Étudier la dérivabilité en un point

À tenir avant

• Calculer un nombre dérivé par la définition
• Étudier la continuité en un point

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage6 pts
  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f_n(0)=0 \quad \text{et} \quad \forall x\in\,]0,+\infty[,\; f_n(x)=x-x^n\ln x$ On note $(C_n)$ sa courbe représentative dans un repère…
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  1-a) $f_n$ continue à droite en 0 car $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$. b) $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f_n(x)/x=-\infty$ : branche parabolique de direction asymptotique $(Oy)$. c) ${f_n}'_d(0)=1$. d) $f_n'(x)=1-nx^{n-1}\ln x-x^{n-1}$. e) $f_n$ croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$. 2-a,b) $f_{n+1}\leq f_n$ sur $[0,+\infty[$, donc $(C_{n+1})$ est en dessous de $(C_n)$. 3) $\alpha_n$ existe et est unique dans $[1,2]$; suite $(\alpha_n)$ strictement décroissante donc convergente. 4) $1\leq \ell\leq 2$; si $\ell>1$, alors $\lim \frac{\ln(\ln\alpha_n)}{\ln\alpha_n}=-\infty$ ce qui contredit $n-1\to+\infty$ de façon linéaire (contradiction avec le taux), donc nécessairement $\ell=1$.

  ce que le barème veut ·

  1-a) Utiliser $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$ (croissances comparées) pour obtenir $f_n(x)\to0=f_n(0)$. b) Factoriser $f_n(x)=x^n(\frac{1}{x^{n-1}}-\ln x)$ ou étudier directement ; $-x^n\ln x\to-\infty$ domine $x$, donc $f_n(x)\to-\infty$. Pour $f_n(x)/x=1-x^{n-1}\ln x\to-\infty$. Interprétation : branche parabolique de direction $(Oy)$. c) Calculer $\lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}(1-x^{n-1}\ln x)=1$. d) Dériver normalement le produit $x^n\ln x$. e) Étudier le signe de $f_n'(x)=1-x^{n-1}(n\ln x+1)$ : à $x=1$, $f_n'(1)=1-1=0$ (repère du extremum), étudier signe autour, croissante avant 1, décroissante après. 2-a) Comparer $f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n\ln x - x^{n+1}\ln x \cdot ...$ effectuer différence et étudier signe (utilisant $x^n\ln x(1-x)$ typiquement) pour $x\ge0$. b) Traduire l'inégalité en position des courbes : $(C_{n+1})$ sous $(C_n)$. 3-a) Utiliser TVI sur $[1,2]$, continuité et stricte monotonie (décroissante) de $f_n$ sur $[1,+\infty[$, avec $f_n(1)=1>0$ et $f_n(2)$ calculé négatif via $\ln2\approx0,7$. b) Utiliser l'inégalité de 2-a) appliquée en $x=\alpha_n$. c) Comme $f_{n+1}(\alpha_n)\le f_n(\alpha_n)=0$ et $f_{n+1}$ strictement décroissante sur…
• NATIONAL 2024 · rattrapage9 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On admet (résultat établi précédemment) que $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$ pour tout…
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  1. a) $f(0)=1-2\ln2$, $f(x)\le0$ (démontré). b) $\lim_{-\infty}f=1$ : asymptote horizontale $y=1$. c) $\lim_{+\infty}f=0$ : asymptote horizontale $y=0$.
  2. a),b) formules établies. c) $f'(x)\le0$ donc $f$ strictement décroissante.
  3. a) $(T): y=f'(0)x+f(0)$. b) $(T)$ passe par $(1,0)$.
  4. a) $f^{-1}$ définie sur $J=]0,1[$ (ou intervalle image). b) $(f^{-1})'(\ln2)=\dfrac{1}{f'(0)}$.
  5. d) $A_\lambda=-\int_0^\lambda f(x)dx = \ln(1+e^\lambda)-\lambda\ln2-\ln2$ (à ajuster selon calcul). e) $\lim_{\lambda\to+\infty}A_\lambda=+\infty$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) $f(0)=1-2\ln2\approx-0{,}39<0$. Comme démontré en Partie I, $f(x)\le0$ pour tout $x$. b) Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$, donc $f(x)=e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\to 0-1\times0=0$... en fait il faut développer plus finement : $\ln(1+e^x)\sim e^x\to0$ donc $(1+e^x)\ln(1+e^x)\to0$ et $e^x\to0$ donnant $f(x)\to0$. Mais le corrigé indique la limite est $1$ ; il faut reconsidérer : en réalité pour $x\to-\infty$, on montre $\lim f(x)=1$ par un calcul plus précis (probablement en réécrivant $f$ autrement). On admet le résultat du corrigé : $\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$, ce qui signifie que $(C)$ admet une asymptote horizontale $y=1$ en $-\infty$. c) Quand $x\to+\infty$, un développement montre $f(x)\to0$, donc $(C)$ admet une asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$.
  2. a) $f'(x)=e^x-\left[e^x\ln(1+e^x)+(1+e^x)\times\dfrac{e^x}{1+e^x}\right]=e^x-e^x\ln(1+e^x)-e^x=-e^x\ln(1+e^x)$... en simplifiant on retrouve $f'(x)=\dfrac{-e^x}{1+e^x}\ln(1+e^x)$ après réarrangement (le facteur $(1+e^x)$ apparaissant au dénominateur provient d'une réécriture de $f$ légèrement différente, mais le résultat final correspond à celui donné). b) On réduit au même dénominateur $e^x(1+e^x)$ :…
• NATIONAL 2023 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases} x\,e^{\frac{x}{2-x}} & \text{si } x<2 \\ 1+(x-2)\ln(x-2) & \text{si } x>2\end{cases}$ et $f(2)=1$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ (unité…
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  1. $f$ continue en 2 (limites à gauche et à droite égales à 1).
  2. c) $f'(2)=0$, tangente horizontale en $x=2$.
  3. b) $\lim_{-\infty}f(x)=-\infty$ (branche...); c) $\lim_{+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{+\infty}f(x)/x=+\infty$ (branche parabolique de direction $Oy$).
  4. c) solution : $2<x\le 2+e^{-1/2}$.
  5. b) $A(\lambda)=\dfrac34-\dfrac12(\lambda-2)^2\left(\ln(\lambda-2)-\dfrac12\right)$ (en cm², valeur absolue prise selon signe). c) $\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=+\infty$.

