Électricité (RC, RL, RLC, modulation)

L'intuition

Imagine que tu remplis un verre d'eau avec un robinet. Le verre est le condensateur, l'eau est la charge électrique. Au début, le verre est vide, l'eau coule vite. Plus le verre se remplit, plus la pression de l'eau à l'intérieur s'oppose à l'arrivée d'eau, et le débit ralentit. C'est ce qui se passe avec un condensateur qui se charge : la tension à ses bornes augmente et s'oppose au courant. Le temps que ça prend pour que le verre se remplisse à une certaine proportion, c'est la constante de temps $\tau$.

Maintenant, imagine que tu lances un lourd volant d'inertie. Il ne démarre pas instantanément, il faut un effort pour le mettre en mouvement. Une fois lancé, il ne s'arrête pas non plus d'un coup. Une bobine, c'est l'inertie électrique : elle s'oppose aux variations de courant. Si tu essaies de faire passer un courant brutalement, elle résiste. Si tu essaies de couper le courant, elle essaie de le maintenir.

Enfin, si tu attaches une masse à un ressort et que tu la tires, elle oscille. Si tu la laisses osciller dans l'air, les frottements (la résistance de l'air) vont faire diminuer les oscillations jusqu'à l'arrêt. C'est un circuit RLC : le condensateur et la bobine échangent de l'énergie (comme le ressort et la masse), et la résistance (les frottements) dissipe cette énergie, amortissant les oscillations.

Le cours

Ce chapitre est essentiel pour comprendre le comportement des circuits électriques en régime transitoire (lorsque les grandeurs électriques varient) et en régime sinusoïdal forcé. Il se concentre sur les dipôles RC, RL et RLC.

I. Le dipôle RC

Un dipôle RC est constitué d'un conducteur ohmique de résistance $R$ (en Ohm, $\Omega$) et d'un condensateur de capacité $C$ (en Farad, F).

1. Charge d'un condensateur

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue $E$ (en Volt, V), d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur.

• Loi des mailles : La somme des tensions aux bornes des dipôles récepteurs est égale à la tension du générateur. $E = u_R + u_C$
• Tension aux bornes du conducteur ohmique : $u_R = R \cdot i$
• Relation courant-tension pour le condensateur : Le courant $i$ est la dérivée de la charge $q$ par rapport au temps, et $q = C \cdot u_C$. $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$

En combinant ces relations, on établit l'équation différentielle de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur : $E = R \left( C \frac{du_C}{dt} \right) + u_C$ Soit : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$

La solution de cette équation différentielle, avec la condition initiale $u_C(0) = 0$ (condensateur initialement déchargé), est de la forme : $u_C(t) = E (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$

La constante de temps $\tau$ (en seconde, s) est donnée par : $\tau = RC$. Elle caractérise la rapidité de la charge. Graphiquement, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine de la courbe $u_C(t)$ avec l'asymptote $u_C = E$. Elle représente aussi le temps nécessaire pour que la tension $u_C$ atteigne environ 63% de sa valeur finale $E$. L'intensité du courant est : $i(t) = C \frac{du_C}{dt} = C \frac{d}{dt} \left( E (1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \right) = C E \left( \frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} \right) = \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$ L'intensité maximale à $t=0$ est $I_0 = E/R$.

2. Décharge d'un condensateur

Considérons un condensateur initialement chargé sous une tension $U_0$, qui se décharge à travers un conducteur ohmique de résistance $R$.

• Loi des mailles : $u_R + u_C = 0$
• Équation différentielle : En remplaçant $u_R$ et $i$, on obtient : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

La solution de cette équation, avec la condition initiale $u_C(0) = U_0$, est de la forme : $u_C(t) = U_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$ Avec $\tau = RC$. Graphiquement, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine de la courbe $u_C(t)$ avec l'axe des temps. Elle représente aussi le temps nécessaire pour que la tension $u_C$ diminue de 63% de sa valeur initiale, soit atteindre 37% de $U_0$. L'intensité du courant est : $i(t) = C \frac{du_C}{dt} = -\frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$. Le signe négatif indique que le courant circule dans le sens inverse de la charge.

