ for $x,a \in \mathbb{R}^*$ and if $x^2b+a^2y \in \mathbb{R}$ for $x,a \in \mathbb{R}^*$ and $y,b \in \mathbb{R}$. 2.b) Verify the group axioms: closure (done in 2.a), associativity (assuming corrected law), identity element (from 1.c), inverse element (from 1.d), and commutativity (from 1.a). 3. Verify the subgroup criteria: $G \subset E$, $G \neq \emptyset$, closure under $*$ and closure under inverse. 4.a) Check if the product of two matrices in $F$ results in a matrix in $F$. 4.b) Check if $\varphi$ is a homomorphism (i.e., $\varphi(z_1*z_2) = \varphi(z_1)\times\varphi(z_2)$) and if it is bijective (injective and surjective). Note: there is a typo in the problem statement for the law *. 4.c) Use…
• NATIONAL 2018 · rattrapage3 pts
  On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, et que $(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)$ est un espace vectoriel…
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  1. $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}), +)$ car :

  • $O = M(0,0) \in E$
  • Pour tout $M(x,y), M(x',y') \in E$, on a $M(x,y) + M(x',y') = M(x+x', y+y') \in E$ (stabilité)
  • Pour tout $M(x,y) \in E$, on a $-M(x,y) = M(-x,-y) \in E$ (inverse)

  2.a) $E$ est un sous-espace vectoriel car $O \in E$, il est stable par addition (montré en 1) et par multiplication scalaire : pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $M(x,y) \in E$, on a $\lambda M(x,y) = M(\lambda x, \lambda y) \in E$. 2.b) Les matrices $M(1,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $M(0,1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ forment une base de $E$. Donc $\dim(E) = 2$. 3.a) Pour $M(x,y), M(x',y') \in E$ : $M(x,y) \times M(x',y') = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' & y' \\ -y' & x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xx' - yy' & xy' + yx' \\ -(xy' + yx') & xx' - yy' \end{pmatrix} = M(xx' - yy', xy' + yx') \in E$ 3.b) $(E, +, \times)$ est un anneau car :

  • $(E, +)$ est un groupe abélien
  • La multiplication est associative (héritée de $M_2(\mathbb{R})$)
  • $I = M(1,0) \in E$ est l'élément unité
  • La multiplication est commutative :…

  ce que le barème veut ·

  La résolution repose sur les propriétés de structure algébrique :

  1. Sous-groupe : Vérifier que le zéro appartient et qu'il y a stabilité par addition et inverse.
  2. Sous-espace vectoriel : Vérifier que $O \in E$, stabilité par addition et par multiplication scalaire.
  3. Dimension : Identifier deux matrices linéairement indépendantes qui engendrent $E$ : $M(1,0)$ et $M(0,1)$.
  4. Stabilité pour $\times$ : Effectuer le produit matriciel $M(x,y) \times M(x',y')$ et vérifier que le résultat a la forme $M(a,b)$.
  5. Anneau commutatif : Vérifier l'associativité de $\times$, l'existence d'un élément unité $I$, et la commutativité du produit.
  6. Stabilité pour $T$ : Montrer que $M(x,y) \times M(x',y') - M(5,0) \in E$.
  7. Homomorphisme : Utiliser la linéarité de l'addition des matrices.
  8. Groupe commutatif : Identifier l'élément neutre pour $T$ dans $E^*$ et montrer l'existence d'inverses.
  9. Corps commutatif : Rassembler les propriétés précédentes en vérifiant que tout élément non nul de $E$ possède un inverse pour $T$.
• NATIONAL 2017 · rattrapage4 pts
  On rappelle que $(\mathbb{R}, +, \times)$ est un corps commutatif, que $(M_2(\mathbb{R}), +)$ est un espace vectoriel réel et que $(M_2(\mathbb{R}), +, \times)$ est un anneau unitaire, non commutatif et non intègre. On pose :…
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  1. $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de $(M_2(\mathbb{R}), +)$ avec base $\{I, J\}$. 2.a) Pour $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ : $M(x_1, y_1) \times M(x_2, y_2) = M(x_1x_2 + y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2) \in E$ 2.b) $(E, +, \times)$ est un anneau unitaire commutatif avec élément unité $I$ et multiplication commutative. 3.a) $\varphi$ est un isomorphisme de groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ sur $(E^*, \times)$ car : $\varphi((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)) = \varphi(x_1+iy_1) \times \varphi(x_2+iy_2)$ et $\varphi$ est bijective. 3.b) $(E^*, \times)$ est un groupe commutatif isomorphe à $(\mathbb{C}^*, \times)$. 3.c) $J^2 = I$ donc $J^{2017} = J^{2016} \times J = I \times J = J$. L'inverse de $M(3, 3i)$ est $M\left(\frac{3}{18}, \frac{-3}{18}\right) = M\left(\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$. 4. $(E, +, \times)$ est un corps commutatif : pour tout $M(x,y) \neq M(0,0)$, il existe un inverse dans $E^*$ qui, par associativité avec la structure d'anneau, en fait un corps.

  ce que le barème veut ·

  Étapes complètes :

  1. Sous-espace vectoriel : Montrer que $E$ contient $M(0,0)$, est stable par addition ($M(x_1,y_1) + M(x_2,y_2) = M(x_1+x_2, y_1+y_2) \in E$) et par multiplication scalaire. Base : $\{I, J\}$ car $M(x,y) = xI + yJ$.

