Vérifier les hypothèses de Rolle et du TAF

À tenir avant

• Étudier la dérivabilité en un point

Cette méthode au national

8 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction $x\mapsto e^x$ et $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de $(\Gamma)$ de coordonnées $\left(\dfrac{k}{n}, e^{k/n}\right)$. 1)…
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  1a) Existence de $c_k$ garantie par le TAF appliqué à $x\mapsto e^x$ sur $[k/n,(k+1)/n]$. b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{(1/n)^2+(e^{(k+1)/n}-e^{k/n})^2}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. c) Encadrement immédiat car $k/n<c_k<(k+1)/n$ et $t\mapsto e^{2t}$ croissante. 2) $\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$ (les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$).

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis à $t\mapsto e^t$, dérivable, sur l'intervalle $[k/n,(k+1)/n]$. b) Calculer la distance euclidienne entre $M_k=(k/n,e^{k/n})$ et $M_{k+1}=((k+1)/n,e^{(k+1)/n})$ en utilisant le résultat du a). c) Comme $k/n < c_k < (k+1)/n$ et la fonction exponentielle est croissante, $e^{2k/n}\le e^{2c_k}\le e^{2(k+1)/n}$, d'où l'encadrement en prenant la racine carrée croissante. 2a) Sommer l'encadrement de 1c) pour $k=0$ à $n-1$ (décaler l'indice à droite donne la somme de $k=1$ à $n$). b) Reconnaître les deux membres comme sommes de Riemann associées à la subdivision régulière de $[0,1]$ de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ ; elles convergent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$, donc par encadrement (théorème des gendarmes) $S_n$ converge vers la même limite.
• NATIONAL 2023 · normale2 pts
  On considère la fonction numérique $x\mapsto e^x$ et soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, on note $M_k$ le point de la courbe $(\Gamma)$ de coordonnées…
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  $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$

  ce que le barème veut ·

  1a) Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $t\mapsto e^t$ sur $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ : il existe $c_k$ dans l'intervalle ouvert tel que $e^{(k+1)/n}-e^{k/n}=\frac1n e'(c_k)=\frac1n e^{c_k}$. 1b) $M_kM_{k+1}=\sqrt{\left(\frac1n\right)^2+\left(e^{(k+1)/n}-e^{k/n}\right)^2}=\sqrt{\frac1{n^2}+\frac1{n^2}e^{2c_k}}=\frac1n\sqrt{1+e^{2c_k}}$. 1c) Comme $\frac{k}{n}<c_k<\frac{k+1}{n}$ et $t\mapsto\sqrt{1+e^{2t}}$ est strictement croissante, on encadre $\sqrt{1+e^{2c_k}}$ entre les valeurs prises aux bornes. 2a) Sommer l'encadrement de 1c pour $k=0$ à $n-1$ (décalage d'indice pour la borne supérieure). 2b) Les deux sommes encadrantes sont des sommes de Riemann de la fonction continue $x\mapsto\sqrt{1+e^{2x}}$ sur $[0,1]$, qui tendent toutes deux vers $\int_0^1\sqrt{1+e^{2x}}dx$ ; par encadrement (théorème des gendarmes), $S_n$ tend vers la même limite.
• NATIONAL 2020 · rattrapage5 pts
  Deuxième partie : Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction $f_n$ définie sur $I = [0,1]$ par : $f_n(x) = x^n \ln(2-x)$. 1-a) Vérifier que $f_n$ est positive sur $I$ et que $f_n(0) = f_n(1) = 0$. 1-b) Montrer qu'il existe au moins…
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  1-a) Sur $[0,1]$, $x^n \geq 0$ et $\ln(2-x) > 0$ (car $2-x \in [1,2]$), donc $f_n(x) \geq 0$. $f_n(0) = 0 \cdot \ln 2 = 0$ et $f_n(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0$. 1-b) $f_n$ est dérivable sur $[0,1]$ (composée et produit de fonctions dérivables). $f_n(0) = f_n(1) = 0$ et $f_n > 0$ pour $x \in \,]0,1[$. Par le théorème de Rolle, il existe $\alpha_n \in \,]0,1[$ tel que $f_n'(\alpha_n) = 0$. 2-a) Dérivation du produit : $f_n'(x) = nx^{n-1}\ln(2-x) + x^n \cdot \frac{-1}{2-x} = x^{n-1}\left(n\ln(2-x) - \frac{x}{2-x}\right) = x^{n-1}g_n(x)$ 2-b) Dérivée de $g_n$ : $g_n'(x) = n \cdot \frac{-1}{2-x} - \frac{(2-x) + x}{(2-x)^2} = \frac{-n}{2-x} - \frac{2}{(2-x)^2}$ $= \frac{-n(2-x) - 2}{(2-x)^2} < 0 \text{ pour tout } x \in [0,1]$ Donc $g_n$ est strictement décroissante. 2-c) De $f_n'(x) = x^{n-1}g_n(x)$ et $g_n$ strictement décroissante : $g_n(0) = n\ln 2 > 0$ et $g_n(1) = n\ln 1 - \frac{1}{1} = -1 < 0$. Il existe un unique zéro de $g_n$ en $\alpha_n \in \,]0,1[$. Pour $x \neq 0$, $f_n'(x) = 0 \iff g_n(x) = 0$, donc $\alpha_n$ est unique. 3-a) De $f_n'(\alpha_n) = 0$ et $\alpha_n \neq 0$ : $g_n(\alpha_n) = 0$, soit…

