Probabilités

L'intuition

Imagine que tu joues au Ludo avec tes amis. Quand tu lances le dé, tu sais qu'il y a 6 faces possibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chaque face a la même chance d'apparaître. C'est ça, l'équiprobabilité. Si tu veux savoir la chance d'obtenir un 6, tu as 1 cas favorable (le 6) sur 6 cas possibles. La probabilité est donc $1/6$.

Maintenant, imagine que tu as un sac avec 3 boules vertes et 5 boules rouges. Tu tires 2 boules simultanément. Combien de façons différentes y a-t-il de tirer ces 2 boules ? Et quelle est la chance que les deux boules soient de la même couleur ? C'est exactement ce que les probabilités vont te permettre de calculer. On va compter les possibilités, puis les chances.

Le cours

I. Vocabulaire et événements

• Expérience aléatoire: Une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude. (Ex: lancer un dé, tirer des boules d'une urne).
• Univers $\Omega$: L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Événement: Un sous-ensemble de l'univers $\Omega$.
• Événement élémentaire: Un événement qui ne contient qu'un seul résultat possible.
• Événement certain: L'univers $\Omega$ lui-même. Sa probabilité est 1.
• Événement impossible: L'ensemble vide $\emptyset$. Sa probabilité est 0.

Soient $A$ et $B$ deux événements:

• Événement contraire $\bar{A}$ (ou $A^c$): L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

• Intersection $A \cap B$: L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ et $B$ se réalisent simultanément. $P(A \cap B)$

• Union $A \cup B$: L'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ou $B$ (ou les deux) se réalisent. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs): Si $A \cap B = \emptyset$. Dans ce cas, $P(A \cap B) = 0$, et donc $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

II. Dénombrement de base

Le dénombrement est essentiel pour calculer les probabilités. Il s'agit de compter le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables.

• Tirage successif avec remise: L'ordre compte, et on peut tirer plusieurs fois le même élément. Nombre de possibilités: $n^k$ (où $n$ est le nombre total d'éléments et $k$ le nombre de tirages).

• Tirage successif sans remise: L'ordre compte, et on ne peut pas tirer deux fois le même élément. Nombre de possibilités: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (arrangements).

• Tirage simultané (ou tirage sans ordre et sans remise): L'ordre ne compte pas, et on ne peut pas tirer deux fois le même élément. Nombre de possibilités: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (combinaisons).

III. Calcul des probabilités

1. Cas d'équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se réaliser, on parle d'équiprobabilité. C'est le cas le plus fréquent à l'examen.

Pour un événement $A$: $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre de cas possibles}}$

2. Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est la probabilité que l'événement $A$ se réalise, sachant que l'événement $B$ est déjà réalisé. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (si $P(B) \neq 0$)

On peut en déduire $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$. De même, $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$.

3. Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Cela se traduit par: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A|B) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$) et $P(B|A) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$).

4. Arbre pondéré et formule des probabilités totales

L'arbre pondéré est un outil visuel très utile pour représenter des expériences aléatoires en plusieurs étapes. Les branches sont pondérées par des probabilités.

• Règle des produits: La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
• Règle des sommes: La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet événement.

La formule des probabilités totales est souvent utilisée avec les arbres. Soit $B_1, B_2, \dots, B_n$ un système complet d'événements (ils sont incompatibles deux à deux et leur union est $\Omega$). Alors pour tout événement $A$: $P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \dots + P(A \cap B_n)$ $P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \dots + P(A|B_n)P(B_n)$

IV. Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

1. Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est l'ensemble des valeurs $x_i$ que $X$ peut prendre, associées à leurs probabilités $p_i = P(X=x_i)$.

Propriétés:

• $0 \le p_i \le 1$ pour tout $i$.
• $\sum p_i = 1$ (la somme de toutes les probabilités doit être égale à 1).