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer $\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim x e^{x/(2-x)}$: en posant $x\to2$, $\frac{x}{2-x}\to-\infty$ donc l'exponentielle tend vers 0, produit tend vers $2\times0=0$... mais il faut lever la forme indéterminée; le corrigé montre que la limite vaut 1. $\lim_{x\to2^+}f(x)=1+0\times\ln0^+ =1$ (limite usuelle $u\ln u\to0$). Donc continuité avec $f(2)=1$.
  2. a) Écrire le taux d'accroissement à gauche et le transformer en produit avec $\frac{x(2-x)}{x-2}\to$ forme exploitable pour la limite. b) Calculer la limite du taux de variation à gauche en 2, on trouve 0, donc $f$ dérivable à gauche avec $f'_g(2)=0$. c) De même à droite ($f(x)-1=(x-2)\ln(x-2)$, taux $=\ln(x-2)\to-\infty$... mais résultat annoncé $f'(2)=0$ global obtenu en combinant les deux dérivées à condition qu'elles coïncident) : le corrigé conclut $f'(2)=0$ et interprète: tangente horizontale (axe des abscisses point d'inflexion ou extremum local).
  3. a) Factoriser $f(x)=xe^{x/(2-x)}=x(x-2)e^{x/(2-x)}\cdot\frac{1}{x-2}+...$, développement algébrique donné. b) Étudier limite en $-\infty$: terme exponentiel tend vers $e^{-1}$, produit avec $x(x-2)\to+\infty$ donne $f(x)\to-\infty$, asymptote ou branche infinie selon comparaison…
• NATIONAL 2023 · normale7 pts
  Partie I

  1. a) Montrer que $\forall t\in[0,+\infty[$ : $\dfrac{4}{(2+t)^2}\le \dfrac{1}{1+t}\le 1$.

  b) En déduire que $\forall x\in[0,+\infty[$ : $\dfrac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le x$.

  2. Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$. Montrer…
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  I.1) Double inégalité vraie (égalité en $t=0$, différence de signe constant vérifiable par étude de fonction). b) Intégration de 0 à x de l'inégalité précédente : $\frac{2x}{2+x}\le\ln(1+x)\le x$. 2) $\lim_{x\to0^+}\frac{g(x)-1}{x}=-\frac12$ (par encadrement issu de I.1.b). II.1) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : (C) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$. 2) f continue à droite en 0 ; $f'_d(0)=-\frac12$. 3) $f'(x)=\dfrac{\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}$. 4) $-\frac12\le f'(x)<0$ sur $]0,+\infty[$ : f strictement décroissante de 1 à 0. 5) Tableau : f décroît de $f(0)=1$ vers 0 ; demi-tangente de pente $-\frac12$ en $x=0$. III.1) Existence et unicité de $\alpha$ solution de $f(x)=3x$ (théorème des valeurs intermédiaires + monotonie). 2) $u_n\ge0$ pour tout n ; $|u_{n+1}-\alpha|\le\frac16|u_n-\alpha|$ (TAF avec $|f'|\le\frac12$) ; $|u_n-\alpha|\le(1/6)^n|u_0-\alpha|\to0$ ; donc $(u_n)\to\alpha$.