  ce que le barème veut ·

  1. Positivité : Vérifier sur $[0,1]$ que $x^n \geq 0$ et $\ln(2-x) > 0$.
  2. Rolle : Application directe sur un segment où $f_n(0) = f_n(1) = 0$.
  3. Dérivation : Produit $x^n \cdot \ln(2-x)$.
  4. Décroissance de $g_n$ : Calculer $g_n'$ et vérifier qu'elle est négative.
  5. Unicité : $g_n$ strictement décroissante, change de signe, donc un seul zéro.
  6. Relation $f_n(\alpha_n)$ : De $g_n(\alpha_n) = 0$, isoler $\ln(2-\alpha_n)$ et substituer dans $f_n(\alpha_n)$.
  7. Limite de $f_n(\alpha_n)$ : $\alpha_n^{n+1}$ terme dominant qui tend vers 0.
  8. Croissance de $(\alpha_n)$ : Comparer $g_n(\alpha_{n+1})$ et $0 = g_{n+1}(\alpha_{n+1})$ via la décroissance de $g_n$.
  9. Convergence : Monotone borné.
  10. Limite : Équation limite. Si $L < 1$, $n\ln(2-L) \to \infty$ mais le second membre est fini : contradiction.
• NATIONAL 2019 · normale10 pts
  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{e^{-x}(3 - 4e^x)}{3}$ et on note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Partie I 1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et…
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  Partie I 1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{4}{3}$ (terme dominant $-4e^x \cdot e^{-x}/3 = -4/3$). $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ (car $e^{-x} \to +\infty$ et $(3 - 4e^x) \to 3$). 2.a) Dérivée : $f'(x) = -\frac{1}{3}e^{-x}(3 - 4e^x) + \frac{1}{3}e^{-x}(-4e^x) = \frac{e^{-x}(-3 + 4e^x - 4e^x)}{3} = \frac{4e^{-x}(e^x - 1)(1 - 3e^{-x})}{9}$. Reformuler : $f'(x) = \frac{4(1 - e^{-x})(1 - 3e^{-x})}{9} = \frac{4e^{-x}(e^x - 1)(1 - 3e^{-x})}{9}$. Ou : $f'(x) = \frac{e^{-x}(4e^x - 3)(1 - 3e^x)}{9}$ après réorganisation. ✓ 2.b) Variations :

  • $f'(x) = 0$ quand $4e^x = 3$ (i.e., $e^x = 3/4$, $x = \ln(3/4) < 0$) ou $e^x = 1/3$ (i.e., $x = \ln(1/3) < 0$)
  • Tableau : croissante sur $]-\infty, \ln(1/3)[$ et $]\ln(3/4), +\infty[$, décroissante sur $]\ln(1/3), \ln(3/4)[$.

  2.c) $f(0) = \frac{1 \cdot (3 - 4)}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. $f(1/2) = \frac{e^{-1/2}(3 - 4e^{1/2})}{3} \approx \frac{0.606(3 - 6.6)}{3} < 0$ (en fait, $f$ s'annule entre $0$ et $1/2$). Par le TVI et la monotonie sur cet intervalle, il existe unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. ✓ 2.d) Vérification numérique de $2\alpha - 1 \le \alpha^2$ (découle de la position de $\alpha$).…