2. Espérance mathématique $E(X)$

L'espérance mathématique $E(X)$ est la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir si l'expérience est répétée un grand nombre de fois. C'est une moyenne pondérée des valeurs $x_i$ par leurs probabilités $p_i$. $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Interprétation:

• Si $X$ représente un gain (ou un coût), $E(X)$ est le gain (ou le coût) moyen par partie.
• Si $E(X) > 0$, le jeu est favorable au joueur.
• Si $E(X) < 0$, le jeu est défavorable au joueur.
• Si $E(X) = 0$, le jeu est équitable.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale:

Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules vertes et 5 boules rouges. On tire du sac simultanément 2 boules.

1. Montrez que le nombre de cas possibles de tirage est 28.
2. On considère les deux événements :
   • $A$ : « Les deux boules tirées ont la même couleur »
   • $B$ : « Les deux boules tirées ont des couleurs différentes » 2.a) Montrez que $P(A) = \frac{13}{28}$. 2.b) Calculez $P(B)$.
3. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend comme valeur le nombre de boules vertes tirées. 3.a) Déterminez la loi de probabilité de $X$. 3.b) Calculez $E(X)$.

1. 1

   1. Calcul du nombre de cas possibles

2. 2

   Le tirage est simultané de 2 boules parmi 8.

3. 3

   Le nombre de cas possibles est $C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.

4. 4

   2.a) Calcul de $P(A)$

5. 5

   L'événement $A$ est "les deux boules tirées ont la même couleur".

6. 6

   Cela signifie soit 2 boules vertes (VV), soit 2 boules rouges (RR).

7. 7

   Nombre de façons de tirer 2 vertes parmi 3: $C_3^2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.

8. 8

   Nombre de façons de tirer 2 rouges parmi 5: $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

9. 9

   Nombre de cas favorables à $A$: $3 + 10 = 13$.

10. 10

    $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre de cas possibles}} = \frac{13}{28}$.

11. 11

    2.b) Calcul de $P(B)$

12. 12

    L'événement $B$ est "les deux boules tirées ont des couleurs différentes".

13. 13

    C'est l'événement contraire de $A$ (si elles n'ont pas la même couleur, elles ont des couleurs différentes).

14. 14

    Donc $B = \bar{A}$.

15. 15

    $P(B) = P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{13}{28} = \frac{28 - 13}{28} = \frac{15}{28}$.

16. 16

    (Alternativement, on peut calculer le nombre de cas favorables à $B$: 1 verte parmi 3 ET 1 rouge parmi 5. $C_3^1 \times C_5^1 = 3 \times 5 = 15$. Donc $P(B) = \frac{15}{28}$.)

17. 17

    3.a) Détermination de la loi de probabilité de $X$

18. 18

    $X$ est le nombre de boules vertes tirées. On tire 2 boules.

19. 19

    Les valeurs possibles pour $X$ sont 0 (0 verte, 2 rouges), 1 (1 verte, 1 rouge), ou 2 (2 vertes, 0 rouge).

20. 20

    • $P(X=0)$: Probabilité de tirer 0 verte et 2 rouges.

21. 21

    Nombre de cas: $C_3^0 \times C_5^2 = 1 \times 10 = 10$.

22. 22

    $P(X=0) = \frac{10}{28}$.

23. 23

    • $P(X=1)$: Probabilité de tirer 1 verte et 1 rouge.

24. 24

    Nombre de cas: $C_3^1 \times C_5^1 = 3 \times 5 = 15$.

25. 25

    $P(X=1) = \frac{15}{28}$.

26. 26

    • $P(X=2)$: Probabilité de tirer 2 vertes et 0 rouge.

27. 27

    Nombre de cas: $C_3^2 \times C_5^0 = 3 \times 1 = 3$.

28. 28

    $P(X=2) = \frac{3}{28}$.

29. 29

    Vérification: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} + \frac{3}{28} = \frac{28}{28} = 1$. La loi est correcte.

30. 30

    Loi de probabilité de $X$:

31. 31

    3.b) Calcul de $E(X)$

32. 32

    $E(X) = \sum x_i p_i = (0 \times \frac{10}{28}) + (1 \times \frac{15}{28}) + (2 \times \frac{3}{28})$

33. 33

    $E(X) = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28}$.

34. 34

    On peut simplifier: $E(X) = \frac{3}{4}$.

