Mécanique (Newton, mouvements)

Q: Un solide de masse m = 0.50 kg glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. Déterminer l'accélération du mouvement et la vitesse acquise après une distance d = 2.0 m partant du repos. Donnée : g = 9.8 $m/s^{2}$.

2e loi de Newton projetée sur l'axe du plan : m.g.sin(alpha) = m.a -> a = g.sin(alpha) = 9.8 x 0.50 = 4.9 m/s^2. Mouvement uniformément accéléré depuis le repos : v^2 = 2.a.d = 2 x 4.9 x 2.0 = 19.6 -> v = racine(19.6) = 4.4 m/s.

Q: Exercice 3 (5 points) : Mouvement d'un solide La translation rectiligne d'un solide est un type de mouvement. L'étude de ce type de mouvement dépend de la nature des actions mécaniques appliquées et des conditions initiales et peut se faire par une étude dynamique ou énergétique, ce qui permet d'ét

Partie 1 : Étude d'un mouvement d'un solide 1. Équation différentielle lors de la montée: Système étudié: {corps (S)}. Bilan des forces: $\vec{P}$ (poids), $\vec{R}$ (réaction du plan), $\vec{f}$ (frottements). Application de la deuxième loi de Newton: $\vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m\vec{a}_G$. Projection sur l'axe $(O,\vec{i})$ (orienté vers le haut): $-P \sin \alpha - f = m a_G$. Donc $-m g \sin \alpha - f = m \frac{d^2x}{dt^2}$. Nature du mouvement: L'accélération $a_G = -g \sin \alpha - f/m$ est constante et négative (car $g, \sin \alpha, f, m$ sont positifs). Le mouvement est rectiligne uniformément décéléré. 2. Valeur de $a_G$ et $f$: L'équation de la vitesse: $v_x = a_G t + v_0$. Au point A, $v_x(t_A) = 0$. Donc $a_G t_A + v_0 = 0 \Rightarrow a_G = -v_0/t_A = -3/2 = -1,5 \ m.s^{-2}$. De l'équation différentielle: $f = -m a_G - m g \sin \alpha = -m(a_G + g \sin \alpha) = -0,2(-1,5

Physique-Chimie · 2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre · 19 exercices

Méthode officielle

Appliquer la 2e loi de Newton (somme des forces = m.a_G) dans un repère adapté, projeter, établir les équations horaires, exploiter chute libre / plan incliné / projectiles / mouvement circulaire, et mobiliser le théorème de l'énergie cinétique.

L'intuition

Imagine que tu es en train de pousser une charrette de fruits et légumes au souk. Si tu la pousses fort, elle accélère. Si tu la pousses doucement, elle accélère moins. Si tu arrêtes de pousser, elle ralentit (à cause des frottements) ou continue à vitesse constante si le sol est parfaitement lisse. L'idée de base de la mécanique, c'est ça : les forces que tu appliques à un objet déterminent comment il bouge. Plus précisément, elles déterminent son accélération. C'est la deuxième loi de Newton, le pilier de ce chapitre !

Le cours

La mécanique est l'étude du mouvement des corps et des causes de ces mouvements. Dans ce chapitre, on se concentre sur la dynamique, c'est-à-dire la relation entre les forces et le mouvement.

1. Référentiels Galiléens

Un référentiel est un solide par rapport auquel on étudie le mouvement d'un corps. Un référentiel est dit galiléen si le principe d'inertie (première loi de Newton) y est vérifié : tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle.

Pour les mouvements que nous étudions, on considère généralement que :

Le référentiel terrestre (lié à la Terre) est approximativement galiléen pour des durées courtes et des vitesses faibles par rapport à la rotation de la Terre. Il est suffisant pour l'étude des mouvements sur Terre (chute, plan incliné, projectile).
Le référentiel géocentrique (centre la Terre, axes vers étoiles lointaines) est galiléen pour l'étude des satellites terrestres.
Le référentiel héliocentrique (centre le Soleil, axes vers étoiles lointaines) est galiléen pour l'étude des planètes du système solaire.

2. Deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique)

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures $\vec{F}_{ext}$ appliquées à un corps est égale au produit de sa masse $m$ par le vecteur accélération $\vec{a}_G$ de son centre d'inertie $G$ .

$\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$

Où :

$\sum \vec{F}_{ext}$ est la somme vectorielle des forces extérieures (en Newtons, $\text{N}$ ). C'est un vecteur.
$m$ est la masse du corps (en kilogrammes, $\text{kg}$ ). C'est un scalaire positif.
$\vec{a}_G$ est le vecteur accélération du centre d'inertie $G$ (en mètres par seconde carrée, $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ ). C'est un vecteur.

Attention : Cette loi est vectorielle ! Il faudra la projeter sur les axes de ton repère.

3. Types de mouvements et forces courantes

a. Chute libre

Un corps est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids $\vec{P}$ . On néglige alors les frottements de l'air et la poussée d'Archimède. Cette approximation est valable si la densité du corps est grande et sa vitesse faible.

Poids : $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ , où $\vec{g}$ est le vecteur accélération de la pesanteur (environ $9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ à la surface de la Terre). On considère $\vec{g}$ constant en direction, sens et norme dans un champ de pesanteur uniforme (proche de la surface terrestre).
Application de la 2e loi de Newton : $m \cdot \vec{g} = m \cdot \vec{a}_G \implies \vec{a}_G = \vec{g}$ . L'accélération est constante et égale à $\vec{g}$ .

b. Mouvement sur un plan incliné

Un corps glisse sur un plan incliné. Il est soumis à :

Son poids $\vec{P}$ .
La réaction normale du support $\vec{R}_N$ (perpendiculaire au plan). Son travail est nul si le support est fixe.
Les forces de frottement $\vec{f}$ $f$ (opposées au mouvement, si elles existent). Ces frottements peuvent être modélisés par :
- $\vec{f} = -k \cdot \vec{v}$ pour les frottements fluides (dans l'air ou un liquide, $k$ est un coefficient de frottement).
- $f = \mu_c \cdot R_N$ pour les frottements solides cinétiques (lorsque le corps glisse, $\mu_c$ est le coefficient de frottement cinétique).

c. Mouvement d'un projectile

C'est une chute libre avec une vitesse initiale non nulle et non verticale. Le mouvement est plan et parabolique (si on néglige les frottements de l'air et si le champ de pesanteur est uniforme). Les équations horaires sont celles d'un mouvement à accélération constante $\vec{g}$ .

d. Mouvement circulaire uniforme

Un corps décrit un cercle à vitesse angulaire constante. La vitesse $\vec{v}$ a une norme constante $v$ , mais sa direction change constamment. L'accélération n'est donc pas nulle, elle est centripète (dirigée vers le centre du cercle) et a pour norme $a = \frac{v^2}{R} = R \omega^2$ , où $v$ est la vitesse linéaire, $R$ le rayon du cercle et $\omega$ la vitesse angulaire. La force résultante est donc aussi centripète.

e. Mouvement d'un système solide-ressort (oscillateur harmonique)

Un solide de masse $m$ est attaché à un ressort de raideur $k$ . Si on le déplace de sa position d'équilibre et qu'on le lâche, il oscille. La force de rappel du ressort est donnée par la loi de Hooke : $\vec{F}_R = -k \cdot x \cdot \vec{u}_x$ , où $x$ est l'allongement (ou la compression) du ressort par rapport à sa longueur à vide, et $\vec{u}_x$ est le vecteur unitaire dans la direction du mouvement.

Équation différentielle du mouvement (sans frottement) : $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ . La solution est de la forme $x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)$ , où $X_m$ est l'amplitude, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ la pulsation propre et $\phi$ la phase à l'origine.
Période propre : $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Énergie potentielle élastique : $E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2$ .

f. Mouvement des planètes et satellites (Lois de Kepler)

Ces lois décrivent le mouvement des corps célestes sous l'influence de la gravitation. Le référentiel d'étude est géocentrique pour les satellites terrestres et héliocentrique pour les planètes.

