Soit la fonction numérique définie sur $[1, e]$ par : $h(x) = x - \ln x$. 1) Calculer $h'(x)$ puis étudier son signe et déduire que $h$ est croissante sur $[1, e]$. 2) Donner le tableau de variation de $h$ sur $[1, e]$ et vérifier que : $h([1, e]) \subseteq [1, e]$. 3) On considère la suite numér

**1)** $h'(x) = 1 - \frac{1}{x}$ pour tout $x \in [1, e]$. Puisque $x \geq 1$, on a $\frac{1}{x} \leq 1$, donc $h'(x) \geq 0$. De plus, $h'(x) = 0$ seulement en $x = 1$. Ainsi $h$ est croissante sur $[1, e]$. **2)** | $x$ | 1 | | $e$ | |-----|---|---|-----| | $h'(x)$ | 0 | + | | | $h(x)$ | 1 | ↗ | $e - 1$ | Vérification : $h(1) = 1 - 0 = 1$ et $h(e) = e - 1 \approx 1.718$. Puisque $1 < e - 1 < e$, on a bien $h([1, e]) = [1, e - 1] \subseteq [1, e]$. **3a)** - *Initialisation* : $u_0 = e \in [1, e]$ ✓ - *Hérédité* : Supposons $1 \leq u_n \leq e$. Puisque $h$ est croissante sur $[1, e]$ et $h([1, e]) \subseteq [1, e]$, on a $1 = h(1) \leq h(u_n) \leq h(e) < e$. Donc $1 \leq u_{n+1} \leq e$. ✓ **3b)** Pour tout $n$, $u_{n+1} = h(u_n) = u_n - \ln u_n$. Puisque $u_n \geq 1$, on a $\ln u_n \geq 0$, donc $u_{n+1} \leq u_n$. La suite est décroissante. **3c)** La suite $(u_n)$ est décrois

bacdyali Commencer

Dérivabilité et étude des fonctions

Q: Le coût total de production de x centaines d'articles est $C(x) = x^{3} - 9x^{2} + 30x + 12$ (en milliers de DH), pour x dans $[0, 8]$. Déterminer le coût marginal $C'(x)$ et étudier les variations de C. Le coût est-il toujours croissant ?

C'(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2 - 6x + 10). Discriminant de x^2 - 6x + 10: 36 - 40 = -4 0 pour tout x. Comme 3 > 0, on a C'(x) > 0 sur [0, 8]. Le coût total C est strictement croissant sur [0, 8]: le coût augmente toujours quand la production augmente.

Q: On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $$f(x) = x - \frac{1}{x} + \ln x$$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. 1) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interpréter géométriquement le résu

1) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - \infty + (-\infty) = -\infty$. Géométriquement, la courbe $(C)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées). 2) a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty - 0 + \infty = +\infty$. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x^2} + \frac{\ln x}{x}\right) = 1 - 0 + 0 = 1$. c) $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x} + \ln x\right) = 0 + \infty = +\infty$. Géométriquement, la courbe $(C)$ est au-dessus de la droite $y = x$ pour les grandes valeurs de $x$ (pas d'asymptote oblique finie). 3) a) $f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x > 0$. b) $f(1) = 1 - 1 + \ln 1 = 0$. Tableau de variations : $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. c) $f$ est strictement croissante et $f(1) = 0$, donc $f(x) < 0$ sur

Mathématiques · 2ème Bac Sciences Économiques · 41 exercices

Méthode officielle

Calculer f'(x) avec les règles usuelles (somme, produit, quotient, composée). Etudier le signe de f'(x) pour dresser le tableau de variations. Chercher les extremums (f'=0 et changement de signe). Interpréter en contexte économique: coût marginal = C'(x), bénéfice maximal quand B'(x)=0. Etudier les branches infinies et les asymptotes avant de tracer la courbe.

Dérivabilité et étude des fonctions

Ce chapitre est central pour les sciences économiques, car il permet de modéliser et d'optimiser des situations concrètes (coût, bénéfice, production). Il représente une part importante de l'examen national.

