Logarithmes et exponentielles

L'intuition

Imagine que tu gères une entreprise. Tu as des chiffres de vente, des coûts, des bénéfices. Parfois, ces chiffres augmentent très vite, comme une start-up qui explose. D'autres fois, ils diminuent rapidement, comme une entreprise en difficulté. Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont des outils pour comprendre et modéliser ces phénomènes de croissance et de décroissance, qu'ils soient économiques, démographiques ou même biologiques.

La fonction exponentielle, c'est la croissance rapide. Pense à un capital placé avec des intérêts composés : chaque année, non seulement ton capital de départ rapporte, mais les intérêts de l'année précédente rapportent aussi. Ça "explose" vite.

La fonction logarithme, c'est l'inverse. C'est comme si tu voulais savoir combien de temps il faut pour que ton capital double, ou combien de fois tu dois diviser une quantité par deux pour arriver à une certaine valeur. C'est une façon de "ralentir" la croissance pour mieux la mesurer.

Ces deux fonctions sont liées : l'une est l'inverse de l'autre. C'est comme l'addition et la soustraction, ou la multiplication et la division. Comprendre cette relation est la clé pour résoudre les problèmes qui les impliquent.

Le cours

La fonction logarithme népérien ($\ln$)

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$. Son domaine de définition est $D_{\ln} = ]0, +\infty[$.

Propriétés algébriques fondamentales

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$:

1. $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
2. $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
3. $\ln(a^n) = n \ln(a)$
4. $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$
5. $\ln(1) = 0$
6. $\ln(e) = 1$ (où $e$ est la base du logarithme népérien, $e \approx 2.718$)

Limites aux bornes du domaine de définition

1. $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
2. $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Dérivée de la fonction $\ln$

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et: $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Limites de référence (croissances comparées)

Ces limites sont cruciales pour lever les formes indéterminées.

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (Le $x$ l'emporte sur $\ln x$ en $+\infty$)
2. $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (Le $x$ l'emporte sur $\ln x$ en $0^+$)

La fonction exponentielle ($\exp$)

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction $\ln$. Son domaine de définition est $D_{\exp} = \mathbb{R}$. Son ensemble image est $]0, +\infty[$.

Propriétés algébriques fondamentales

Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$:

1. $e^{a+b} = e^a e^b$
2. $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
3. $(e^a)^n = e^{na}$
4. $e^0 = 1$
5. $e^1 = e$

Relations avec la fonction $\ln$

Puisque $\exp$ et $\ln$ sont réciproques:

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$
2. Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $e^{\ln x} = x$

Limites aux bornes du domaine de définition

1. $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
2. $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Dérivée de la fonction $\exp$

La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$.

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et: $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$

Limites de référence (croissances comparées)

Ces limites sont également cruciales.

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ (Le $e^x$ l'emporte sur $x$ en $+\infty$)
2. $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$ (Le $e^x$ l'emporte sur $x$ en $-\infty$)

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale:

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $t^2 - 3t + 2 = 0$
2. En déduire dans $]0, +\infty[$: a) Les solutions de l'équation : $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 = 0$ b) L'ensemble des solutions de l'inéquation : $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 > 0$

1. 1

   1. Résoudre $t^2 - 3t + 2 = 0$

   C'est une équation du second degré. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

2. 2

   Calcul de $\Delta$

3. 3

   Calcul des racines $t_1, t_2$

4. 4

   Les solutions sont $t=1$ et $t=2$.

5. 5

   2. a) En déduire les solutions de $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 = 0$

6. 6

   Poser $t = \ln x$

7. 7

   Utiliser les solutions de la question 1

8. 8

   Remplacer $t$ par $\ln x$

9. 9

   Résoudre $\ln x = 1$

10. 10

    Résoudre $\ln x = 2$

11. 11

    Vérifier que les solutions sont dans $]0, +\infty[$

12. 12

    L'ensemble des solutions est $\{e, e^2\}$.

13. 13

    2. b) En déduire l'ensemble des solutions de $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 > 0$

14. 14

    L'inéquation devient $t^2 - 3t + 2 > 0$.

15. 15

    Étudier le signe du trinôme $t^2 - 3t + 2$

16. 16

    Donc $t^2 - 3t + 2 > 0$ quand $t < 1$ ou $t > 2$.

17. 17

    Remplacer $t$ par $\ln x$

18. 18

    Résoudre $\ln x < 1$

19. 19

    Résoudre $\ln x > 2$

20. 20

    Prendre en compte le domaine de définition de $\ln x$

21. 21

    Donc $0 < x < e$ ou $x > e^2$.

22. 22

    L'ensemble des solutions est $]0, e[ \cup ]e^2, +\infty[$.

Étape suivante

La méthode

Voici les gestes types que le correcteur attend.