3. Énergie emmagasinée

L'énergie électrique $E_e$ (en Joule, J) emmagasinée dans un condensateur est donnée par : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$

4. Méthodes graphiques et expérimentales (RC)

• Détermination de $\tau$ :
  • Méthode de la tangente : Tracer la tangente à l'origine de la courbe $u_C(t)$ (ou $i(t)$). Son intersection avec l'asymptote (pour la charge, $u_C=E$; pour la décharge, $u_C=0$) donne $\tau$.
  • Méthode des 63% (charge) / 37% (décharge) : Pour la charge, $\tau$ est l'instant où $u_C(\tau) = 0,63 E$. Pour la décharge, $\tau$ est l'instant où $u_C(\tau) = 0,37 U_0$.
• Détermination de $R$ et $C$ : Une fois $\tau$ déterminé, si $R$ est connu, on peut calculer $C = \tau/R$. Si $C$ est connu, on calcule $R = \tau/C$.

II. Le dipôle RL

Un dipôle RL est constitué d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'une bobine d'inductance $L$ (en Henry, H) et de résistance interne $r$. La résistance totale du circuit est $R_{tot} = R+r$.

1. Établissement du courant

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue $E$, d'un conducteur ohmique de résistance $R$, et d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur.

• Loi des mailles : $E = u_R + u_L$
• Tension aux bornes du conducteur ohmique : $u_R = R \cdot i$
• Tension aux bornes de la bobine : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$

En combinant ces relations, on établit l'équation différentielle de l'intensité $i(t)$ du courant : $E = R \cdot i + L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ Soit : $L \frac{di}{dt} + (R+r) i = E$ Ou encore : $\frac{L}{R+r} \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R+r}$

La solution de cette équation différentielle, avec la condition initiale $i(0) = 0$ (le courant ne peut pas s'établir instantanément dans une bobine), est de la forme : $i(t) = I_0 (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ Avec $I_0 = \frac{E}{R+r}$ (intensité en régime permanent). La constante de temps $\tau$ (en seconde, s) est donnée par : $\tau = \frac{L}{R+r}$. Elle caractérise la rapidité de l'établissement du courant. Graphiquement, $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine de la courbe $i(t)$ avec l'asymptote $i = I_0$. Elle représente aussi le temps nécessaire pour que l'intensité $i$ atteigne environ 63% de sa valeur finale $I_0$.

2. Rupture du courant

Lors de la rupture du courant, la bobine s'oppose à la diminution du courant en générant une surtension $u_L = L \frac{di}{dt}$. Pour éviter d'endommager le circuit, on place souvent une diode de roue libre en parallèle avec la bobine.

3. Énergie emmagasinée

L'énergie magnétique $E_m$ (en Joule, J) emmagasinée dans une bobine est donnée par : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$

4. Méthodes graphiques et expérimentales (RL)

• Détermination de $\tau$ :
  • Méthode de la tangente : Tracer la tangente à l'origine de la courbe $i(t)$. Son intersection avec l'asymptote $i=I_0$ donne $\tau$.
  • Méthode des 63% : $\tau$ est l'instant où $i(\tau) = 0,63 I_0$.
• Détermination de $L$ et $r$ :
  • En régime permanent ($t \to \infty$), $i = I_0 = E/(R+r)$. On peut en déduire $R+r$.
  • Une fois $\tau$ et $R+r$ déterminés, on peut calculer $L = \tau (R+r)$.

III. Le circuit RLC série

Un circuit RLC série est composé d'un conducteur ohmique de résistance $R$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$, et d'un condensateur de capacité $C$. La résistance totale du circuit est $R_{tot} = R+r$.

1. Oscillations libres amorties

Considérons un condensateur initialement chargé qui se décharge dans un circuit série composé d'une bobine (L, r) et d'un conducteur ohmique (R).

• Loi des mailles : $u_C + u_R + u_L = 0$
• Relations : $u_R = R \cdot i$, $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$, $i = C \frac{du_C}{dt}$

En combinant ces relations, on établit l'équation différentielle de la tension $u_C(t)$ : $u_C + (R+r) C \frac{du_C}{dt} + L C \frac{d^2u_C}{dt^2} = 0$ Soit : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r) C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

Le comportement du circuit dépend de la valeur de la résistance totale $R_{tot} = R+r$. On distingue trois régimes d'amortissement :

• Régime pseudo-périodique : Si $R_{tot}$ est faible, les oscillations sont amorties. La tension $u_C(t)$ diminue en amplitude au cours du temps. La période des oscillations est appelée pseudo-période $T$.
• Régime critique : Pour une valeur spécifique de $R_{tot}$ (résistance critique $R_c$), le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.
• Régime apériodique : Si $R_{tot}$ est grande, le système revient à l'équilibre sans osciller, mais plus lentement qu'en régime critique.