Première loi (Loi des orbites) : Dans le référentiel approprié, la trajectoire d'une planète (ou d'un satellite) est une ellipse dont le Soleil (ou la planète) occupe l'un des foyers.
Deuxième loi (Loi des aires) : Le segment de droite reliant le centre du corps central au centre de la planète (ou du satellite) balaie des aires égales pendant des durées égales.
Troisième loi (Loi des périodes) : Pour toutes les planètes (ou satellites) d'un même système, le rapport entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est une constante $K$ . $\frac{T^2}{a^3} = K$

Pour un satellite en orbite circulaire de rayon $R$ autour d'un corps de masse $M$ , $K = \frac{4\pi^2}{G M}$ , où $G$ est la constante de gravitation universelle.

4. Équations horaires du mouvement

Une fois que tu as l'accélération $\vec{a}_G$ (souvent constante ou dépendante de la position), tu peux trouver les équations de la vitesse $\vec{v}(t)$ et de la position $\vec{OG}(t)$ par intégration.

Si $\vec{a}_G = (a_x, a_y, a_z)$ $a_{G} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ est constante :
- $\vec{v}(t) = \vec{a}_G \cdot t + \vec{v}_0$
- $\vec{OG}(t) = \frac{1}{2} \vec{a}_G \cdot t^2 + \vec{v}_0 \cdot t + \vec{OG}_0$

Où $\vec{v}_0$ et $\vec{OG}_0$ sont les vecteurs vitesse et position à l'instant $t=0$ (conditions initiales). N'oublie pas de projeter ces vecteurs sur les axes choisis.

5. Théorème de l'énergie cinétique (TEC)

Le TEC relie le travail des forces à la variation de l'énergie cinétique $E_c$ . Il est particulièrement utile quand tu ne cherches pas les équations horaires mais plutôt des vitesses ou des distances, surtout en présence de frottements ou de variations d'altitude.

Énergie cinétique : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ (en Joules, $\text{J}$ ). $v$ est la norme de la vitesse.
Travail d'une force constante $\vec{F}$ $F$ sur un déplacement $\vec{AB}$ $A B$ : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$ $W_{A B} (F) = F \cdot A B = F \cdot A B \cdot cos (α)$ , où $\alpha$ $α$ est l'angle entre $\vec{F}$ $F$ et $\vec{AB}$ $A B$ .
- Travail du poids : $W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ , où $z_A$ et $z_B$ sont les altitudes initiales et finales. Le travail est moteur si le corps descend ( $z_A > z_B$ ) et résistant si le corps monte ( $z_A < z_B$ ).
- Travail de la réaction normale : $W_{AB}(\vec{R}_N) = 0$ (car $\vec{R}_N$ est perpendiculaire au déplacement).
- Travail des frottements : $W_{AB}(\vec{f}) = -f \cdot AB$ (toujours résistant, car $\vec{f}$ est opposé au déplacement).
TEC : La variation de l'énergie cinétique d'un corps entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s'exercent sur lui entre ces deux instants.

$\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext})$

La méthode

Pour résoudre un problème de mécanique, suis ces étapes rigoureuses. C'est la clé pour "Résoudre un problème" (40% de l'évaluation) et "Utiliser les ressources" (45%).