  2.a) Stabilité multiplicative : $M(x_1,y_1) \times M(x_2,y_2) = \begin{pmatrix} x_1x_2+y_1y_2 & x_1y_2+y_1x_2 \\ x_1y_2+y_1x_2 & x_1x_2+y_1y_2 \end{pmatrix} = M(x_1x_2+y_1y_2, x_1y_2+y_1x_2) \in E$ 2.b) Anneau commutatif : $(E,+)$ est groupe abélien ; distributivité héritée de $M_2(\mathbb{R})$ ; $I \in E$ est élément unité ; $M(x_1,y_1) \times M(x_2,y_2) = M(x_2,y_2) \times M(x_1,y_1)$ (commutativité du produit en $\mathbb{R}$). 3.a) Isomorphisme : $\varphi(z_1z_2) = M(\text{Re}(z_1z_2), \text{Im}(z_1z_2)) = M(\text{Re}(z_1), \text{Im}(z_1)) \times M(\text{Re}(z_2), \text{Im}(z_2)) = \varphi(z_1) \times \varphi(z_2)$ ; bijection évidente. 3.b) Groupe commutatif : Image de groupe commutatif par isomorphisme. 3.c) Puissance : $J^2 = I \Rightarrow J^{2017} = J^{2 \times 1008 + 1} = J$. Pour l'inverse de $M(3,3i)$, noter que dans $\mathbb{C}^*$, $(3+3i\cdot i)^{-1} = (3-3i)/(9+9) = (3-3i)/18$, d'où l'inverse est…
• NATIONAL 2017 · normale3 pts
  On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}), +, \cdot)$ est un anneau unitaire de zéro la matrice nulle $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. On pose…
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  1- $E$ est un sous-groupe de $(M_3(\mathbb{R}), +)$ car :

  • $M(0, 0) = O \in E$ (élément neutre)
  • Pour tous $M(a, b), M(c, d) \in E$ : $M(a, b) - M(c, d) = M(a - c, b - d) \in E$ (stabilité par addition et inverse)

  2- Pour tous $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4$, le produit $M(a, b) \cdot A \cdot M(c, d)$ donne une matrice de la forme $M(a', b')$, donc $E$ est stable pour $\top$. 3a- L'application $\varphi(z_1 \cdot z_2) = \varphi(z_1) \top \varphi(z_2)$ pour tous $z_1, z_2 \in \mathbb{C}^*$ vérifie l'homomorphisme. L'image est $E' = E \setminus \{M(0, 0)\}$. 3b- $(E', \top)$ est un groupe commutatif. L'élément neutre est $J = M(0, 1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. 4a- Pour tous $M(a, b), M(c, d), M(e, f) \in E$ : $M(a, b) \top [M(c, d) + M(e, f)] = M(a, b) \top M(c + e, d + f) = M(a, b) \top M(c, d) + M(a, b) \top M(e, f)$ 4b- Avec la distributivité établie et les propriétés précédentes, $(E, +, \top)$ est un corps commutatif isomorphe à $(\mathbb{C}, +, \cdot)$.

  ce que le barème veut ·

  1. Sous-groupe : Vérifier que $M(0,0) \in E$ et que la différence de deux éléments de $E$ reste dans $E$.
  2. Stabilité : Calculer explicitement $M(a,b) \cdot A \cdot M(c,d)$ et vérifier que le résultat est de la forme $M(a',b')$.

  3a. Homomorphisme : Utiliser que $\varphi(z_1 z_2) = M(a_1+a_2, b_1+b_2) = M(a_1, b_1) \top M(a_2, b_2)$. L'image couvre tous les $M(a,b)$ sauf $M(0,0)$. 3b. Élément neutre : Trouver $J$ tel que pour tout $M(a,b) \in E'$ : $M(a,b) \top J = M(a,b)$. Par isomorphisme, $J$ correspond à $1 \in \mathbb{C}^*$. 4a. Distributivité : Développer les produits matriciels pour montrer que $\top$ distribue sur $+$. 4b. Corps : Combiner tous les résultats précédents : $(E, +)$ est un groupe abélien, $(E', \top)$ est un groupe abélien, la distributivité relie les deux lois.