2. Oscillations libres non amorties (circuit LC idéal)

Si la résistance totale du circuit est nulle ($R_{tot} = 0$), l'équation différentielle devient : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = 0$ C'est l'équation d'un oscillateur harmonique. La solution est de la forme : $u_C(t) = U_m \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \phi)$ Où $U_m$ est l'amplitude maximale et $\phi$ est la phase à l'origine. La période propre $T_0$ (en seconde, s) des oscillations est donnée par la formule de Thomson : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$

3. Bilan d'énergie dans le circuit RLC

L'énergie totale $E_{tot}$ (en Joule, J) emmagasinée dans le circuit est la somme de l'énergie électrique du condensateur et de l'énergie magnétique de la bobine : $E_{tot} = E_e + E_m = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$

• Circuit LC idéal ($R_{tot}=0$) : L'énergie totale se conserve. Il y a un échange permanent entre l'énergie électrique et l'énergie magnétique. $\frac{dE_{tot}}{dt} = 0$
• Circuit RLC réel ($R_{tot} \neq 0$) : L'énergie totale diminue au cours du temps à cause de la dissipation par effet Joule dans la résistance $R_{tot}$. $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_{tot} i^2$ L'énergie est convertie en chaleur.

4. Méthodes graphiques et expérimentales (RLC)

• Détermination de $T_0$ (ou $T$) : Lecture directe sur la courbe $u_C(t)$ ou $i(t)$ pour plusieurs périodes et calcul de la moyenne.
• Détermination de $L$ ou $C$ : Si $T_0$ et l'une des grandeurs $L$ ou $C$ sont connues, l'autre peut être calculée à partir de $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Exercice 2 (5 points) : Dipôle RL – Circuit RLC série L'étude du condensateur, de la bobine ou de leur association peut se faire en se basant sur une étude expérimentale. La réponse des dipôles associés à ces composants fournit des informations sur le comportement de chacun, sur la nature des oscillations électriques dans un circuit LC ainsi que sur les aspects et échanges énergétiques à leurs niveaux. Cet exercice vise :

• la détermination de la capacité d'un condensateur ;
• la détermination de l'inductance d'une bobine ;
• l'étude des oscillations électriques dans un circuit RLC série.

Partie 1 : Influence de la résistance sur la réponse d’un dipôle RL Le montage de la figure (1) est constitué :

• d’un générateur de force électromotrice $E = 6V$ ;
• d’une bobine ($L=0,1H ; r =0$) ;
• d’un conducteur ohmique de résistance $R$ réglable ;
• d’un interrupteur $K$. On règle la résistance sur la valeur $R = 220\Omega$ et on ferme l'interrupteur $K$ à un instant $t_0 =0$.

Question 1.1. Recopier sur votre copie le schéma et représenter les tensions $u_L$ aux bornes de la bobine et $u_R$ aux bornes du conducteur ohmique en convention récepteur. Indiquer sur le même schéma les branchements de l'oscilloscope pour visualiser la tension $u_R$.

Correction 1.1. Le schéma doit montrer :

• Le générateur $E$ avec sa borne positive en haut.
• L'interrupteur $K$.
• Le conducteur ohmique $R$ avec la flèche de $u_R$ orientée vers le bas (sens opposé au courant).
• La bobine $L$ avec la flèche de $u_L$ orientée vers le bas (sens opposé au courant).
• Le courant $i$ circulant dans le sens horaire (du + vers le -).
• L'oscilloscope branché : la masse (GND) sur la borne inférieure du conducteur ohmique, et la voie Y1 sur la borne supérieure du conducteur ohmique pour visualiser $u_R$.

Question 1.2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par l’intensité $i(t)$ du courant s'écrit $L \frac{di}{dt} + (R+r) i = E$.

Correction 1.2. En appliquant la loi des mailles : $E = u_R + u_L$. On sait que $u_R = R \cdot i$ et $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$. En substituant ces expressions dans la loi des mailles : $E = R \cdot i + L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ Regroupant les termes en $i$ : $E = (R+r) i + L \frac{di}{dt}$ Ce qui peut être réécrit comme : $L \frac{di}{dt} + (R+r) i = E$.

