Transformations nucléaires

L'intuition

Imagine que tu as un grand panier rempli de fruits, mais certains de ces fruits sont "instables" et vont se transformer spontanément. Tu ne sais pas exactement quel fruit va se transformer à quel moment, c'est imprévisible pour un fruit donné. Cependant, tu sais qu'au bout d'une certaine période, la moitié de tes fruits instables se seront transformés en d'autres types de fruits, plus stables. Cette période, c'est la demi-vie.

Quand un fruit instable se transforme, il libère une petite quantité de matière sous forme de "graines" (des particules) et de l'énergie. Cette énergie provient d'une très légère diminution de la masse totale du système avant et après la transformation. Même si cette perte de masse est minuscule, elle est convertie en une quantité d'énergie considérable, selon la célèbre relation d'Einstein $E=mc^2$.

Ce chapitre te permettra de comprendre comment ces transformations se produisent, quelles lois les régissent, comment calculer l'énergie qu'elles libèrent, et comment suivre l'évolution d'un échantillon de noyaux instables au fil du temps.

Le cours

I. Stabilité et instabilité des noyaux atomiques

Un noyau atomique est constitué de protons (charge positive, nombre Z) et de neutrons (charge nulle, nombre N). Le nombre de masse A représente le nombre total de nucléons (protons + neutrons) : $A = Z + N$. Un nucléide est symbolisé par $_{Z}^{A}X$, où X est le symbole de l'élément chimique.

Certains noyaux sont stables, tandis que d'autres sont instables. Les noyaux instables se transforment spontanément pour atteindre un état plus stable, c'est le phénomène de la radioactivité. La stabilité d'un noyau est liée au rapport N/Z. Les noyaux légers stables ont un rapport N/Z proche de 1. Pour les noyaux lourds, ce rapport augmente, et les noyaux deviennent plus stables avec un excès de neutrons.

II. Les transformations nucléaires spontanées (radioactivités)

Une transformation nucléaire est une réaction qui modifie la composition d'un noyau atomique. Lors d'une désintégration radioactive, un noyau père instable se transforme en un noyau fils, en émettant une particule.

A. Lois de conservation (lois de Soddy)

Lors de toute transformation nucléaire, deux grandeurs se conservent :

1. Conservation du nombre de masse A : La somme des nombres de masse des réactifs est égale à la somme des nombres de masse des produits.
2. Conservation du nombre de charge Z : La somme des nombres de charge des réactifs est égale à la somme des nombres de charge des produits.

Pour une réaction nucléaire générique : $_{Z}^{A}X \longrightarrow _{Z'}^{A'}Y + _{z}^{a}P$ On a :

• $A = A' + a$
• $Z = Z' + z$

Ces lois sont fondamentales pour écrire correctement les équations de désintégration.

B. Les différents types de radioactivité

1. Radioactivité $\alpha$ (alpha)

   • Émission d'un noyau d'hélium $^4_2He$ (particule $\alpha$).
   • Concerne les noyaux lourds.
   • Équation générale : $_{Z}^{A}X \longrightarrow _{Z-2}^{A-4}Y + _{2}^{4}He$
   • Exemple : Désintégration du Polonium 210 $_{84}^{210}Po \longrightarrow _{82}^{206}Pb + _{2}^{4}He$

2. Radioactivité $\beta^-$ (bêta moins)

   • Émission d'un électron $^0_{-1}e$ (particule $\beta^-$).
   • Un neutron se transforme en proton et un électron.
   • Concerne les noyaux riches en neutrons.
   • Équation générale : $_{Z}^{A}X \longrightarrow _{Z+1}^{A}Y + _{-1}^{0}e$
   • Exemple : Désintégration du Sodium 24 $_{11}^{24}Na \longrightarrow _{12}^{24}Mg + _{-1}^{0}e$