L'intuition

Le cours

I. Dérivabilité en un point et sur un intervalle

1. Nombre dérivé et interprétation graphique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ .

Interprétation graphique : Si $f$ est dérivable en $a$ , alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente au point $M(a, f(a))$ . L'équation de cette tangente est donnée par :

$y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Le nombre dérivé $f'(a)$ représente le coefficient directeur (la pente) de cette tangente.

2. Dérivabilité sur un intervalle

Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ . La fonction qui à tout $x \in I$ associe $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

3. Dérivées des fonctions usuelles et opérations

Voici un tableau récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles et des règles de calcul :

Fonction $f(x)$	Domaine de dérivabilité	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$\mathbb{R}$	$0$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$\mathbb{R}$	$nx^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$	$-\frac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\mathbb{R}_+^*$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln x$	$\mathbb{R}_+^*$	$\frac{1}{x}$
$e^x$	$\mathbb{R}$	$e^x$

Opérations sur les fonctions dérivables : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ une constante réelle.

Opération	Dérivée
$(u+v)'$	$u'+v'$
$(ku)'$	$ku'$
$(uv)'$	$u'v + uv'$
$(\frac{u}{v})'$	$\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (si $v \neq 0$ )
$(u^n)'$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$nu^{n-1}u'$
$(\frac{1}{u})'$	$-\frac{u'}{u^2}$ (si $u \neq 0$ )
$(\sqrt{u})'$	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (si $u > 0$ )
$(\ln u)'$	$\frac{u'}{u}$ (si $u > 0$ )
$(e^u)'$	$u'e^u$

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

II. Applications de la dérivée à l'étude des fonctions

1. Monotonie d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Tableau de signes

x	−∞	-1		2	+∞
x+1	·	·	·	·	·
x-2	·	·	·	·	·
produit	·	·	·	·	·

Sur quel intervalle le produit est-il négatif ?

2. Extremums d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . Si $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $a$ , alors $f'(a) = 0$ . Réciproquement : Si $f'(a) = 0$ et si $f'(x)$ change de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ .

Si $f'(x)$ passe de positif à négatif en $a$ , $f$ admet un maximum local en $a$ .
Si $f'(x)$ passe de négatif à positif en $a$ , $f$ admet un minimum local en $a$ .

3. Tableau de variations

Le tableau de variations résume la monotonie et les extremums d'une fonction. Il est construit en étudiant le signe de la dérivée.

III. Branches infinies et asymptotes

L'étude des branches infinies permet de comprendre le comportement de la courbe de la fonction aux bornes de son domaine de définition.

1. Asymptote verticale

Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$ , alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$ .

2. Asymptote horizontale

Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$ (où $b$ est un réel), alors la droite d'équation $y=b$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ .

3. Asymptote oblique

Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (où $a$ est un réel non nul) et $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$ (où $b$ est un réel), alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ .

Cas particulier : Branche parabolique Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty$ , la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. Si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

f(x) = (a*x^2 + b*x + c) / (x+d)

a = 1.0b = 0.0c = 0.0d = 1.0

Fais varier d. Que se passe-t-il quand x s'approche de -d ?

IV. Interprétation économique

En économie, la dérivée est un outil fondamental pour l'analyse marginale.

Coût marginal : Si $C(x)$ est la fonction de coût total pour produire $x$ unités, alors $C'(x)$ est le coût marginal. Il représente le coût additionnel pour produire une unité supplémentaire.
Recette marginale : Si $R(x)$ est la fonction de recette totale pour $x$ unités vendues, alors $R'(x)$ est la recette marginale. Elle représente la recette additionnelle générée par la vente d'une unité supplémentaire.
Bénéfice marginal : Si $B(x)$ est la fonction de bénéfice total, alors $B'(x)$ est le bénéfice marginal. Le bénéfice est maximal lorsque le bénéfice marginal est nul ( $B'(x)=0$ ) et que $B'(x)$ change de signe de positif à négatif.

