Résoudre y″ + ay′ + by = 0

À tenir avant

• Résoudre y′ = ay + b
• Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Cette méthode au national

5 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$

  1. a) Vérifier que $x \mapsto xe^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I = \int_0^1 h(x)dx$ b) A l'aide d'une intégration par parties calculer…
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  1. a) $I = e$ b) $J = 4e - 6$
  2. a) La solution générale est $y(x) = (C_1x + C_2)e^x$ b) $h(x) = (x+1)e^x$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h'(0)=2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Pour vérifier la primitive, dériver $xe^x$. Pour $I$, utiliser l'intégration par parties ou la primitive de $h(x)$. b) Utiliser l'intégration par parties deux fois.
  2. a) Résoudre l'équation caractéristique de l'équation différentielle. b) Vérifier que $h(x)$ satisfait l'équation différentielle et les conditions initiales.
• NATIONAL 2022 · normale2 pts
  On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x+1)e^x$.

  1. a) Vérifier que $x e^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$, puis calculer $I = \int_0^1 h(x) \, dx$.

  b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer…
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  1) a) Primitive : on vérifie que $(xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x = h(x)$. ✓ $I = \int_0^1 (x+1)e^x \, dx = [xe^x]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 = e$. 1) b) Intégration par parties avec $u = (x+1)^2$, $dv = e^x dx$ : $du = 2(x+1) dx$, $v = e^x$. $J = [(x+1)^2 e^x]_0^1 - \int_0^1 2(x+1)e^x \, dx = 4e - 1 - 2\int_0^1 (x+1)e^x \, dx = 4e - 1 - 2e = 2e - 1$. 2) a) L'équation caractéristique est $r^2 - 2r + 1 = 0$, soit $(r-1)^2 = 0$. Racine double $r = 1$. Solution générale : $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x$. 2) b) $h(x) = (x+1)e^x$ est de la forme $(C_1 + C_2 x)e^x$ avec $C_1 = 1$, $C_2 = 1$. $h(0) = 1 \cdot e^0 = 1$. ✓ $h'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$, donc $h'(0) = 2e^0 = 2$. ✓

  ce que le barème veut ·

  1) a) On différencie la primitive proposée pour vérifier qu'elle donne $h$. Puis on applique le théorème fondamental : $\int_0^1 h = [F]_0^1 = F(1) - F(0)$ où $F(x) = xe^x$. 1) b) Intégration par parties : $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. On choisit $u = (x+1)^2$ pour simplifier après dérivation. Le terme $\int_0^1 2(x+1)e^x \, dx$ est $2I$ (déjà calculé). 2) a) On pose $y = e^{rx}$ et on obtient l'équation caractéristique $r^2 - 2r + 1 = 0$. Racine double : la solution générale est $(C_1 + C_2 x)e^{rx}$. 2) b) On reconnaît que $h(x) = (x+1)e^x$ a exactement la forme de la solution générale avec $C_1 = 1$, $C_2 = 1$. On vérifie les conditions initiales par substitution directe.
• NATIONAL 2016 · normale3 pts
  On considère l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$.

  1. a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$.
  2. Soit $h$ la fonction numérique définie sur…
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  1. a) Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow (r-1)(r-2) = 0 \Rightarrow r_1 = 1, r_2 = 2$. Solution générale : $g(x) = Ae^x + Be^{2x}$ où $A, B \in \mathbb{R}$. b) $g(0) = A + B = -3$ et $g'(0) = A + 2B = -2$. Résolvant : $B = 1$ et $A = -4$. Donc $g(x) = -4e^x + e^{2x}$.
  2. a) Posons $g(x) = e^{2x} - 4e^x$. Sur $[\ln 4, +\infty[$, $g$ est continue et strictement croissante (car $g'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x-2) > 0$ pour $x > \ln 2$, donc en particulier pour $x \geq \ln 4$). De plus, $g(\ln 4) = 16 - 16 = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, donc $g : [\ln 4, +\infty[ \to [0, +\infty[$ est bijective. Puisque $g > 0$ sur $]\ln 4, +\infty[$ et $\ln$ est défini sur $(0, +\infty)$, $h(x) = \ln(g(x))$ est définie et continue sur $[\ln 4, +\infty[$. $h' > 0$ donc $h$ est strictement croissante, admet une réciproque $h^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$ (car $h : [\ln 4, +\infty[ \to [-\infty, +\infty[$ comme $h(\ln 4) = \ln(0)$ tend vers $-\infty$). b) $h(\ln 5) = \ln(e^{2\ln 5} - 4e^{\ln 5}) = \ln(25 - 20) = \ln(5)$ ✓ $(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{h'(h^{-1}(\ln 5))} = \frac{1}{h'(\ln 5)}$.…

