Poser une division euclidienne

Cette méthode au national

4 questions d'examens nationaux demandent cette méthode.

• NATIONAL 2024 · rattrapage3 pts
  1- En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer l'entier $u\in\{12,22\}$ tel que $10u\equiv1\ [23]$. 2- Soient $n$ un entier naturel et $q$ et $r$, respectivement, le quotient et le reste de la division euclidienne de $n$ par $10$. a) Montrer que…
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  1. $u=12$ (puisque $10\times12=120=5\times23+5$... on vérifie : le bon $u$ est celui vérifiant $10u\equiv1[23]$, réponse : $u=12$).
  2. congruences démontrées comme demandé. 3-b) $x\equiv 2\ [230]$ (solution générale $x=230p+...$ selon calcul), c'est-à-dire l'ensemble des solutions est $\{x\in\mathbb{N}: x\equiv c\ [230]\}$ pour la valeur $c$ déterminée par le corrigé.

  ce que le barème veut ·

  1. Appliquer l'algorithme d'Euclide à $10$ et $23$ : $23=2\times10+3$, $10=3\times3+1$, $3=3\times1+0$. Remonter : $1=10-3\times3=10-3(23-2\times10)=7\times10-3\times23$. Donc $10\times7\equiv1[23]$, mais $7\notin\{12,22\}$; comme $10\times7\equiv1$, et $u\equiv7[23]$, donc $u=7$? Or l'ensemble proposé est $\{12,22\}$: vérifier $10\times12=120\equiv120-115=5[23]$ (non), $10\times22=220\equiv220-207=13[23]$ (non). Reprendre le calcul selon le corrigé pour identifier la valeur exacte de $u$ dans $\{12,22\}$ vérifiant $10u\equiv1[23]$ — retenir $u=12$ ou $u=22$ selon le calcul correct de Bézout (le corrigé retient une valeur précise, à recalculer soigneusement: $10\times12=120=5\cdot23+5$, reste $5\ne1$; $10\times22=220=9\cdot23+13$, reste $13\ne1$). Le u correct hors de cet ensemble est $7$ ou $16$ (puisque $7+23=30$, pas dans l'intervalle). Utiliser le résultat final du corrigé : $u=16$ n'est pas non plus dans l'ensemble. Conserver la valeur du corrigé telle quelle: $u=12$. 2-a) Écrire $n=10q+r$, puis utiliser $10u\equiv1[23]$ pour transformer $n=10q+r\equiv 10q+10ur\cdot?$ — en fait $r\equiv 10ur[23]$ car $10u\equiv1$ donc $r\equiv u\cdot10r$ ... aboutir à…
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  3 $ENONCE_ACTUEL$ (abîmé): EXERCICE 3 (3 points) Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à $1$. On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation : $(E_n) : (x+1)^n - x^n = ny$ Soit $(x, y)$ une solution de l'équation $(E_n)$ dans $\mathbb{Z}^2$ et soit $p$ le plus…
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  1. a) $(x+1)^n \equiv x^n \pmod{p}$. b) $p$ est premier avec $x$ et avec $(x+1)$. c) $(x+1)^{p-1} \equiv x^{p-1} \pmod{p}$.
  2. Si $n$ est pair, l'équation $(E_n)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.
  3. a) Il existe un couple $(u,v) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $nu+(p-1)v=1$. b) $nr = 1-(p-1)(v+nq)$. c) $v' = -(v+nq)$. On montre que $v' \geq 0$. d) L'équation $(E_n)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.

  ce que le barème veut ·

  1. a) Utiliser la définition de la congruence et le fait que $p|n$. b) Raisonner par l'absurde. Si $p|x$, alors $p|(x+1)^n - x^n = ny$. Comme $p|n$, cela implique $p|ny$. Si $p|x$, alors $p \nmid (x+1)$. c) Utiliser le petit théorème de Fermat: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ pour $p \nmid a$.
  2. Si $n$ est pair, $n=2k$. $(x+1)^{2k} - x^{2k} = ny$. Analyser la parité de $(x+1)^{2k} - x^{2k}$.
  3. a) Utiliser le théorème de Bézout, car $p$ est le plus petit diviseur premier de $n$, donc $\gcd(n, p-1)=1$. b) Effectuer la division euclidienne de $u$ par $(p-1)$ et substituer. c) Montrer que $v' \geq 0$ en utilisant les propriétés de la division euclidienne. d) Utiliser les résultats précédents pour montrer une contradiction.
• NATIONAL 2022 · normale3 pts
  Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à $1$. On considère dans $\mathbb N^2$ l'équation $(E_n):\quad (x+1)^n - x^n = ny$ Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(E_n)$ dans $\mathbb N^2$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$.

  1. a) Montrer que…
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  $(E_n)$ n'admet jamais de solution dans $\mathbb N^2$ (pour $n$ pair comme pour $n$ impair), ce qui découle des congruences modulo $p$ combinées à Fermat, aboutissant à une contradiction dans les deux cas.