Exemple résolu

Extrait d'annale réelle : On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0, +\infty[$ par :

$f(x) = x - \frac{1}{x} + \ln x$

et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat.
a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . b) Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ . c) Calculer $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ et interpréter géométriquement.
a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$ . b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0, +\infty[$ . c) Dresser le tableau de variations de $f$ .

Solution détaillée :

Calcul de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interprétation géométrique : On a $f(x) = x - \frac{1}{x} + \ln x$ . $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ $\lim_{x \to 0^+} -\frac{1}{x} = -\infty$ $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ Donc, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - \infty - \infty = -\infty$ . Interprétation géométrique : Puisque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ , la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C)$ .
Étude aux bornes de l'infini : a) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ $\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} = 0$ $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + 0 + \infty = +\infty$ .

b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ : $\frac{f(x)}{x} = \frac{x - \frac{1}{x} + \ln x}{x} = 1 - \frac{1}{x^2} + \frac{\ln x}{x}$

$\lim_{x \to +\infty} 1 = 1$ $\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x^2} = 0$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (croissances comparées) Donc, $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 - 0 + 0 = 1$ .

c) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ et interprétation géométrique : $f(x) - x = \left(x - \frac{1}{x} + \ln x\right) - x = -\frac{1}{x} + \ln x$

$\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} = 0$ $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ Donc, $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 0 + \infty = +\infty$ . Interprétation géométrique : Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ (un réel non nul) et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = +\infty$ , la courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=x$ en $+\infty$ .
Étude de la dérivée et tableau de variations : a) Calcul de $f'(x)$ : $f(x) = x - x^{-1} + \ln x$ $f'(x) = (x)' - (x^{-1})' + (\ln x)'$ $f'(x) = 1 - (-1)x^{-2} + \frac{1}{x}$ $f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ $f'(x) = \frac{x^2 + 1 + x}{x^2}$

b) Étude du signe de $f'(x)$ : Pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $x^2 > 0$ . Le numérateur est $x^2 + x + 1$ . Le discriminant de ce trinôme est $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$ . Puisque $\Delta < 0$ et le coefficient de $x^2$ est $1 > 0$ , alors $x^2 + x + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Donc, pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $f'(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2} > 0$ .

c) Tableau de variations de $f$ :

$x$	$0$	$+\infty$
$f'(x)$		$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$

f(x) = x - 1/x + ln(x)— lis f(x) sur la courbe

La méthode

Pour étudier une fonction $f$ et tracer sa courbe représentative :

Déterminer le domaine de définition $D_f$ et calculer les limites aux bornes de $D_f$ . Interpréter géométriquement les limites infinies (asymptotes verticales) ou finies (asymptotes horizontales).
Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation.
Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les intervalles de monotonie de $f$ et les éventuels extremums locaux.
Dresser le tableau de variations de $f$ en y incluant les limites calculées précédemment et les valeurs des extremums.

Pièges classiques

Tape pour voir pourquoi c'est faux — et la bonne version.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre de la dérivabilité et l'étude des fonctions est un pilier de l'examen national. Les questions sont souvent structurées et suivent une logique progressive.

Format des questions et barème typique :

Calcul de limites et interprétation géométrique : (1.5 à 2 points)
- Calcul de $\lim_{x \to a} f(x)$ ou $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ . (0.5 pt par limite)
- Interprétation géométrique (asymptote verticale/horizontale). (0.5 pt par interprétation)
Étude des branches infinies : (1.5 à 2 points)
- Calcul de $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$ . (0.5 pt)
- Calcul de $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$ . (0.5 pt)
- Interprétation géométrique (asymptote oblique ou branche parabolique). (0.5 pt)
Calcul de la dérivée : (0.75 à 1 point)
- Application correcte des règles de dérivation.
Étude du signe de la dérivée et monotonie : (0.75 à 1 point)
- Factorisation ou résolution d'inéquation pour trouver le signe.
- Déduction des intervalles de croissance/décroissance.
Tableau de variations : (0.75 à 1 point)
- Synthèse des limites, monotonie et extremums.
Calcul d'image ou d'extremum : (0.25 à 0.5 point)
- Calcul de $f(a)$ pour un point donné.
Interprétation économique (si présente) : (0.5 à 1 point)
- Calcul de $C'(x)$ ou $B'(x)$ .
- Détermination du coût marginal ou du bénéfice maximal.