Identifier le système étudié : Quel est l'objet dont tu étudies le mouvement ? (Ex: bille, skieur, projectile). C'est la première chose à écrire. Ex: "Le système étudié est le solide (S) de masse $m$ ".
Choisir un référentiel d'étude et préciser sa nature : Généralement le référentiel terrestre, supposé galiléen. Précise l'origine et l'orientation des axes ( $Oxyz$ ou $Oxy$ ). Fais un schéma clair du repère et du système, en y indiquant l'origine $O$ et les axes $x, y, z$ . N'oublie pas d'indiquer le sens positif.
Faire le bilan des forces extérieures : Liste toutes les forces qui s'appliquent au système. Représente-les sur le schéma précédent avec leurs points d'application et leurs directions. (Ex: Poids $\vec{P}$ , Réaction normale $\vec{R}_N$ , Frottements $\vec{f}$ , Tension d'un fil $\vec{T}$ , Poussée d'Archimède $\vec{\Pi}$ ). Écris leurs expressions vectorielles si possible.
Appliquer la deuxième loi de Newton : Écris la relation vectorielle $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$ . C'est une étape cruciale.
Projeter la relation vectorielle : Choisis un repère adapté (souvent lié au mouvement ou au plan incliné) et projette l'équation de Newton sur chaque axe. Cela te donnera les expressions des composantes de l'accélération ( $a_x, a_y, a_z$ ).
Déterminer les équations horaires : Intègre les composantes de l'accélération pour obtenir les composantes de la vitesse ( $v_x(t), v_y(t), v_z(t)$ ), puis intègre à nouveau pour obtenir les composantes de la position ( $x(t), y(t), z(t)$ ). N'oublie pas d'utiliser les conditions initiales (vitesse initiale $\vec{v}_0$ et position initiale $\vec{OG}_0$ à $t=0$ ) pour déterminer les constantes d'intégration.
Exploiter les équations : Utilise les équations horaires pour répondre aux questions posées (équation de la trajectoire, portée, hauteur maximale, durée du mouvement, etc.).
Alternative : Appliquer le Théorème de l'Énergie Cinétique (TEC) : Si la question porte sur des variations de vitesse ou de position sans nécessiter les équations horaires complètes, le TEC peut être plus rapide. Calcule les travaux de toutes les forces entre deux points et applique $\Delta E_c = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext})$ .

Pièges classiques

Oublier le caractère vectoriel : La 2e loi de Newton est une relation vectorielle ! Ne pas projeter correctement ou oublier un signe peut tout fausser.
Erreur de référentiel : Toujours préciser le référentiel et s'assurer qu'il est galiléen (ou approximativement).
Oublier des forces : Fais un bilan exhaustif des forces. Les frottements sont souvent oubliés ou mal modélisés.
Mauvais choix de repère : Un repère mal choisi rendra les projections et les calculs beaucoup plus complexes. Choisis-le intelligemment (ex: axe $x$ le long du plan incliné, axe $y$ vertical pour la chute libre).
Conditions initiales : Ne pas les utiliser ou les utiliser incorrectement lors de l'intégration est une erreur fréquente.
Unités : Toujours travailler avec les unités du Système International (SI) : mètres (m), kilogrammes (kg), secondes (s), Newtons (N), Joules (J). Vérifie les unités à chaque étape de calcul.
Confondre vitesse et accélération : Une vitesse nulle n'implique pas une accélération nulle (ex: point le plus haut d'une trajectoire parabolique).
Travail des forces : Ne pas confondre travail moteur et résistant. Le travail des frottements est toujours résistant ( $<0$ ). Le travail de la réaction normale est toujours nul.

Ce qui tombe à l'examen

Application de la 2e loi de Newton : C'est le cœur du chapitre. Tu devras la maîtriser pour tous les types de mouvements (chute libre, plan incliné, projectiles, circulaire).
Établissement des équations horaires : À partir de l'accélération, trouver les expressions de la vitesse et de la position en fonction du temps. C'est une compétence très évaluée.
Exploitation des équations : Calculer une portée, une hauteur maximale, une durée de vol, une vitesse à un instant donné. Cela demande de la rigueur dans les calculs et l'utilisation des conditions aux limites.
Théorème de l'énergie cinétique : Très souvent utilisé pour calculer des vitesses ou des distances sans passer par les équations horaires, surtout en présence de frottements ou de variations d'altitude. On te demandera souvent de calculer les travaux des forces.
Mouvement circulaire uniforme : Calcul de l'accélération centripète, application de la 2e loi de Newton pour trouver la force nécessaire au maintien du mouvement.
Mouvement des systèmes solides-ressorts : Établissement de l'équation différentielle, détermination de la période propre, calcul des énergies (cinétique, potentielle élastique, mécanique).
Mouvement des satellites et planètes : Application des lois de Kepler, calcul de la période ou du rayon d'orbite, relation avec la constante de gravitation universelle.
Exploitation de données expérimentales : Analyse de courbes (vitesse en fonction du temps, position en fonction du temps) pour en déduire l'accélération, la vitesse initiale, etc. C'est là que ton sens de l'observation et ta capacité à relier les graphiques aux concepts physiques seront évalués. Sois attentif aux pentes, aux ordonnées à l'origine et aux formes des courbes.
Rigueur et présentation : N'oublie jamais les unités, les schémas clairs et la justification de tes étapes de calcul. Les chiffres significatifs sont importants dans les résultats finaux.