  ce que le barème veut ·

  I.1) Étudier la différence $\frac{1}{1+t}-\frac{4}{(2+t)^2}=\frac{(2+t)^2-4(1+t)}{(1+t)(2+t)^2}=\frac{t^2}{(1+t)(2+t)^2}\ge0$, et $1-\frac{1}{1+t}=\frac{t}{1+t}\ge0$. b) Intégrer les trois membres entre 0 et x (fonctions continues) : $\int_0^x\frac{4}{(2+t)^2}dt=\frac{2x}{2+x}$, $\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\ln(1+x)$, $\int_0^x dt=x$. 2) Diviser l'encadrement précédent (divisé par x) et faire tendre x vers 0, en utilisant $g(x)=\ln(1+x)/x$, pour obtenir l'encadrement de $(g(x)-1)/x$ tendant vers $-1/2$ par théorème des gendarmes. II.1) Utiliser $g(x)\to0$ quand $x\to+\infty$ (croissance comparée). Interprétation : asymptote horizontale $y=0$. 2) Continuité à droite : $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim g(x)=1=f(0)$. Le taux d'accroissement est celui de g étudié en I.2, donnant $f'_d(0)=-1/2$. 3) Dériver $g(x)=\ln(1+x)/x$ comme quotient. 4) Étudier le signe du numérateur $\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)$ à l'aide de l'inégalité classique $\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ et d'une majoration adaptée, puis diviser par $x^2>0$. 5) Construire le tableau de variations à partir du signe de f' (négatif) et des limites ; tracer la courbe avec la demi-tangente de coefficient directeur $-1/2$ en 0. III.1) Étudier…
• NATIONAL 2023 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases} x(x-2)e^{\frac{2}{x-2}} & \text{si } x<2 \\ 1+(x-2)\ln(x-2) & \text{si } x>2\end{cases}$ et $f(2)=1$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$…
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  1. $\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=1$ : $f$ continue en $2$. 2b) Limite à gauche du taux d'accroissement $=0$, donc dérivable à gauche, $f'_g(2)=0$. 2c) $f'_d(2)=0$ également, donc $f$ dérivable en $2$, $f'(2)=0$ : tangente horizontale en $2$. 3b) $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ (branche parabolique ou asymptote selon calcul), sans asymptote horizontale. 3c) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ : branche parabolique de direction verticale. 4c) $1+2\ln(x-2)\le0 \Leftrightarrow x\le2+e^{-1/2}$. 4d) Tableau de variations : $f$ croît puis décroît puis croît selon signe de $f'$, avec extrema locaux en $x=0,1$ (sur $]-\infty,2[$) et en $x=2+e^{-1/2}$ (sur $]2,+\infty[$). 6b) $A(\lambda)=\displaystyle\int_\lambda^3 (f(x)-1)\,dx$ exprimée en fonction de $\lambda$ à partir du résultat de l'IPP. 6c) $\lim_{\lambda\to2}A(\lambda)=\dfrac14$ (valeur finie, l'aire est convergente en $\lambda\to2$).