Vérifie que tu suis

Si $f'(x) = (x-1)(x+2)$ , sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?

Exercices corrigés

Exercice 1·Facile

Soit $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ . Calculer $f'(x)$ , déterminer son signe et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ . En déduire l'extremum de $f$ .

Voir la correction

f'(x) = 2x - 6. f'(x) = 0 pour x = 3. f'(x) < 0 sur ]-inf, 3[ (f décroissante) et f'(x) > 0 sur ]3, +inf[ (f croissante). Donc f admet un minimum en x = 3, avec f(3) = 9 - 18 + 5 = -4. Minimum = -4.

Dériver le polynôme, résoudre f'(x)=0, étudier le signe de la dérivée (droite affine), dresser le tableau, conclure sur l'extremum.

Exercice 2·Moyen

Soit la fonction numérique définie sur $[1, e]$ par : $h(x) = x - \ln x$ .

Calculer $h'(x)$ puis étudier son signe et déduire que $h$ est croissante sur $[1, e]$ .
Donner le tableau de variation de $h$ sur $[1, e]$ et vérifier que : $h([1, e]) \subseteq [1, e]$ .
On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0 = e$ et $u_{n+1} = h(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

a) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $1 \leq u_n \leq e$

b) Montrer que $(u_n)$ est une suite décroissante.

c) En déduire qu'elle est convergente.

d) Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

Voir la correction

1) $h'(x) = 1 - \frac{1}{x}$ pour tout $x \in [1, e]$ . Puisque $x \geq 1$ , on a $\frac{1}{x} \leq 1$ , donc $h'(x) \geq 0$ . De plus, $h'(x) = 0$ seulement en $x = 1$ . Ainsi $h$ est croissante sur $[1, e]$ .

$x$	1		$e$
$h'(x)$	0	+
$h(x)$	1	↗	$e - 1$

Vérification : $h(1) = 1 - 0 = 1$ et $h(e) = e - 1 \approx 1.718$ . Puisque $1 < e - 1 < e$ , on a bien $h([1, e]) = [1, e - 1] \subseteq [1, e]$ .

3a)

Initialisation : $u_0 = e \in [1, e]$ ✓
Hérédité : Supposons $1 \leq u_n \leq e$ . Puisque $h$ est croissante sur $[1, e]$ et $h([1, e]) \subseteq [1, e]$ , on a $1 = h(1) \leq h(u_n) \leq h(e) < e$ . Donc $1 \leq u_{n+1} \leq e$ . ✓

3b) Pour tout $n$ , $u_{n+1} = h(u_n) = u_n - \ln u_n$ . Puisque $u_n \geq 1$ , on a $\ln u_n \geq 0$ , donc $u_{n+1} \leq u_n$ . La suite est décroissante.

3c) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle converge.

3d) La suite $(u_n)$ étant convergente vers une limite $\ell \in [1, e]$ , et la fonction $h$ étant continue, on a :

$\ell = h(\ell) = \ell - \ln \ell$

Ceci implique $\ln \ell = 0$ , donc $\ell = 1$ .

Voir le corrigé officiel.

Exercice 3·Moyen

Le coût total de production de x centaines d'articles est $C(x) = x^{3} - 9x^{2} + 30x + 12$ (en milliers de DH), pour x dans $[0, 8]$ . Déterminer le coût marginal $C'(x)$ et étudier les variations de C. Le coût est-il toujours croissant ?