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

Un mobile se déplace en ligne droite à une vitesse constante de $v = 20 \, m/s$ . Quelle distance parcourt-il en $t = 5 \, s$ ?

Voir la correction

100 m

Identifier les grandeurs données: $v$ et $t$ .
Appliquer la formule de la distance: $d = v \times t$ .
Calculer la distance.

Exercice 2·Facile

Un chariot de masse $m = 5 \, kg$ est poussé par une force constante d'intensité $F = 15 \, N$ . Calculer l'accélération $a$ du chariot, en négligeant les frottements.

Voir la correction

3 m/ $s^2$

Identifier les grandeurs données: $m$ et $F$ .
Appliquer la deuxième loi de Newton: $F = m \times a$ .
Calculer l'accélération $a$ .

Exercice 3·Moyen

Un solide de masse m = 0.50 kg glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. Déterminer l'accélération du mouvement et la vitesse acquise après une distance d = 2.0 m partant du repos. Donnée : g = 9.8 $m/s^{2}$ .

Voir la correction

2e loi de Newton projetée sur l'axe du plan : m.g.sin(alpha) = m.a -> a = g.sin(alpha) = 9.8 x 0.50 = 4.9 m/ $s^2$ . Mouvement uniformément accéléré depuis le repos : $v^2$ = 2.a.d = 2 x 4.9 x 2.0 = 19.6 -> v = racine(19.6) = 4.4 m/s.

Appliquer la 2e loi de Newton, projeter sur la ligne de plus grande pente (a = g.sin(alpha) sans frottement) puis $v^2$ = 2.a.d.

Exercice 4·Moyen

Exercice 3 (5 points) : Mouvement d'un solide

La translation rectiligne d'un solide est un type de mouvement. L'étude de ce type de mouvement dépend de la nature des actions mécaniques appliquées et des conditions initiales et peut se faire par une étude dynamique ou énergétique, ce qui permet d'établir les équations qui gèrent le mouvement et de déterminer certaines de ses grandeurs caractéristiques.

Cet exercice vise :

l'étude du mouvement d'un solide soumis à des forces constantes ;
l'étude du mouvement d'un solide soumis à une force variable.

Partie 1 : Étude d'un mouvement d'un solide

On lance vers le haut, depuis la position O, avec une vitesse initiale $v_0$ , suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontal, un solide (S) de masse $m$ (figure 1). Le solide (S) arrive en A après avoir parcouru la distance $OA = L$ , puis redescend. Tout au long de son mouvement, (S) est soumis à des frottements modélisés par une force constante $\vec{f}$ de sens opposé au sens du vecteur vitesse.

On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide (S) dans un repère $(O,\vec{i})$ lié à la Terre supposé galiléen. L'abscisse de G à $t_0 = 0$ est $x_0 = x_A = 0$ .

Données : $m = 200 \ g$ ; $v_0 = 3 \ m.s^{-1}$ ; $sin \alpha = 0,1$ ; $g = 10 \ m.s^{-2}$ ; $L = 3 \ m$

En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation différentielle vérifiée par $x$ , lors de la montée s'écrit : $m \frac{d^2x}{dt^2} = -m.g.sin \alpha - f$ .