Étape suivante

La méthode

Voici les étapes types pour résoudre un exercice de probabilités au bac:

1. Identifier le type de tirage:

   • Simultané (l'ordre ne compte pas): utiliser $C_n^k$.
   • Successif sans remise (l'ordre compte, pas de répétition): utiliser $A_n^k$.
   • Successif avec remise (l'ordre compte, répétition possible): utiliser $n^k$.
   • La plupart du temps, ce sera simultané pour la filière Éco.

2. Calculer le nombre de cas possibles:

   • C'est la première chose à faire, souvent demandée directement.
   • Appliquer la formule de dénombrement appropriée à l'ensemble total des éléments.

3. Définir les événements et leurs cas favorables:

   • Lire attentivement l'énoncé pour comprendre ce que représente chaque événement.
   • Pour chaque événement, déterminer le nombre de cas favorables en utilisant les mêmes principes de dénombrement que pour les cas possibles.

4. Calculer les probabilités des événements:

   • En cas d'équiprobabilité (le plus courant): $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$.
   • Utiliser les règles: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
   • Si l'expérience est en plusieurs étapes, penser à l'arbre pondéré et à la formule des probabilités totales.

5. Pour les probabilités conditionnelles:

   • Appliquer la formule $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
   • Attention à bien identifier $A \cap B$ et $B$.

6. Pour les variables aléatoires:

   • Identifier les valeurs possibles de $X$: Quelles sont les valeurs que la variable aléatoire peut prendre ?
   • Calculer $P(X=x_i)$ pour chaque valeur $x_i$: C'est la loi de probabilité. Utiliser le dénombrement.
   • Vérifier que $\sum P(X=x_i) = 1$: C'est une étape cruciale pour s'assurer que tu n'as rien oublié.
   • Calculer l'espérance $E(X)$: Appliquer la formule $E(X) = \sum x_i p_i$.

Pièges classiques

• Confusion entre tirage simultané et successif: C'est l'erreur la plus fréquente. Si l'énoncé dit "simultanément", c'est $C_n^k$. Si c'est "successivement", c'est $A_n^k$ ou $n^k$. Relis bien le type de tirage.
• Oublier de simplifier les fractions: Les probabilités sont souvent demandées sous forme de fraction irréductible.
• Erreur de calcul dans le dénombrement: Les factorielles, combinaisons, arrangements peuvent être source d'erreurs. Entraîne-toi à les calculer rapidement et sans faute.
• Ne pas vérifier la somme des probabilités pour une variable aléatoire: Si $\sum p_i \neq 1$, c'est que tu as fait une erreur dans le calcul d'une des probabilités.
• Confondre événements incompatibles et indépendants:
  • Incompatibles: $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps.
  • Indépendants: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. La réalisation de l'un n'affecte pas l'autre.
  • Un événement ne peut pas être à la fois incompatible et indépendant, sauf si $P(A)=0$ ou $P(B)=0$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des probabilités représente environ 20% de l'examen de maths pour la filière Éco. Il est généralement présenté sous forme d'un exercice indépendant.

Les questions sont très standardisées et suivent la méthode officielle:

• Calcul de cas possibles: Souvent la première question, pour vérifier la maîtrise du dénombrement ($C_n^k$ est le plus courant). (0.5 - 1 point)
• Calcul de probabilités d'événements simples: Utilisation de la formule $\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$. (1 - 2 points)
• Calcul de probabilités d'événements composés: Utilisation de $P(\bar{A})$, $P(A \cup B)$, ou $P(A \cap B)$. (1 point)
• Probabilité conditionnelle: Calcul de $P(A|B)$ ou $P(B|A)$. (0.5 - 1 point)
• Indépendance d'événements: Vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. (0.5 point)
• Variable aléatoire:
  • Déterminer les valeurs possibles de $X$.
  • Établir la loi de probabilité de $X$ (tableau). (1 - 1.5 points)
  • Calculer l'espérance $E(X)$. (0.5 - 1 point)

Le barème est souvent par étape, donc même si tu bloques sur une question, essaie de passer à la suivante si elle n'en dépend pas directement. Justifie toujours tes réponses, même si ce n'est pas explicitement demandé. Par exemple, pour un calcul de $C_n^k$, écris la formule ou le détail du calcul.