3. Radioactivité $\beta^+$ (bêta plus)

   • Émission d'un positon $^0_{+1}e$ (particule $\beta^+$).
   • Un proton se transforme en neutron et un positon.
   • Concerne les noyaux riches en protons.
   • Équation générale : $_{Z}^{A}X \longrightarrow _{Z-1}^{A}Y + _{+1}^{0}e$
   • Exemple : Désintégration du Potassium 40 $_{19}^{40}K \longrightarrow _{18}^{40}Ar + _{+1}^{0}e$

4. Radioactivité $\gamma$ (gamma)

   • Émission d'un photon $\gamma$ (rayonnement électromagnétique).
   • Accompagne souvent les désintégrations $\alpha$ ou $\beta$ lorsque le noyau fils est dans un état excité. Il retourne à son état fondamental en émettant un photon $\gamma$.
   • Équation générale : $_{Z}^{A}Y^* \longrightarrow _{Z}^{A}Y + \gamma$ (où $Y^*$ est le noyau fils excité)

III. La loi de décroissance radioactive

La désintégration radioactive est un phénomène aléatoire et spontané. On ne peut pas prédire quand un noyau donné va se désintégrer, mais on peut décrire l'évolution statistique d'un grand nombre de noyaux.

A. Loi de décroissance

Le nombre de noyaux radioactifs $N$ d'un échantillon diminue exponentiellement au cours du temps. $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ Où :

• $N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$.
• $N_0$ est le nombre initial de noyaux radioactifs (à $t=0$).
• $\lambda$ est la constante radioactive (en $s^{-1}$ ou $an^{-1}$), caractéristique du nucléide.

B. Activité radioactive

L'activité $A(t)$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations par unité de temps. $A(t) = |\frac{dN}{dt}| = \lambda N(t)$ En remplaçant $N(t)$, on obtient : $A(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = A_0 e^{-\lambda t}$ L'unité de l'activité est le Becquerel (Bq) : $1 \text{ Bq} = 1 \text{ désintégration par seconde}$.

C. Temps de demi-vie ($t_{1/2}$)

Le temps de demi-vie (ou période radioactive) $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés. À $t = t_{1/2}$, on a $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$. En utilisant la loi de décroissance : $\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}$ $\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}$ $\ln(\frac{1}{2}) = -\lambda t_{1/2}$ $-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$ $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

D. Courbe de décroissance radioactive

La représentation graphique de $N(t)$ ou $A(t)$ en fonction du temps est une courbe exponentielle décroissante. Figure 1: Courbe de décroissance radioactive

IV. Énergie des transformations nucléaires

A. Défaut de masse ($\Delta m$) et énergie de liaison ($E_l$)

1. Défaut de masse ($\Delta m$) La masse d'un noyau est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons (protons et neutrons) pris isolément. Cette différence est appelée défaut de masse. Pour un noyau $_{Z}^{A}X$ : $\Delta m = [Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n] - m(_{Z}^{A}X)$ Où $m_p$ est la masse d'un proton, $m_n$ la masse d'un neutron, et $m(_{Z}^{A}X)$ la masse du noyau.

2. Énergie de liaison ($E_l$) Le défaut de masse correspond à l'énergie nécessaire pour séparer les nucléons du noyau. C'est l'énergie de liaison, calculée par la relation d'Einstein : $E_l = \Delta m \cdot c^2$ L'énergie de liaison est souvent exprimée en MeV (Mégaélectronvolt). $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$ (où u est l'unité de masse atomique).

3. Énergie de liaison par nucléon ($E_l/A$) L'énergie de liaison par nucléon est $E_l/A$. Elle permet d'évaluer la stabilité d'un noyau : plus $E_l/A$ est grande, plus le noyau est stable. Figure 2: Courbe d'Aston (énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse A)

B. Énergie libérée lors d'une transformation nucléaire

Lors d'une transformation nucléaire, il y a une variation de masse $\Delta m_{réaction}$ qui se traduit par une libération ou une absorption d'énergie. Pour une réaction $X_1 + X_2 \longrightarrow X_3 + X_4$: $\Delta m_{réaction} = [m(X_3) + m(X_4)] - [m(X_1) + m(X_2)]$ L'énergie libérée (ou absorbée) est $E_{libérée} = |\Delta m_{réaction}| \cdot c^2$. Si $\Delta m_{réaction} < 0$, de l'énergie est libérée (réaction exothermique). Si $\Delta m_{réaction} > 0$, de l'énergie est absorbée (réaction endothermique).