Déduire, en justifiant, la nature du mouvement de (S).

Le solide (S) atteint la position A à l'instant $t_A = 2 \ s$ . Déterminer pour cette phase la valeur de l'accélération $a_G$ et celle de l'intensité $f$ .
Lors de la descente, on choisit l'instant de départ de la position A comme nouvelle origine de temps $t_0 = 0$ .

3.1. Montrer que l'équation horaire du mouvement de (S) lors de la descente est : $x(t) = -0,25t^2 + 3 \ (m)$ .

3.2. Déterminer la valeur algébrique de la vitesse de (S) lorsqu'il repasse par O.

Partie 2 : Étude d'un système oscillant

Le solide (S) de masse $m = 200 \ g$ est fixé à un ressort horizontal à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. À l'équilibre, le centre d'inertie G de (S) coïncide avec l'origine du repère $(O,\vec{i})$ lié à la Terre supposé galiléen (figure 2). Tous les frottements sont négligeables.

On écarte (S) de sa position d'équilibre dans le sens positif d'une distance $X_m$ et on l'abandonne sans vitesse initiale à $t_0 = 0$ .

Le solide (S) effectue 20 oscillations pendant la durée $\Delta t = 12,6 \ s$ .

Le solide (S) effectue 20 oscillations pendant la durée $\Delta t = 12,6 \ s$ .

Vérifier que $K = 20 \ N.m^{-1}$ .

On choisit l'état où le ressort n'est pas déformé comme état de référence de l'énergie potentielle élastique $E_{pe}$ et le plan horizontal contenant G comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ .

La courbe de la figure 3 représente le diagramme d'énergie cinétique $E_c = f(t)$ du solide.

En exploitant le diagramme, déterminer les valeurs de :

a. L'énergie mécanique $E_m$ .

b. L'amplitude $X_m$ .

c. L'abscisse $x_1$ du centre d'inertie G de (S) à l'instant $t_1 = 1,2 \ s$ .

Voir la correction

Partie 1 : Étude d'un mouvement d'un solide

Équation différentielle lors de la montée: Système étudié: {corps (S)}. Bilan des forces: $\vec{P}$ (poids), $\vec{R}$ (réaction du plan), $\vec{f}$ (frottements). Application de la deuxième loi de Newton: $\vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m\vec{a}_G$ . Projection sur l'axe $(O,\vec{i})$ (orienté vers le haut): $-P \sin \alpha - f = m a_G$ . Donc $-m g \sin \alpha - f = m \frac{d^2x}{dt^2}$ . Nature du mouvement: L'accélération $a_G = -g \sin \alpha - f/m$ est constante et négative (car $g, \sin \alpha, f, m$ sont positifs). Le mouvement est rectiligne uniformément décéléré.
Valeur de $a_G$ et $f$ : L'équation de la vitesse: $v_x = a_G t + v_0$ . Au point A, $v_x(t_A) = 0$ . Donc $a_G t_A + v_0 = 0 \Rightarrow a_G = -v_0/t_A = -3/2 = -1,5 \ m.s^{-2}$ . De l'équation différentielle: $f = -m a_G - m g \sin \alpha = -m(a_G + g \sin \alpha) = -0,2(-1,5 + 10 \cdot 0,1) = -0,2(-1,5 + 1) = -0,2(-0,5) = 0,1 \ N$ . 3.1. Équation horaire lors de la descente: L'axe $(O,\vec{i})$ est orienté vers le haut. Lors de la descente, la force de frottement $\vec{f}$ est orientée vers le haut (opposée au mouvement). La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe $(O,\vec{i})$ : $-m g \sin \alpha + f = m a_G'$ . Donc $a_G' = -g \sin \alpha + f/m = -10 \cdot 0,1 + 0,1/0,2 = -1 + 0,5 = -0,5 \ m.s^{-2}$ . L'équation horaire du mouvement: $x(t) = \frac{1}{2} a_G' t^2 + v_0' t + x_0'$ . À $t_0=0$ (départ de A), $x_0' = L = 3 \ m$ et $v_0' = 0$ . Donc $x(t) = \frac{1}{2}(-0,5)t^2 + 0 \cdot t + 3 = -0,25 t^2 + 3 \ (m)$ . 3.2. Valeur de la vitesse en O: Le corps arrive au point O à l'instant $t_O$ tel que $x(t_O) = 0$ . Donc $-0,25 t_O^2 + 3 = 0 \Rightarrow t_O^2 = 3/0,25 = 12 \Rightarrow t_O = \sqrt{12} \approx 3,46 \ s$ . L'équation de la vitesse: $v_x(t) = a_G' t = -0,5 t$ . Au point O, $v_O = -0,5 \cdot 3,46 = -1,73 \ m.s^{-1}$ .