Question 1.3. La solution de cette équation différentielle est : $i(t) = I_0 (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$. En exploitant l'équation différentielle, trouver l’expression et la valeur de : a. la constante de temps $\tau$ du circuit. b. l'intensité $I_0$ du courant lorsque le régime permanent est établi.

Correction 1.3. a. Pour trouver l'expression de $\tau$, on peut réécrire l'équation différentielle sous la forme : $\frac{L}{R+r} \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R+r}$ En comparant cette forme avec l'équation différentielle normalisée $\tau \frac{di}{dt} + i = K$, on identifie : $\tau = \frac{L}{R+r}$ Calcul de la valeur de $\tau$ : On a $L=0,1H$, $R=220\Omega$ et $r=0\Omega$. $\tau = \frac{0,1}{220+0} = \frac{0,1}{220} \approx 4,55 \times 10^{-4} s$.

b. En régime permanent, le courant est constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$. L'équation différentielle devient : $L \cdot (0) + (R+r) I_0 = E$ Donc $I_0 = \frac{E}{R+r}$ Calcul de la valeur de $I_0$ : $I_0 = \frac{6}{220+0} = \frac{6}{220} \approx 0,0273 A = 27,3 mA$.

Question 1.4. Calculer l'énergie magnétique $E_m$ emmagasinée par la bobine en régime permanent.

Correction 1.4. L'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine est donnée par $E_m = \frac{1}{2} L i^2$. En régime permanent, l'intensité du courant est $I_0$. $E_m = \frac{1}{2} L I_0^2$ $E_m = \frac{1}{2} \times 0,1 \times (0,0273)^2$ $E_m \approx 0,05 \times 0,00074529 \approx 3,726 \times 10^{-5} J$.

La méthode

Voici les étapes clés pour aborder les exercices de ce chapitre :

1. Établir l'équation différentielle :

   • 1.1. Schéma du circuit : Toujours commencer par dessiner le circuit. Représenter les tensions en convention récepteur (flèche opposée au sens du courant) pour les dipôles passifs (résistance, condensateur, bobine) et en convention générateur pour les générateurs. Indiquer le sens du courant.
   • 1.2. Loi des mailles : Appliquer la loi des mailles (somme des tensions dans une maille fermée est nulle, ou somme des tensions réceptrices égale à la tension du générateur).
   • 1.3. Relations caractéristiques des dipôles :
     • Résistance : $u_R = R \cdot i$
     • Condensateur : $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $u_C = \frac{q}{C}$
     • Bobine : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$
   • 1.4. Substitution et simplification : Substituer les expressions des tensions dans la loi des mailles pour obtenir une équation différentielle en fonction de la grandeur demandée (souvent $u_C$ ou $i$).

2. Exploiter l'équation différentielle et sa solution :

   • 2.1. Détermination des constantes : Si une solution est donnée (ex: $A(1-e^{-t/\tau})$), utiliser les conditions initiales ($t=0$) et le régime permanent ($t \to \infty$) pour trouver les constantes (ex: $A$, $I_0$, $U_0$).
   • 2.2. Identification de $\tau$ ou $T_0$ : Mettre l'équation différentielle sous une forme standard (ex: $\tau \frac{dx}{dt} + x = K$ ou $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$) pour identifier la constante de temps $\tau$ ou la pulsation propre $\omega_0 = 2\pi/T_0$.

3. Calculer les constantes de temps et périodes propres :

   • 3.1. Constante de temps $\tau$ :
     • RC : $\tau = RC$
     • RL : $\tau = \frac{L}{R_{tot}}$ (avec $R_{tot} = R+r$)
   • 3.2. Période propre $T_0$ (LC) : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$

4. Bilan d'énergie :

   • 4.1. Énergie électrique : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$
   • 4.2. Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$
   • 4.3. Énergie totale : $E_{tot} = E_e + E_m$. Analyser sa conservation ou sa dissipation par effet Joule ($P_J = R_{tot} i^2$).

5. Interpréter les courbes et données expérimentales :

   • 5.1. Détermination graphique de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine ou la lecture à 63% (charge) / 37% (décharge).
   • 5.2. Détermination graphique de $T_0$ ou $T$ : Mesurer la durée de plusieurs oscillations et diviser par le nombre d'oscillations pour plus de précision.
   • 5.3. Identification des régimes : Reconnaître les régimes pseudo-périodique, apériodique et critique à partir de l'allure des courbes.
   • 5.4. Exploitation des valeurs en régime permanent : Pour un circuit RC chargé, $u_C(\infty) = E$. Pour un circuit RL, $i(\infty) = E/R_{tot}$.