L'énergie libérée peut aussi être calculée à partir des énergies de liaison des noyaux impliqués : $E_{libérée} = \sum E_l(\text{produits}) - \sum E_l(\text{réactifs})$

V. Applications de la radioactivité

La radioactivité a de nombreuses applications :

• Datation : Utilisation de la décroissance radioactive pour déterminer l'âge d'échantillons (datation au carbone 14 pour les matières organiques, datation Potassium-Argon pour les roches).
• Médecine : Imagerie médicale (TEP), radiothérapie pour le traitement des cancers, stérilisation de matériel médical.
• Production d'énergie : Centrales nucléaires (fission nucléaire).
• Industrie : Stérilisation d'aliments, contrôle qualité (détection de défauts).

Exemple résolu

Extrait d'annale : Physique (13 points) Exercice 1 : Les transformations nucléaires (2,25 points) : La radioactivité du polonium. Le noyau de polonium $^{210}_{84}Po$ se désintègre spontanément pour se transformer en un noyau de plomb $^{206}_{82}Pb$ avec émission d'une particule $\alpha$. Cet exercice se propose d'étudier le bilan énergétique de cette transformation ainsi que l'évolution de cette dernière au cours du temps. Données :

• Énergie de liaison du noyau de polonium 210 : $E_l(^{210}Po) = 1644,9 \text{ MeV}$
• Énergie de liaison par nucléon du noyau de plomb 206 : $E_l/A(^{206}Pb) = 7,83 \text{ MeV/nucléon}$
• Énergie de liaison par nucléon du noyau d'hélium 4 : $E_l/A(^{4}He) = 7,07 \text{ MeV/nucléon}$

Questions typiques :

1. Écrire l'équation de désintégration du polonium 210.
2. Calculer l'énergie libérée par cette désintégration en MeV.

Résolution pas à pas :

1. Écriture de l'équation de désintégration : Le noyau de polonium $^{210}_{84}Po$ se désintègre en noyau de plomb $^{206}_{82}Pb$ et une particule $\alpha$ ($^4_2He$). L'équation s'écrit : $_{84}^{210}Po \longrightarrow _{82}^{206}Pb + _{2}^{4}He$ Vérifions les lois de Soddy :

   • Conservation de A : $210 = 206 + 4$ (Correct)
   • Conservation de Z : $84 = 82 + 2$ (Correct)

2. Calcul de l'énergie libérée : Nous allons utiliser la formule $E_{libérée} = \sum E_l(\text{produits}) - \sum E_l(\text{réactifs})$.

   • Énergie de liaison du réactif : $E_l(^{210}Po) = 1644,9 \text{ MeV}$ (donnée).
   • Énergie de liaison des produits :
     • Pour le plomb $^{206}Pb$ : $E_l(^{206}Pb) = E_l/A(^{206}Pb) \times A(^{206}Pb) = 7,83 \text{ MeV/nucléon} \times 206 = 1613,98 \text{ MeV}$.
     • Pour l'hélium $^4He$ : $E_l(^{4}He) = E_l/A(^{4}He) \times A(^{4}He) = 7,07 \text{ MeV/nucléon} \times 4 = 28,28 \text{ MeV}$.
   • Somme des énergies de liaison des produits : $1613,98 + 28,28 = 1642,26 \text{ MeV}$.
   • Énergie libérée : $E_{libérée} = 1642,26 \text{ MeV} - 1644,9 \text{ MeV} = -2,64 \text{ MeV}$. Le signe négatif indique que l'énergie est libérée par le système. L'énergie libérée par la réaction est donc $2,64 \text{ MeV}$.