  ce que le barème veut ·

  1. Limites : Analyser le comportement asymptotique en décomposant $f$ en termes dominants.
  2. Dérivée : Utiliser la règle du produit et de la chaîne. Reformuler $f'$ pour en identifier les zéros et le signe.
  3. Variations : Dresser un tableau avec les zéros de $f'$ et le signe aux intervalles.
  4. Théorème des valeurs intermédiaires : Si $f$ est continue, $f(a) < 0 < f(b)$ et $f$ est monotone sur $[a, b]$, alors il existe unique $\alpha \in (a, b)$ tel que $f(\alpha) = 0$.
  5. Théorème de Rolle : Si $f$ est continue et dérivable sur $[a, b]$ avec $f(a) = f(b)$, alors $\exists c \in (a, b) : f'(c) = 0$. Appliquer à $f'$ pour obtenir $f'' = 0$.
  6. Théorème des accroissements finis : Si $f'$ est dérivable sur $[a, b]$, alors pour $x \neq c$ : $\left| \frac{f'(x) - f'(c)}{x - c} \right| = |f''(\xi)| \le M$ pour $\xi$ entre $c$ et $x$.
  7. Point d'inflexion : Si $f'' = 0$ à un point et change de signe (ou $f'''$ change de signe), c'est un point d'inflexion.
  8. Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ :
     • Si $u_n < \alpha$ et $f(u_n) < 0$, alors $u_{n+1} < u_n$ (décroissance).
     • Suite décroissante et minorée converge.
     • Limite $L$ satisfait…
• NATIONAL 2019 · normale10 pts
  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 4e^x - (x+3)e^x = (1-x)e^x$ On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. PARTIE I : 1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et…
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  PARTIE I : 1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (1-x)e^x = -\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ 2. a) $f'(x) = -e^x - (1-x)e^x = -xe^x$ ✓ b) Tableau de variations :

  • $f'(x) > 0$ pour $x < 0$ ⟹ $f$ croissante sur $(-\infty, 0)$
  • $f'(x) < 0$ pour $x > 0$ ⟹ $f$ décroissante sur $(0, +\infty)$
  • Maximum en $x=0$ : $f(0) = 1$

  | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |-----|:----------:|:--:|:--:|:--:|:--------:| | $f'(x)$ | | $+$ | 0 | $-$ | | | $f(x)$ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | $-\infty$ | c) Sur $[2/3, 1]$ : $f(2/3) = (1/3)e^{2/3} \approx (1/3) \times 1.95 \approx 0.65 > 0$ et $f(1) = 0$. Unicité : $f$ strictement décroissante sur $[2/3, 1]$, donc un seul zéro $\alpha = 1$. d) $\alpha = 1$, donc $6(\alpha - 1) = 0$. Énoncé à réviser ; hypothèse réelle : $\alpha \in [2/3, 1)$. Vérification numérique attendue : $2 < 6(1-\alpha) < 5$ pour approximation de $\alpha$. 3. a) $f'(x) = -xe^x$ sur $[0,1]$ : $f'(0) = 0$, $f'(1) = -e$. Par Rolle appliqué à $f'$ : $\exists x_0 \in (0,1)$ tel que $f''(x_0) = 0$. b) $f''(x) = -e^x - xe^x = -(1+x)e^x$. TAF : pour tout $x \in [0,1] \setminus \{x_0\}$,…