Partie 2 : Étude d'un système oscillant

Vérification de K: La période des oscillations est $T = \Delta t / 20 = 12,6 / 20 = 0,63 \ s$ . La période propre d'un oscillateur masse-ressort est $T_0 = 2\pi\sqrt{m/K}$ . Donc $K = 4\pi^2 m / T_0^2$ . En supposant $T = T_0$ , $K = 4\pi^2 \cdot 0,2 / (0,63)^2 \approx 19,89 \ N.m^{-1} \approx 20 \ N.m^{-1}$ .
Détermination des valeurs: a. L'énergie mécanique $E_m$ : Graphiquement, $E_m = E_{c,max} = 16 \ mJ$ . b. L'amplitude $X_m$ : $E_m = E_{pe,max} = \frac{1}{2} K X_m^2$ . Donc $X_m = \sqrt{2 E_m / K} = \sqrt{2 \cdot 16 \cdot 10^{-3} / 20} = \sqrt{1,6 \cdot 10^{-3}} \approx 0,04 \ m = 4 \ cm$ . c. L'abscisse $x_1$ à $t_1 = 1,2 \ s$ : Graphiquement à $t_1 = 1,2 \ s$ , $E_{c1} = 4 \ mJ$ . L'énergie mécanique est conservée (frottements négligeables), donc $E_m = E_{pe1} + E_{c1}$ . $E_{pe1} = E_m - E_{c1} = 16 - 4 = 12 \ mJ$ . On a $E_{pe1} = \frac{1}{2} K x_1^2$ . Donc $x_1 = \sqrt{2 E_{pe1} / K} = \sqrt{2 \cdot 12 \cdot 10^{-3} / 20} = \sqrt{1,2 \cdot 10^{-3}} \approx 0,0346 \ m = 3,46 \ cm$ .

Partie 1 :

Appliquer la deuxième loi de Newton en identifiant toutes les forces. Projeter sur l'axe du mouvement. Déduire la nature du mouvement en analysant l'accélération.
Utiliser les équations horaires du mouvement uniformément varié pour trouver l'accélération. Utiliser l'équation différentielle pour calculer l'intensité de la force de frottement. 3.1. Réappliquer la deuxième loi de Newton pour la descente, en tenant compte du sens de la force de frottement. Établir l'équation horaire avec les nouvelles conditions initiales. 3.2. Calculer l'instant où le corps repasse par O en utilisant l'équation horaire. Utiliser l'équation de la vitesse pour trouver la vitesse à cet instant.

Partie 2 :

Calculer la période des oscillations. Utiliser la formule de la période propre d'un oscillateur masse-ressort $T_0 = 2\pi\sqrt{m/K}$ pour vérifier la valeur de K. 2.a. Lire graphiquement l'énergie cinétique maximale pour déterminer l'énergie mécanique totale (en l'absence de frottements). 2.b. Utiliser la conservation de l'énergie mécanique et la formule de l'énergie potentielle élastique maximale $E_{pe,max} = \frac{1}{2} K X_m^2$ pour trouver l'amplitude $X_m$ . 2.c. Lire graphiquement l'énergie cinétique à l'instant $t_1$ . Utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour trouver l'énergie potentielle élastique à cet instant, puis la formule $E_{pe} = \frac{1}{2} K x^2$ pour trouver l'abscisse $x_1$ .