Pièges classiques

• Oubli des conditions initiales : Ne pas tenir compte de l'état initial du condensateur (chargé/déchargé) ou de la bobine (courant nul/non nul) lors de la résolution des équations différentielles. Par exemple, pour la charge d'un condensateur, $u_C(0)=0$. Pour l'établissement du courant dans une bobine, $i(0)=0$.
• Erreur de signe dans les lois des mailles : Toujours respecter les conventions de signe (convention récepteur pour les dipôles passifs, convention générateur pour les sources).
• Confusion entre $R$ et $R_{tot}$ : Pour une bobine avec résistance interne $r$ dans un circuit avec une résistance externe $R$, la résistance totale est $R_{tot} = R+r$. Ne pas oublier $r$ dans les calculs de $\tau$ ou $I_0$.
• Unités : Ne pas convertir les unités au système international (SI). Par exemple, les capacités en microfarads ($\mu F$) doivent être converties en Farads (F), les inductances en millihenrys (mH) en Henrys (H).
• Dérivation du courant pour le condensateur : $i = C \frac{du_C}{dt}$ et non $u_C = C \frac{di}{dt}$.
• Intégration du courant pour la bobine : La tension aux bornes d'une bobine dépend de la dérivée du courant, pas de l'intégrale.
• Interprétation graphique de $\tau$ : Confondre $\tau$ avec le temps au bout duquel le régime permanent est atteint (qui est environ $5\tau$). $\tau$ est le temps pour atteindre 63% de la valeur finale (charge) ou 37% de la valeur initiale (décharge).
• Période propre vs pseudo-période : La formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ est valable pour un circuit LC idéal (résistance nulle). Dans un circuit RLC réel, on parle de pseudo-période $T$, qui est légèrement supérieure à $T_0$ mais souvent assimilée à $T_0$ si l'amortissement est faible.

Ce qui tombe à l'examen

Les exercices d'électricité représentent environ 21% de la note totale de physique-chimie. Ils sont souvent intégrés dans des problèmes plus larges ou des études expérimentales.

Formats de questions réels et barème (basé sur les annales) :

• Établissement et exploitation de l'équation différentielle (0,75 - 1,25 point) :

  • "Recopier le schéma et représenter les tensions..." (0,5 point)
  • "Montrer que l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ s'écrit..." (0,75 point)
  • "En exploitant l'équation différentielle, trouver l'expression et la valeur de la constante de temps $\tau$ et de l'intensité $I_0$ en régime permanent." (1,25 point : 0,5 pour l'expression de $\tau$, 0,25 pour sa valeur, 0,25 pour l'expression de $I_0$, 0,25 pour sa valeur).
  • "Vérifier que la solution proposée est bien celle de l'équation différentielle." (0,5 - 0,75 point)

• Calcul de la constante de temps $\tau$ ou de la période propre $T_0$ (0,25 - 0,5 point) :

  • "Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit." (0,25 point)
  • "Calculer la période propre $T_0$ des oscillations." (0,5 point)

• Bilan d'énergie (0,5 - 0,75 point) :

  • "Calculer l'énergie magnétique $E_m$ emmagasinée par la bobine en régime permanent." (0,5 point)
  • "Calculer l'énergie électrique $E_e$ emmagasinée par le condensateur à $t=0$." (0,5 point)
  • "Comment évolue l'énergie totale du circuit ? Justifier." (0,75 point)

• Interprétation graphique (0,25 - 0,5 point) :

  • "Déterminer graphiquement la valeur de $\tau$." (0,25 point)
  • "Identifier le régime d'amortissement et justifier." (0,25 point)
  • "Déterminer la valeur de la pseudo-période $T$ à partir de la courbe." (0,25 point)

• Détermination de grandeurs physiques (0,5 - 0,75 point) :

  • "Déterminer la capacité $C$ du condensateur." (0,5 point)
  • "Déterminer l'inductance $L$ de la bobine." (0,75 point)

Conseils pour l'examen :

• Rigueur : Toujours écrire les expressions littérales avant les applications numériques. Ne pas oublier les unités.
• Clarté : Les schémas doivent être propres et annotés.
• Justification : Chaque réponse, surtout les interprétations, doit être justifiée par une loi physique ou une observation graphique.
• Gestion du temps : Les questions sont souvent courtes et précises. Entraîne-toi à les résoudre rapidement.