  ce que le barème veut ·

  PARTIE I : 1. Limites : croissance/décroissance exponentielle. $(1-x)e^x \to -\infty$ quand $x \to +\infty$ ; $\to 0$ quand $x \to -\infty$. 2.a) Dérivée : $\frac{d}{dx}[(1-x)e^x] = -e^x + (1-x)e^x = -xe^x$. 2.b) Signe de $f'(x) = -xe^x$ : positif pour $x < 0$, négatif pour $x > 0$. Tableau standard. 2.c) Théorème des valeurs intermédiaires sur $[2/3, 1]$ : $f$ continue, $f(2/3) > 0$, $f(1) = 0$, donc existence et unicité d'un zéro. (Si $f(1)$ est exactement 0, alors $\alpha = 1$.) 2.d) Encadrement numérique : calculer $f$ aux bornes et interpoler. 3.a) $f'(x) = -xe^x$ sur $[0,1]$ : $f'(0) = 0$, $f'(1) = -e \neq 0$. Rolle assure $\exists x_0$ tel que $f''(x_0) = 0$. 3.b) $f''(x) = -(1+x)e^x$, $f'''(x) = -(2+x)e^x$ borné sur $[0,1]$. TAF garantit ratio borné. 3.c) Point d'inflexion : $f''$ change de signe en $x_0$ et $f'''(x_0) \neq 0$. 4.a) Branches infinies : comportement en $\pm\infty$. 4.b) Trace : utiliser tableau de variations, points clés, allure générale. 5.a) $f(x) \geq 0$ sur $[0,\alpha]$ car $f$ décroît de $f(0) = 1$ à $f(\alpha) = 0$. 5.b) Intégrale : primitives de $e^x$ et $(1-x)e^x$ par parties. Évaluer…
• NATIONAL 2016 · normale7 pts
  Première partie : 1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t \mapsto e^t$, montrer que pour tout réel strictement positif $x$, il existe un réel $c$ compris entre $0$ et $x$ tel que : $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$ 2. En déduire que pour…
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  Première partie : 1. Par le TAF appliqué à $e^t$ sur $[0,x]$ : il existe $c \in (0,x)$ tel que $e^c = \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \frac{e^x - 1}{x}$. 2.a) De $e^c > e^0 = 1$ pour $c > 0$, on obtient $e^x - 1 > x$, donc $e^x > x + 1$. Appliquer à $-x$ : $e^{-x} > -x + 1 = 1 - x$. 2.b) $e^x > x + 1$ (établi ci-dessus). 2.c) De $\frac{xe^x}{e^x - 1} > x$, déduire de (b) que $e^x - 1 < xe^x$, d'où le résultat. Deuxième partie : 1.a) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{xe^x}{e^x - 1} = 1 = f(0)$ (par règle de l'Hôpital ou développement de Taylor). 1.b) $\lim_{x \to 0^+} (f(x) - x) = 0$ signifie que la droite $y = x$ est asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $0$ (tangente à droite en $0$). 2.a) De $e^x > x + 1$, on obtient $e^x - 1 > x$, donc $xe^x - e^x + 1 < 0$ (réécriture). 2.b) De la question 2a et manipulation : $\frac{x}{2} < e^x + x - 1 < \frac{x^2}{2}$. 3.a) $0 < \frac{f(x) - 1}{x^2} < \frac{e^x + x - 1}{x^2}$ découle de 2b et des inégalités établies. 3.b) $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - 1}{x} = \frac{1}{2}$ (par le théorème des gendarmes et calcul direct). Cela signifie que $f'(0^+) = \frac{1}{2}$ (nombre…

  ce que le barème veut ·

  Première partie : 1. Appliquer le TAF : pour $f(t) = e^t$ sur $[0,x]$, il existe $c \in (0,x)$ tel que $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$, c'est-à-dire $e^c = \frac{e^x - 1}{x}$. 2.a) De $e^c > 1$ pour $c > 0$, déduire $e^x - 1 > x$. Appliquer à $-x$ pour obtenir $1 - x < e^{-x}$. 2.b) Directe de (a). 2.c) Utiliser (b) : $e^x > 1 + x$, donc $e^x - 1 > x$, d'où $\frac{e^x - 1}{x} > 1$, ce qui donne le résultat. Deuxième partie : 1.a) Calculer $\lim_{x \to 0^+} \frac{xe^x}{e^x - 1}$ par développements de Taylor ou règle de l'Hôpital : $\lim = 1$. 1.b) $\lim_{x \to 0^+} (f(x) - x) = 1 - 0 = 1$ [correction selon le calcul : peut être $0$ si l'énoncé est différent]. Interpréter comme pente de la tangente ou asymptote oblique. 2.a) Manipuler l'inégalité $e^x > 1 + x$ pour obtenir la forme souhaitée. 2.b) Encadrer $e^x + x - 1$ en utilisant les inégalités établies et la définition de $f$. 3.a) Diviser par $x^2$ et utiliser (2b). 3.b) Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x + x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}$, d'où $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - 1}{x} = \frac{1}{2}$. 4.a) Dériver $f(x) = \frac{xe^x}{e^x - 1}$…
• NATIONAL 2015 · normale3 pts
  On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $[0, +\infty[$ par : $g(0) = \ln 2 \quad \text{et} \quad g(x) = \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} \, dt \quad \text{pour } x > 0$ 1- a) Montrer que : $(\forall x > 0)$ $(\forall t \in [x, 2x])$…
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  1-a) Pour $t \in [x, 2x]$ avec $x > 0$, on a $x \leq t \leq 2x$, donc (par monotonie de l'exponentielle) $e^x \leq e^t \leq e^{2x}$. ✓ 1-b) Par intégration sur $[x, 2x]$ (longueur $x$) : $e^x \int_x^{2x} \frac{1}{t} dt < \int_x^{2x} \frac{e^t}{t} dt < e^{2x} \int_x^{2x} \frac{1}{t} dt$ $e^x \ln 2 < g(x) < e^{2x} \ln 2$ ✓ 1-c) Par le théorème des gendarmes : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} e^x \ln 2 = \ln 2 = g(0)$. Donc $g$ est continue à droite en $0$. ✓ 2) Pour $x > 0$, par le théorème fondamental du calcul et la règle de Leibniz (dérivation sous le signe intégral) : $g'(x) = \frac{d}{dx}\int_x^{2x} \frac{e^t}{t} dt = \frac{e^{2x}}{2x} \cdot 2 - \frac{e^x}{x} = \frac{e^{2x}}{x} - \frac{e^x}{x}$ Donc $g'(x) = \frac{e^{2x} - e^x}{x}$ pour $x > 0$. ✓ 3-a) Par le théorème des accroissements finis appliqué à $h(t) = e^t$ sur $[0, t]$ : $e^t - e^0 = t \cdot h'(c) = t e^c$ pour un certain $c \in [0, t]$. Donc $e^t - 1 = t e^c \leq t e^t$, soit $\frac{e^t - 1}{t} \leq e^t$. ✓ 3-b) On a :…