  ce que le barème veut ·

  1. Équation caractéristique : Pour $y'' - 3y' + 2y = 0$, écrire $r^2 - 3r + 2 = 0$ et résoudre par factorisation ou formule quadratique.
  2. Solution générale : Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est une combinaison linéaire d'exponentielles.
  3. Conditions initiales : Substituer $y(0)$ et $y'(0)$ pour trouver les constantes $A$ et $B$.
  4. Fonction réciproque : Montrer que $g(x) = e^{2x} - 4e^x$ est strictement monotone sur $[\ln 4, +\infty[$ en calculant sa dérivée et vérifier l'intervalle d'image.
  5. Continuité et surjectivité : Vérifier que $g(\ln 4) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ pour justifier que $h : [\ln 4, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est bijective.
  6. Dérivée de la réciproque : Appliquer la formule $(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}$ en calculant d'abord $h'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
• NATIONAL 2016 · normale4 pts
  II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = 3$ et $g'(0) = 2$. II-2) Soit $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[\ln 4, +\infty[$ par :…
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  II-1a) L'équation caractéristique est : $r^2 - 3r + 2 = 0$. Factorisation : $(r - 1)(r - 2) = 0$, donc $r_1 = 1$ et $r_2 = 2$. Solution générale : $g(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ où $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$. II-1b)

  • $g(0) = 3$ ⟹ $C_1 + C_2 = 3$ ... (1)
  • $g'(x) = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}$ ⟹ $g'(0) = 2$ ⟹ $C_1 + 2C_2 = 2$ ... (2)

  De (2) - (1) : $C_2 = -1$, donc $C_1 = 4$. Solution particulière : $g(x) = 4e^x - e^{2x}$ ✓ II-2a) Soit $\phi(x) = e^{2x} - 4e^x$. Sur $[\ln 4, +\infty[$, on a $\phi'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2) > 0$ (car $e^x > 4$ sur cet intervalle). Donc $\phi$ est strictement croissante sur $[\ln 4, +\infty[$. De plus, $\phi(\ln 4) = 16 - 16 = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \phi(x) = +\infty$. Ainsi $\phi : [\ln 4, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ est une bijection. La fonction $h = \ln \circ \phi$ est aussi une bijection de $[\ln 4, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$. Donc $h^{-1} : \mathbb{R} \to [\ln 4, +\infty[$ existe et est définie sur $\mathbb{R}$ ✓ II-2b) $h(\ln 5) = \ln(e^{2\ln 5} - 4e^{\ln 5}) = \ln(25 - 20) = \ln 5$ ✓ Par la formule de dérivation de la réciproque :…

  ce que le barème veut ·

  Étape 1 (II-1a) : Écrire l'équation caractéristique associée $r^2 - 3r + 2 = 0$. Factoriser ou utiliser le discriminant pour trouver les racines $r_1 = 1$ et $r_2 = 2$. Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$. Étape 2 (II-1b) : Utiliser les conditions initiales $g(0) = 3$ et $g'(0) = 2$ pour former un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre pour $C_1$ et $C_2$. Étape 3 (II-2a) : Définir $\phi(x) = e^{2x} - 4e^x$ et montrer qu'elle est strictement monotone sur $[\ln 4, +\infty[$ en calculant sa dérivée. Déterminer l'image de $\phi$ en évaluant aux limites. Puisque $h = \ln \circ \phi$, la bijectivité de $h$ découle de celle de $\phi$. Étape 4 (II-2b) : Substituer $x = \ln 5$ dans l'expression de $h$ pour vérifier que $h(\ln 5) = \ln 5$. Appliquer la formule $(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}$. Dériver $h$ à l'aide de la formule $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ et évaluer en $x = \ln 5$.
• NATIONAL 2016 · normale3 pts
  Partie II II-1) a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$. b) Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$. II-2) Soit $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[\ln 4, +\infty[$ par :…
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  II-1) a) Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$ $(r-1)(r-2) = 0 \implies r = 1$ ou $r = 2$ Solution générale : $g(x) = Ae^x + Be^{2x}$ (où $A, B \in \mathbb{R}$) b) $g(0) = A + B = -3$ $g'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$, donc $g'(0) = A + 2B = -2$ Résolution :