La méthode

Voici les étapes clés et les réflexes à adopter pour résoudre les exercices sur les transformations nucléaires :

1. Identifier le type de transformation nucléaire :

   • Lis attentivement l'énoncé pour déterminer si c'est une radioactivité $\alpha$, $\beta^-$, $\beta^+$, ou une fission/fusion (moins fréquent au Bac).
   • Reconnais les particules émises : $\alpha$ ($^4_2He$), $\beta^-$ ($^0_{-1}e$), $\beta^+$ ($^0_{+1}e$).

2. Écrire l'équation de désintégration :

   • Note le noyau père et le noyau fils (si donné) et la particule émise.
   • Applique les lois de Soddy (conservation de A et Z) pour trouver les nombres A et Z du noyau fils ou de la particule inconnue.
   • Exemple : Pour trouver X dans $^{24}_{11}\text{Na} \to ^{24}_{12}\text{Mg} + \text{X}$
     • Conservation de A : $24 = 24 + A_X \implies A_X = 0$
     • Conservation de Z : $11 = 12 + Z_X \implies Z_X = -1$
     • Donc X est $^0_{-1}e$, c'est une désintégration $\beta^-$.

3. Exploiter la loi de décroissance radioactive :

   • Si on te donne $N_0$, $\lambda$ et $t$, tu peux calculer $N(t)$ avec $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
   • Si on te donne $N(t)$, $N_0$ et $t$, tu peux trouver $\lambda$.
   • Si on te demande la demi-vie $t_{1/2}$, utilise la relation $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
   • N'oublie pas que $A(t) = \lambda N(t)$ et $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$.
   • Utilise les graphiques de décroissance (comme la Figure 1) pour déterminer $t_{1/2}$ graphiquement (temps pour que $N$ ou $A$ soit divisé par 2).

4. Calculer l'énergie libérée ou l'énergie de liaison :

   • Énergie libérée ($E_{libérée}$ ou $Q$) :
     • Méthode 1 (avec les masses) : $E_{libérée} = |\Delta m_{réaction}| \cdot c^2$. Calcule $\Delta m_{réaction} = \sum m_{\text{produits}} - \sum m_{\text{réactifs}}$. Fais attention aux unités (u ou kg). Si $\Delta m_{réaction}$ est en u, utilise $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.
     • Méthode 2 (avec les énergies de liaison) : $E_{libérée} = \sum E_l(\text{produits}) - \sum E_l(\text{réactifs})$. Attention au signe : si le résultat est négatif, c'est de l'énergie libérée. On donne souvent la valeur absolue.
   • Énergie de liaison ($E_l$) :
     • Calcule le défaut de masse $\Delta m = [Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n] - m(_{Z}^{A}X)$.
     • Puis $E_l = \Delta m \cdot c^2$.
   • Énergie de liaison par nucléon ($E_l/A$) :
     • Calcule $E_l$ puis divise par A. Compare les valeurs pour évaluer la stabilité des noyaux.

Pièges classiques

1. Erreurs dans les lois de Soddy :

   • Piège : Inverser les nombres A et Z ou faire des erreurs de calcul.
   • Exemple d'erreur : Écrire $^{24}_{11}\text{Na} \to ^{24}_{12}\text{Mg} + ^0_{1}e$ pour une $\beta^-$ (erreur sur le Z de la particule).
   • Contre-exemple : Toujours vérifier que la somme des A et des Z est conservée de chaque côté de la flèche. Pour $^{24}_{11}\text{Na} \to ^{24}_{12}\text{Mg} + \text{X}$, on doit avoir $A_X=0$ et $Z_X=-1$, donc X est $^0_{-1}e$.