  ce que le barème veut ·

  1. Encadrement de $e^t$ : utiliser la monotonie de l'exponentielle sur l'intervalle $[x, 2x]$.
  2. Intégration de l'encadrement : multiplier chaque partie de l'inégalité par $\frac{1}{t}$, puis intégrer sur $[x, 2x]$. Reconnaître que $\int_x^{2x} \frac{dt}{t} = \ln 2x - \ln x = \ln 2$.
  3. Continuité par les gendarmes : montrer que les bornes convergent vers $\ln 2$ quand $x \to 0^+$.
  4. Dérivation de l'intégrale : appliquer la règle de Leibniz pour la dérivation d'une intégrale à bornes variables :

  $\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

  5. Théorème des accroissements finis (TAF) : pour montrer $\frac{e^t - 1}{t} \leq e^t$, appliquer le TAF à la fonction exponentielle sur $[0, t]$ pour écrire $e^t - 1 = t e^c$ pour un $c \in ]0, t[$, puis utiliser $e^c \leq e^t$.
  6. Encadrement du quotient : réécrire $\frac{g(x) - \ln 2}{x}$ comme une moyenne intégrale, puis appliquer l'inégalité de 3-a).
  7. Dérivabilité à droite : calculer la limite du quotient de différence en $0$ en utilisant l'encadrement et la règle de L'Hôpital ou des développements limités.
• NATIONAL 2013 · rattrapage1 pts
  Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose: $u_n = \frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}$ et $v_n = \ln(u_n)$ 1-Vérifier que : $(\forall n\geq 1)$ ; $v_n = n^2 (\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1)))$ 2-En utilisant le théorème des accroissements finies, montrer que :…
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  1. $v_n = \ln(u_n) = \ln\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right) = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1))$. L'énoncé contient une erreur de transcription, il devrait être $v_n = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1))$ et non $v_n = n^2 (\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1)))$.
  2. Soit $f(x) = \ln(\arctan(x))$. Par le Théorème des Accroissements Finis sur $[n, n+1]$, il existe $c \in ]n, n+1[$ tel que $f(n+1) - f(n) = f'(c)(n+1-n) = f'(c)$. $f'(x) = \frac{1}{\arctan(x)} \cdot \frac{1}{1+x^2}$. Donc $v_n = \ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1)) = -(f(n+1) - f(n)) = -f'(c) = -\frac{1}{(1+c^2)\arctan(c)}$. L'énoncé contient une erreur de transcription, il devrait être $v_n = \frac{-1}{(1+c^2)\arctan(c)}$ et non $v_n = \frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)}$.
  3. La question est mal formulée et semble incohérente avec les questions précédentes en raison des erreurs de transcription. Si on corrige les erreurs des questions 1 et 2, on peut encadrer $v_n$.
  4. $\lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} \frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)} = \frac{\pi/2}{\pi/2} = 1$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser la propriété du logarithme $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$.
  2. Appliquer le Théorème des Accroissements Finis à la fonction $f(x) = \ln(\arctan(x))$ sur l'intervalle $[n, n+1]$.
  3. Utiliser les inégalités pour encadrer $v_n$ en se basant sur la question 2.
  4. Calculer la limite de $\arctan(n)$ lorsque $n \to +\infty$.