Voir la correction

C'(x) = 3 $x^2$ - 18x + 30 = 3( $x^2$ - 6x + 10). Discriminant de $x^2$ - 6x + 10: 36 - 40 = -4 < 0, donc $x^2$ - 6x + 10 > 0 pour tout x. Comme 3 > 0, on a C'(x) > 0 sur [0, 8]. Le coût total C est strictement croissant sur [0, 8]: le coût augmente toujours quand la production augmente.

Dériver le coût total pour obtenir le coût marginal, étudier le signe du trinôme via le discriminant, conclure sur la monotonie de C.

Exercice 4·Moyen

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0, +\infty[$ par :

$f(x) = x - \frac{1}{x} + \ln x$

et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat.
a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

b) Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ .

c) Calculer $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ et interpréter géométriquement.

a) Montrer que : pour tout $x > 0$ , $f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ .

b) Calculer $f(1)$ puis dresser le tableau de variations de $f$ .

c) En déduire le signe de $f$ sur $]0, 1]$ et sur $[1, +\infty[$ .

d) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $1$ .

Voir la correction

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - \infty + (-\infty) = -\infty$ . Géométriquement, la courbe $(C)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées).
a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty - 0 + \infty = +\infty$ .

b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x^2} + \frac{\ln x}{x}\right) = 1 - 0 + 0 = 1$ .

c) $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x} + \ln x\right) = 0 + \infty = +\infty$ . Géométriquement, la courbe $(C)$ est au-dessus de la droite $y = x$ pour les grandes valeurs de $x$ (pas d'asymptote oblique finie).

a) $f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$ pour tout $x > 0$ .

b) $f(1) = 1 - 1 + \ln 1 = 0$ . Tableau de variations : $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

c) $f$ est strictement croissante et $f(1) = 0$ , donc $f(x) < 0$ sur $]0, 1[$ et $f(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$ .

d) L'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ : $f'(1) = 1 + 1 + 1 = 3$ , donc $(T) : y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 0 + 3(x - 1) = 3x - 3$ .

Méthode :

Calculer chaque limite composante : $\lim_{x \to 0^+} x = 0$ , $\lim_{x \to 0^+} (-\frac{1}{x}) = -\infty$ , $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ . L'asymptote verticale correspond à l'infini trouvé.
a) Les trois termes tendent vers $+\infty$ .

b) Diviser $f(x)$ par $x$ et calculer les limites de chaque terme. Le terme dominant est $1$ .

c) Isoler $-\frac{1}{x} + \ln x$ et calculer la limite en utilisant le fait que $\ln x$ croît plus vite que les puissances négatives de $x$ .

a) Dériver terme à terme : $\frac{d}{dx}(x) = 1$ , $\frac{d}{dx}(-\frac{1}{x}) = \frac{1}{x^2}$ , $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ .

b) Évaluer $f$ et $f'$ en $x = 1$ . Vérifier que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$ (somme de termes positifs). Construire le tableau avec une seule ligne croissante.

c) Utiliser la monotonie et la valeur $f(1) = 0$ pour déterminer le signe.

d) Utiliser la formule de la tangente : $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ avec $a = 1$ .

Exercice 5·Moyen

Soit f(x) = (2x - 1) / (x + 1) définie sur R \ {-1}. Calculer f'(x), donner son signe et dresser le tableau de variations de f.

Voir la correction

f'(x) = [2(x+1) - (2x-1)(1)] / (x+1)^2 = [2x + 2 - 2x + 1] / (x+1)^2 = 3 / (x+1)^2. Pour tout x différent de -1, (x+1)^2 > 0 donc f'(x) > 0. f est strictement croissante sur ]-inf, -1[ et sur ]-1, +inf[.

Appliquer la règle du quotient (u'v - uv')/ $v^2$ , simplifier le numérateur, remarquer que le dénominateur est un carré positif, conclure sur le signe et les variations sur chaque intervalle.

Exercice 6·Moyen

Exercice 2

On considère la fonction numérique $h$ définie sur l'intervalle $[1 ; e]$ par : $h(x) = x - \ln x$ .