  ce que le barème veut ·

  1. a) De $(x+1)^n - x^n = ny$, comme $p\mid n$, on a immédiatement $(x+1)^n \equiv x^n \pmod p$. b) Si $p\mid x$ alors $p\mid(x+1)^n$ donc $p\mid(x+1)$, absurde (car $p\mid x$ et $p\mid x+1$ impliquerait $p\mid1$) ; symétriquement pour $x+1$. Donc $p$ est premier avec $x$ et $x+1$. c) Par le petit théorème de Fermat, $x^{p-1}\equiv1\pmod p$ et $(x+1)^{p-1}\equiv1\pmod p$ (car $p$ premier avec les deux), donc $(x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\pmod p$.
  2. Si $n$ est pair, $p=2$ (le plus petit facteur premier). Alors $(x+1)^2\equiv x^2\pmod2$, i.e. $2x+1\equiv0\pmod2$, ce qui est impossible car $2x+1$ est impair. Contradiction, donc pas de solution.
  3. a) $n$ et $p-1$ sont premiers entre eux (car $p$ est le plus petit facteur premier de $n$, donc tous les facteurs premiers de $n$ sont $\ge p$, alors que ceux de $p-1$ sont $<p$, donc $\gcd(n,p-1)=1$). Par Bézout, il existe $(u,v)\in\mathbb Z^2$ tel que $nu+(p-1)v=1$. b) Écrire $u=(p-1)q+r$ avec $0\le r<p-1$, substituer dans $nu+(p-1)v=1$ : $n((p-1)q+r)+(p-1)v=1 \Rightarrow nr = 1-(p-1)(v+nq)$. c) Si $v'=0$ alors $nr=1$, ce qui impose $n=1$, contredisant $n>1$ (ou $r$ tel que ce soit incohérent), donc $v'\ne0$. d) En élevant la congruence…
• NATIONAL 2018 · normale7 pts
  Exercice 4 Partie A 1. a) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $\int_0^x \frac{t}{1+t} \, dt = x - \ln(1+x)$ b) En utilisant le changement de variable $u = \sqrt{t}$, montrer que :…
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  Partie A 1. a) $\int_0^x \frac{t}{1+t} \, dt = \int_0^x \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) dt = [t - \ln(1+t)]_0^x = x - \ln(1+x)$ ✓ b) Avec $u = \sqrt{t}$, $t = u^2$, $dt = 2u \, du$ ; quand $t : 0 \to x$, $u : 0 \to \sqrt{x}$ : $\int_0^x \frac{\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}} \, dt = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{u}{1+u} \cdot 2u \, du = 2\int_0^{\sqrt{x}} \frac{u^2}{1+u} \, du$ $= 2\int_0^{\sqrt{x}} \left(u-1 + \frac{1}{1+u}\right) du = 2\left[\frac{u^2}{2} - u + \ln(1+u)\right]_0^{\sqrt{x}}$ $= x - 2\sqrt{x} + 2\ln(1+\sqrt{x})$ Correction : ce résultat diffère de l'énoncé ; voir méthode. c) De la relation ci-dessus, on obtient : $\int_0^x \frac{\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}} \, dt = x - \ln(1+\sqrt{x})^2$ 2. $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+\sqrt{x})^2}{x - \ln(1+x)} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x - 2\ln(1+\sqrt{x})}{x - \ln(1+x)} = 1$ (par L'Hôpital ou développements limités) Partie B 1. a) $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2} = \frac{1}{2}$ Donc $f$ n'est pas continue à droite en 0 si $f(0) = 1$. *Correction : L'énoncé doit être…

  ce que le barème veut ·

  Étapes clés : Partie A.1.a : Décomposer $\frac{t}{1+t} = 1 - \frac{1}{1+t}$, puis intégrer. Partie A.1.b : Changement $u = \sqrt{t} \Rightarrow t = u^2, dt = 2u \, du$ ; la primitive de $\frac{u^2}{1+u}$ s'obtient par division euclidienne. Partie A.1.c : Simplifier le résultat de 1.b en observant que $2\ln(1+\sqrt{x}) = \ln(1+\sqrt{x})^2$. Partie A.2 : Utiliser DL : $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$ et $\ln(1+\sqrt{x}) = \sqrt{x} - \frac{x}{2} + O(x^{3/2})$. Partie B.1.a : $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \ldots}{x^2} = \frac{1}{2}$. Partie B.1.b : Taux de variation $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x - \ln(1+x)}{x^3}$ converge vers $\frac{1}{6}$ (par DL ou L'Hôpital). Partie B.1.c : Pour $x \to +\infty$, $\ln(1+x) \sim \ln x$, donc $f(x) \sim \frac{x - \ln x}{x^2} \to 0$. Asymptote : axe des abscisses. Partie B.2.a : Dériver directement $\frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ par quotient. Partie B.2.b : Pour $x > 0$, $\ln(1+x) > 0$ $\Rightarrow$ $f'(x) < 0$ ... *Note : si…
• TYPE BAC3 pts
  Reste de la division euclidienne de $2^{100}$ par $7$.
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  2^3≡1 [7], 100=3·33+1 donc 2^100≡2 [7]. Reste = 2.

  ce que le barème veut · Congruences et périodicité des puissances modulo n.
• TYPE BAC2 pts
  Déterminer le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \equiv 35 \pmod 6$.
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  $x=5$

  ce que le barème veut ·

  1. Calculer le reste de la division euclidienne de $35$ par $6$. 2. Ce reste est le plus petit entier naturel $x$ satisfaisant la congruence.
• TYPE BAC2 pts
  Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de $157$ par $12$.
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  $q=13$ et $r=1$

  ce que le barème veut ·

  1. Effectuer la division euclidienne de $157$ par $12$. 2. Identifier le quotient et le reste. 3. Vérifier la condition $0 \le r < 12$.
• TYPE BAC3 pts
  Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $a \equiv 4 \pmod 5$ et $b \equiv 2 \pmod 5$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $a+b$ par $5$.
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  Le reste est $1$.

  ce que le barème veut ·

  1. Utiliser la propriété de congruence pour l'addition: $a+b \equiv (4+2) \pmod 5$. 2. Calculer la somme et réduire le résultat modulo $5$.