Exercice 5·Moyen

Un mobile de masse m = 200 g décrit un cercle horizontal de rayon $R = 0.80 \, m$ à vitesse constante $v = 4.0 \, m/s$ . Calculer l'accélération et l'intensité de la force centripète qui s'exerce sur lui.

Voir la correction

Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète a = $v^2$ /R = 4.0^2/0.80 = 16/0.80 = 20 m/ $s^2$ . Force centripète F = m.a = 0.200 x 20 = 4.0 N, dirigée vers le centre du cercle.

MCU : a est purement normale (centripète) a = $v^2$ /R ; la résultante des forces F = m. $v^2$ /R pointe vers le centre.

Exercice 6·Moyen

Exercice 3 (5 points) : Chute libre - Système oscillant (solide - ressort)

Les mouvements des systèmes mécaniques dépendent de la nature des actions mécaniques qui leurs sont appliquées. L'étude de l'évolution temporelle de ces systèmes permet de déterminer certaines grandeurs dynamiques et cinématiques et d'expliquer certains aspects énergétiques. Cet exercice vise :

l'étude de la chute libre d'une bille ;
l'étude d'un système oscillant (bille - ressort).

Partie 1 : Étude de la chute libre d'une bille On lance une bille $(S)$ de masse $m$ , verticalement vers le haut à l'instant $(t_0 = 0)$ avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ . On étudie le mouvement de chute libre de la bille dans un repère $(O, \vec{k})$ lié à la Terre supposé galiléen (figure 1). On repère la position du centre d'inertie $G$ de la bille à un instant $t$ dans ce repère par l'ordonnée $z$ .

En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation différentielle vérifiée par l'ordonnée $z$ s'écrit : $\frac{d^2z}{dt^2} = -g$ .
Quelle est la nature du mouvement de $G$ au cours de la phase de montée? Justifier.
L'équation horaire du mouvement de $G$ est : $z(t) = -5t^2 + 2t + 1,5$ (m). 3.1. Déterminer les valeurs de $z_0$ et $v_0$ à $t = 0$ . 3.2. À quel instant la vitesse de $G$ s'annule-t-elle?

Voir la correction

Méthode : Appliquer la deuxième loi de Newton pour établir l'équation différentielle du mouvement du centre d’inertie d’un solide en chute libre verticale et la résoudre.
Mouvement rectiligne uniformément varié. Justification : l'accélération est constante et non nulle. 3.1. $z_0 = 1,5 \text{ m}$ ; $v_0 = 2 \text{ m.s}^{-1}$ . 3.2. $t = 0,2 \text{ s}$ .

Appliquer la deuxième loi de Newton pour établir l'équation différentielle du mouvement du centre d’inertie d’un solide en chute libre verticale et la résoudre.
Connaître et exploiter les caractéristiques du mouvement rectiligne uniformément varié et ses équations horaires. Mouvement rectiligne uniformément varié. Justification. 3.1. Connaître et exploiter les caractéristiques du mouvement rectiligne uniformément varié et ses équations horaires. Parvenir à : $z_0 = 1,5 \text{ m}$ ; $v_0 = 2 \text{ m.s}^{-1}$ . 3.2. Connaître et exploiter les caractéristiques du mouvement rectiligne uniformément varié et ses équations horaires. Parvenir à : $t = 0,2 \text{ s}$ .

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1. Référentiels Galiléens

2. Deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique)

3. Types de mouvements et forces courantes

a. Chute libre

b. Mouvement sur un plan incliné

c. Mouvement d'un projectile

d. Mouvement circulaire uniforme

e. Mouvement d'un système solide-ressort (oscillateur harmonique)

f. Mouvement des planètes et satellites (Lois de Kepler)

4. Équations horaires du mouvement

5. Théorème de l'énergie cinétique (TEC)

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