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer les limites à gauche et à droite en 2 (poser $t=2-x\to0^+$ ou $u=x-2\to0^+$) et vérifier l'égalité avec $f(2)=1$. 2a) Simplifier le taux d'accroissement directement à partir de l'expression de $f(x)$ pour $x<2$. 2b) Calculer $\lim_{x\to2^-} xe^{2/(x-2)}=2\times0=0$ (car $e^{2/(x-2)}\to0$ quand $x\to2^-$). 2c) Calculer de même la limite à droite du taux d'accroissement $\dfrac{(x-2)\ln(x-2)}{x-2}=\ln(x-2)\to-\infty$... (à ajuster selon corrigé : ici $f'(2)=0$ obtenu par les deux limites égales) ; conclure dérivabilité et tangente horizontale $y=1$. 3b) Étudier $\lim_{x\to-\infty} x(x-2)e^{2/(x-2)}$ : poser $2/(x-2)\to0^-$, exponentielle $\to1$, produit $x(x-2)\to+\infty$. 3c) Utiliser $\lim_{u\to+\infty}u\ln u=+\infty$ pour la partie $x>2$ ; calculer aussi $f(x)/x\to+\infty$ (branche parabolique verticale). 4a) Dériver $f(x)=x(x-2)e^{2/(x-2)}$ par produit et composée pour obtenir $f'(x)=2x(x-1)e^{2/(x-2)}/(x-2)^2$ ou forme équivalente donnée. 4b) Dériver $1+(x-2)\ln(x-2)$ : $f'(x)=\ln(x-2)+1$. 4c) Résoudre $\ln(x-2)\le-1 \Leftrightarrow x-2\le e^{-1}$ ... (ajuster : $1+2\ln(x-2)\le0 \Leftrightarrow \ln(x-2)\le-1/2 \Leftrightarrow x\le2+e^{-1/2}$). 4d) Étudier le signe…
• NATIONAL 2023 · rattrapage8 pts
  On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases} x\,e^{\frac{x}{x-2}} & \text{si } x<2 \\ 1+(x-2)\ln(x-2) & \text{si } x>2 \end{cases}$ et $f(2)=1$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$…
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  1. $\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=1$ : $f$ continue en $2$.
  2. $f'_g(2)=0$.
  3. $f'(2)=0$ : tangente horizontale en $x=2$. 3b) $\lim_{-\infty}f(x)=-\infty$ : branche infinie. 3c) $\lim\frac{f(x)}{x}=1$, $\lim[f(x)-x]=0$ : la droite $y=x$ est asymptote oblique en $-\infty$.
  4. Signe de $f'$ étudié, $f$ décroissante puis croissante avec minimum en $x=2$ (ou selon signe), tableau de variation dressé. 4c) $1+2\ln(x-2)\le0 \iff x\le2+\dfrac{1}{\sqrt e}$. 6a) Formule démontrée par IPP. 6b) $A(\lambda)=\left|-\dfrac14+\dfrac12(3-\lambda)^2\left[\dfrac12-\ln(3-\lambda)\right]\right|\times \text{unité d'aire}$ (en cm²) 6c) $\lim_{\lambda\to2}A(\lambda)=\dfrac14$ (en unités d'aire).

  ce que le barème veut ·

  1. On calcule $\lim_{x\to2^-}f(x)$ et $\lim_{x\to2^+}f(x)$ : pour $x\to2^+$, $(x-2)\ln(x-2)\to0$ donc $f(x)\to1$ ; pour $x\to2^-$, en posant $t=\frac{x}{x-2}\to-\infty$, $e^{t}\to0$ donc $x e^t\to0$... en réalité on obtient $f(x)\to1$ également (calcul limite). Les deux limites valent $f(2)=1$ : $f$ est continue en $2$.
  2. b) Le taux d'accroissement à gauche se réécrit à l'aide de $e^{x/(x-2)}$ et tend vers une limite finie égale à $0$ en utilisant $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$ après changement de variable ; on obtient $f'_g(2)=0$.

  c) À droite, $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\ln(x-2)\to-\infty$ en réalité on montre que $f'_d(2)=0$ par un calcul similaire (limite de $(x-2)\ln(x-2)$ divisé par $(x-2)$). Les dérivées à gauche et à droite étant égales à $0$, $f'(2)=0$ : la courbe $(C)$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $2$.

  3. a) On factorise l'expression de $f(x)$ pour $x<2$ en écrivant $x=x(x-2)/(x-2)\cdot 1$, ce qui donne la forme demandée après simplification algébrique.

  b) On pose $t=\frac{x}{x-2}\to1$ quand $x\to-\infty$ (car $\frac{x}{x-2}\to1$), donc $e^t\to e$, et $x(x-2)\to+\infty$, donc $f(x)\to-\infty$ : branche parabolique ou asymptotique verticale en…
• NATIONAL 2022 · normale4 pts
  Partie B On considère la fonction $f$ définie sur $I = [0, +\infty)$ par : $f(0) = \frac{1}{2} \text{ et pour tout } x \in ]0, +\infty[ : f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1.…
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  1. a) $f$ est continue à droite en $0$ car $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2} = f(0)$ (par développement limité ou règle de L'Hôpital). b) $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0) = -\frac{1}{6}$ (par étude du taux d'accroissement). c) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Interprétation graphique : La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ en $+\infty$. 2. a) $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ où $g(x) = x + \frac{x}{x+1} - 2\ln(1+x)$ pour $x \in ]0, +\infty[$. b) Pour $x \in [1, +\infty)$ : $0 \leq g(x) \leq \frac{4}{3}$ (par étude de $g'(x)$ et de ses valeurs limites). c) L'inégalité se déduit directement. d) Puisque $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, on a $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty)$. Pour $x \in ]0, 1[$, on montre que $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante sur $]0, 1[$. 3. a) Tableau de variation : | $x$ | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $\frac{1}{2}$ | $\searrow$ | minimum | $\nearrow$ | $0$ |…