Partie 1 : Étude de la fonction $h$

1.a. Calculer $h'(x)$ et étudier son signe sur $[1 ; e]$ . En déduire que $h$ est croissante sur cet intervalle.

1.b. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[1 ; e]$ et montrer que $h([1 ; e]) = [1 ; e - 1]$ .

Partie 2 : Étude de la suite $(u_n)$

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :

$u_0 = 1 \text{ et } u_{n+1} = h(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$

2.a. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $1 \leq u_n \leq e$ .

2.b. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

2.c. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2.d. En utilisant ce qui précède, montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ .

Voir la correction

1.a. $h'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ . Puisque $x \geq 1$ sur $[1 ; e]$ , on a $h'(x) \geq 0$ . Donc $h$ est croissante sur $[1 ; e]$ .

1.b.

$x$	$1$		$e$
$h'(x)$		$+$
$h(x)$	$1$	$\nearrow$	$e-1$

Donc $h([1 ; e]) = [1 ; e-1]$ .

2.a. Démonstration par récurrence : la propriété $1 \leq u_n \leq e$ est vraie pour tout $n$ .

2.b. La suite $(u_n)$ est décroissante car $u_{n+1} = h(u_n) < u_n$ .

2.c. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle est convergente.

2.d. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ .

1.a. Calcul de $h'(x)$ et étude de son signe :

$h'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

Sur $[1 ; e]$ : $x \geq 1$ , donc $x - 1 \geq 0$ et $x > 0$ . Ainsi $h'(x) \geq 0$ .

De plus, $h'(x) = 0$ seulement en $x = 1$ et $h'(x) > 0$ pour $x \in ]1 ; e]$ .

Donc $h$ est croissante sur $[1 ; e]$ .

1.b. Tableau de variations et image :

$h(1) = 1 - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

$h(e) = e - \ln e = e - 1$

Puisque $h$ est continue et croissante sur $[1 ; e]$ :

$h([1 ; e]) = [h(1) ; h(e)] = [1 ; e-1]$

2.a. Récurrence : $1 \leq u_n \leq e$ pour tout $n$ :

Initialisation : $u_0 = 1$ , donc $1 \leq u_0 \leq e$ ✓

Hérédité : Supposons $1 \leq u_n \leq e$ .

Alors $u_{n+1} = h(u_n) \in h([1 ; e]) = [1 ; e-1] \subset [1 ; e]$ .

Donc $1 \leq u_{n+1} \leq e$ ✓

Par récurrence, $1 \leq u_n \leq e$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

2.b. Monotonie de $(u_n)$ :

Pour tout $n$ , on a $1 \leq u_n \leq e$ .

On note que $h(x) = x - \ln x < x$ dès que $\ln x > 0$ , c'est-à-dire pour $x > 1$ .

Si $u_n > 1$ , alors $u_{n+1} = h(u_n) < u_n$ .
Pour $u_0 = 1$ : $u_1 = h(1) = 1 - \ln 1 = 1$ .
Mais pour la suite, si $u_n \geq 1$ et $u_n \neq 1$ , alors $u_{n+1} < u_n$ .

Puisque $u_1 = h(u_0) = h(1) = 1$ , et par induction on montre que $u_n = 1$ pour tout $n$ ou la suite décroît après un certain rang. En fait, le calcul exact montre que la suite est bien décroissante à partir de $u_0 = 1$ car $u_n$ converge vers le point fixe de $h$ qui est 1.

Ainsi $(u_n)$ est décroissante et $1 \leq u_n \leq e$ pour tout $n$ .

2.c. Convergence :

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1. Par le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge.

2.d. Limite :

Notons $L = \lim_{n \to +\infty} u_n$ . Par continuité de $h$ et la relation $u_{n+1} = h(u_n)$ :

$L = h(L) \Rightarrow L = L - \ln L \Rightarrow \ln L = 0 \Rightarrow L = 1$

Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ .

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