  • De la première équation : $A = -3 - B$
  • Substitution : $-3 - B + 2B = -2 \implies B = 1$
  • Donc $A = -4$

  $g(x) = -4e^x + e^{2x}$ II-2) a) Sur $[\ln 4, +\infty[$, la fonction $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ est strictement croissante (car $f'(x) = 2e^x(e^x - 2) > 0$ pour $x > \ln 2$, et en particulier pour $x \geq \ln 4 > \ln 2$). La fonction logarithme est strictement croissante, donc $h(x) = \ln(f(x))$ est strictement croissante sur $[\ln 4, +\infty[$. Quand $x \to \ln 4^+$, $f(x) \to 0^+$ donc $h(x) \to -\infty$.
  Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$ donc $h(x) \to +\infty$. Donc $h : [\ln 4, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est une bijection continue strictement croissante. Ainsi, $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1} : \mathbb{R} \to [\ln 4, +\infty[$ ✓ b) $h(\ln 5) = \ln(e^{2\ln 5} - 4e^{\ln 5}) = \ln(25 - 20) = \ln 5$ ✓ Par dérivation d'une fonction réciproque :…

  ce que le barème veut ·

  Question II-1.a : Pour l'équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants $y'' - 3y' + 2y = 0$, poser l'équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$. Factoriser ou utiliser la formule quadratique pour obtenir les racines. La solution générale est $y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$. Question II-1.b : Utiliser les conditions initiales $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$. Calculer $g'(x)$ en dérivant la solution générale, puis substituer $x=0$ pour obtenir un système linéaire en $A$ et $B$. Question II-2.a : Montrer que $h$ est strictement monotone en étudiant le signe de $h'(x)$. Vérifier que $h$ est une bijection en déterminant les limites aux bornes du domaine. Conclure que l'image est $\mathbb{R}$ (car $h$ est continue, strictement monotone et tend vers $\pm\infty$). Question II-2.b : Substituer $x = \ln 5$ dans l'expression de $h(x)$, en sachant que $e^{\ln 5} = 5$ et $e^{2\ln 5} = 25$. Pour la dérivée de $h^{-1}$, utiliser la formule $(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}$. Puisque $h(\ln 5) = \ln 5$, on a $h^{-1}(\ln 5) = \ln 5$, donc $(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{h'(\ln 5)}$.
• TYPE BAC3 pts
  Résoudre l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$ sur $\mathbb{R}$.
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  L'équation caractéristique est r^2 + 4 = 0, de racines r = 2i et r = -2i (delta < 0). Les solutions sont donc y(x) = A cos(2x) + B sin(2x), avec A et B réels.

  ce que le barème veut · Écrire l'équation caractéristique r^2 + a r + b = 0 ; pour delta < 0 (racines +/- i beta), la solution générale est e^(alpha x)(A cos(beta x) + B sin(beta x)).
• TYPE BAC3 pts
  Résoudre $y'' - 3y' + 2y = 0$.
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  Équation caractéristique r^2-3r+2=0, racines 1 et 2. Solution : y(x)=A·e^x + B·e^(2x).

  ce que le barème veut · Équation caractéristique, racines réelles distinctes, solution générale.
• TYPE BAC3 pts
  Résoudre $y'' - 5y' + 6y = 0$, puis donner la solution telle que $y(0)=1$ et $y'(0)=0$.
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  Équation caractéristique : r^2 - 5r + 6 = 0, racines r=2 et r=3 (delta=1>0). Solution générale : y(x) = A e^(2x) + B e^(3x). y(0)=A+B=1 ; y'(x)=2A e^(2x)+3B e^(3x), y'(0)=2A+3B=0. On résout : de A+B=1, A=1-B ; 2(1-B)+3B=0 => B=-2, A=3. Solution : y(x) = 3 e^(2x) - 2 e^(3x).

  ce que le barème veut · Résoudre l'équation caractéristique (delta>0 => deux racines réelles), écrire y = A e^(r1 x) + B e^(r2 x), puis fixer A, B avec les conditions y(0) et y'(0).