2. Confusion entre $t_{1/2}$ et $\lambda$ :

   • Piège : Utiliser $\lambda$ comme une durée ou $t_{1/2}$ comme une constante de désintégration.
   • Exemple d'erreur : Calculer $N(t) = N_0 \cdot e^{-t_{1/2} t}$.
   • Contre-exemple : Rappelle-toi que $t_{1/2}$ est une durée (en s, min, an) et $\lambda$ est une constante de désintégration (en $s^{-1}$, $min^{-1}$, $an^{-1}$). La relation est $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

3. Unités et conversions pour l'énergie :

   • Piège : Oublier de convertir les masses (u en kg) ou les énergies (J en MeV ou inversement) ou utiliser une mauvaise valeur de $c^2$.
   • Exemple d'erreur : Calculer $\Delta m \cdot c^2$ avec $\Delta m$ en u et $c$ en m/s, sans utiliser le facteur de conversion $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$.
   • Contre-exemple : Si les masses sont données en u, utilise $1 \text{ u} \cdot c^2 = 931,5 \text{ MeV}$ pour obtenir l'énergie directement en MeV. Si les masses sont en kg, utilise $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ pour obtenir l'énergie en Joules (J), puis convertis en MeV si nécessaire ($1 \text{ MeV} = 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ J}$).

4. Interprétation de l'énergie libérée :

   • Piège : Ne pas comprendre le signe de $\Delta m_{réaction}$ ou de $E_{libérée}$.
   • Exemple d'erreur : Affirmer qu'une réaction libère de l'énergie si $\Delta m_{réaction} > 0$.
   • Contre-exemple : Une réaction libère de l'énergie si la masse des produits est INFÉRIEURE à celle des réactifs ($\Delta m_{réaction} < 0$). L'énergie libérée est alors $E_{libérée} = |\Delta m_{réaction}| \cdot c^2$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des transformations nucléaires représente environ 8% de la note finale en Physique-Chimie. Les questions sont généralement directes et visent à évaluer ta capacité à appliquer les concepts fondamentaux.

Formats de questions réels et barème (basé sur les annales) :

• Écriture d'équation de désintégration (0,25 - 0,5 point) :

  • On te donne le noyau père et le type de désintégration (ou le noyau fils et la particule), et tu dois écrire l'équation complète en respectant les lois de Soddy.
  • Exemple : "Identifier la particule X dans l'équation de désintégration : $^{24}_{11}\text{Na} \to ^{24}_{12}\text{Mg} + \text{X}$. Quel est le type de désintégration ?" (0,5 point)
  • Attendu : Équation correcte et identification du type de radioactivité.

• Calcul d'énergie (0,5 - 1 point) :

  • Calcul de l'énergie libérée par une désintégration, soit à partir des masses, soit à partir des énergies de liaison.
  • Calcul de l'énergie de liaison ou de l'énergie de liaison par nucléon.
  • Exemple : "Calculer l'énergie libérée en MeV lors de cette désintégration." (0,75 point) ou "Déterminer l'énergie de liaison par nucléon du noyau de Polonium 210." (0,75 point)
  • Attendu : Formule correcte, application numérique avec les bonnes unités, résultat avec un nombre de chiffres significatifs cohérent.

• Exploitation de la loi de décroissance radioactive (0,5 - 1 point) :

  • Calcul du nombre de noyaux, de l'activité ou du temps à partir de $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ ou $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$.
  • Calcul de la demi-vie $t_{1/2}$ à partir de $\lambda$ ou inversement.
  • Détermination graphique de $t_{1/2}$ à partir d'une courbe de décroissance.
  • Exemple : "Déterminer la durée $t$ au bout de laquelle l'activité de l'échantillon est égale à $A_0/4$." (0,5 point) ou "Calculer la constante radioactive $\lambda$ du Polonium 210." (0,5 point)
  • Attendu : Utilisation correcte de la formule, calcul, unité. Pour les questions graphiques, montrer les tracés sur la courbe.

• Définitions (0,25 point) :

  • Définir un noyau radioactif, la demi-vie, l'activité.
  • Exemple : "Définir un noyau radioactif." (0,25 point)
  • Attendu : Définition précise et concise.

Les exercices sont souvent composés de plusieurs de ces questions enchaînées, comme dans l'exemple résolu. La clé est la rigueur dans l'application des formules et le respect des unités.