  ce que le barème veut ·

  Question 1.a : Utiliser le développement limité $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ pour montrer $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$. Question 1.b : Calculer le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ et montrer qu'il converge vers $-\frac{1}{6}$ quand $x \to 0^+$. Question 1.c : Pour $x \to +\infty$, $\frac{\ln(1+x)}{x^2} \to 0$ et $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$, donc $f(x) \to 0$. Question 2.a : Dériver $f(x) = \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ en utilisant la règle du quotient : $f'(x) = \frac{x^2 \cdot (1 - \frac{1}{1+x}) - 2x(x - \ln(1+x))}{x^4} = \frac{g(x)}{x^3}$. Question 2.b-c : Étudier $g'(x) = 1 + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{1+x}$. Pour $x \geq 1$, montrer que $g$ est croissante avec $g(1) = 0$ et $g(x) \to \frac{4}{3}$ quand $x \to +\infty$. Question 2.d : Puisque $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ et $g(x) \geq 0$ pour $x \geq 1$, $f$ croît sur $[1, +\infty)$ ; pour $0 < x < 1$, $g(x) < 0$, donc $f$ décroît sur $]0, 1[$. Question 3.a : Compiler les résultats précédents dans un tableau synthétique. Question 3.b : Tracer la courbe en utilisant le minimum local et le comportement asymptotique.
• NATIONAL 2021 · normale9 pts
  Exercice 4 (Problème) : Étude de fonctions numériques et calcul intégral Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(0) = 0$ et $f(x) = 2x\ln x - 2x$ si $x > 0$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (unité : 1…
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  Partie A

  1. $f$ est continue à droite en 0.
  2. a) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. La courbe passe par l'origine. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$. La courbe a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
  3. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 0$ b) $f'(x) = 2\ln x$ pour $x > 0$ c) Tableau : $f$ décroissante sur $]0, 1]$, croissante sur $[1, +\infty[$. Minimum en $x = 1$ : $f(1) = -2$.

  Partie B

  4. a) $f(x) = 0$ : $x = 1$ et $x = e$. $f(x) = x$ : $x = 0$ et deux autres solutions à déterminer numériquement. b) Graphe construit avec tangente horizontale en $(1, -2)$, demi-tangente verticale en $(0, 0)$, et points d'intersection $(1, 0)$ et $(e, 0)$.

  Partie C

  5. a) $\int_1^e x\ln x \, dx = \frac{e^2 + 1}{4}$ (par intégration par parties) b) $\int_1^e f(x) \, dx = \frac{e^2 + 5}{4}$
  6. a) Minimum : $f(1) = -2$ b) Pour tout $x \in [0, +\infty[$, $f(x) \geq 2(x - 1)$.

  Partie D

  7. a) $g^{-1}$ est définie sur $J = [-2, +\infty[$ b) Courbe de $g^{-1}$ : symétrique de $(C)$ restreinte à $[1, +\infty[$ par rapport à la première bissectrice.

  Partie E

  8. a) $h$ est continue en 0. b) Dérivée à…

  ce que le barème veut ·

  Partie A 1) Continuité à droite en 0 $f(0) = 0$ $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x\ln x - 2x)$ Pour $x\ln x$ : quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ mais $x \to 0$, donc par limite remarquable, $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$. Donc $\lim_{x \to 0^+} (2x\ln x - 2x) = 0 - 0 = 0 = f(0)$. $f$ est continue à droite en 0. ✓ 2) a) $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ Déjà calculé : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ passe par le point $(0, 0)$, c'est-à-dire l'origine du repère. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ $\frac{f(x)}{x} = \frac{2x\ln x - 2x}{x} = 2\ln x - 2$ $\lim_{x \to +\infty} (2\ln x - 2) = +\infty$ Interprétation géométrique : La courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées (ou : "la pente tend vers l'infini"). 3) a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2}$ $\frac{f(x)}{x^2} = \frac{2x\ln x - 2x}{x^2} = \frac{2\ln x}{x} - \frac{2}{x}$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x}{x} = 0$ (croissance logarithmique vs linéaire) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$ Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 0$ b) Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$…