1. Résoudre une équation ou inéquation avec $\ln$:

   • Isoler le $\ln$: Mets l'expression $\ln(f(x))$ d'un côté de l'équation/inéquation.
   • Déterminer le domaine de validité: Assure-toi que l'argument du $\ln$ est strictement positif ($f(x) > 0$). C'est crucial pour ne pas avoir de solutions "parasites".
   • Appliquer l'exponentielle: Utilise la propriété $e^{\ln A} = A$ et la stricte croissance de $e^x$.
     • Si $\ln(f(x)) = k$, alors $f(x) = e^k$.
     • Si $\ln(f(x)) < k$, alors $f(x) < e^k$.
     • Si $\ln(f(x)) > k$, alors $f(x) > e^k$.
   • Combiner avec le domaine de validité: Les solutions finales doivent respecter $f(x) > 0$.

2. Résoudre une équation ou inéquation avec $\exp$:

   • Isoler l'exponentielle: Mets l'expression $e^{f(x)}$ d'un côté de l'équation/inéquation.
   • Appliquer le logarithme: Utilise la propriété $\ln(e^A) = A$ et la stricte croissance de $\ln x$.
     • Si $e^{f(x)} = k$ (avec $k>0$), alors $f(x) = \ln k$. Si $k \le 0$, pas de solution.
     • Si $e^{f(x)} < k$ (avec $k>0$), alors $f(x) < \ln k$. Si $k \le 0$, pas de solution.
     • Si $e^{f(x)} > k$, alors $f(x) > \ln k$ (si $k>0$). Si $k \le 0$, l'inéquation est toujours vraie car $e^{f(x)}$ est toujours positif.

3. Calculer une dérivée:

   • Identifier la forme: Est-ce $(\ln u)'$ ou $(e^u)'$ ?
   • Calculer $u'(x)$: Dérive l'argument du $\ln$ ou l'exposant de l'exponentielle.
   • Appliquer la formule:
     • $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$
     • $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$

4. Calculer une limite:

   • Remplacer $x$ par la valeur: Identifie si c'est une forme indéterminée ($\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$).
   • Utiliser les croissances comparées:
     • Pour $\ln$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$.
     • Pour $\exp$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$.
   • Factoriser ou changer de variable: Si nécessaire, factorise par le terme "le plus fort" ou utilise un changement de variable pour te ramener à une limite de référence.

5. Étudier une fonction $f(x) = x - \ln(x)$ ou $f(x) = x e^{-x}$:

   • Domaine de définition: Détermine $D_f$. Pour $\ln(x)$, $x>0$. Pour $e^{-x}$, $\mathbb{R}$.
   • Limites aux bornes: Calcule les limites de $f(x)$ aux bornes de $D_f$. Utilise les croissances comparées si besoin.
   • Dérivée: Calcule $f'(x)$.
   • Signe de la dérivée: Étudie le signe de $f'(x)$ pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
   • Tableau de variations: Résume toutes les informations dans un tableau.
   • Asymptotes: Déduis les asymptotes éventuelles (verticales, horizontales, obliques).

Pièges classiques

1. Domaine de définition du $\ln$: L'argument du $\ln$ doit TOUJOURS être strictement positif.

   • Erreur: Résoudre $\ln(x-1) = 2$ sans poser $x-1 > 0$.
   • Correction: Pour $\ln(x-1)=2$, d'abord $x-1 > 0 \implies x > 1$. Ensuite $x-1 = e^2 \implies x = e^2+1$. Cette solution est bien $>1$.
   • Contre-exemple: Résoudre $\ln(x^2) = 0$.
     • Si tu oublies le domaine: $x^2 = e^0 = 1 \implies x = 1$ ou $x = -1$.
     • Domaine de $\ln(x^2)$: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$. Les deux solutions $1$ et $-1$ sont valides.
     • Mais si l'équation était $\ln(x) + \ln(x) = 0$, le domaine est $x>0$. Alors $2\ln(x)=0 \implies \ln(x)=0 \implies x=1$. La solution $x=-1$ n'est pas valide. Attention aux transformations !

2. Signe de l'exponentielle: $e^x$ est TOUJOURS strictement positif.

   • Erreur: Chercher à résoudre $e^x = -1$.
   • Correction: L'équation $e^x = -1$ n'a aucune solution réelle.
   • Contre-exemple: Résoudre $e^x < -2$. Pas de solution. Résoudre $e^x > -2$. Toujours vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Confondre les limites de croissances comparées:

   • Erreur: Penser que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = 0$.
   • Correction: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\infty$.
   • Contre-exemple:

     Vérifie que tu suis

     Quelle est la limite de $\frac{e^x}{x^2}$ quand $x \to +\infty$ ?

     $+\infty$$0$$1$

4. Erreurs de calcul avec les propriétés algébriques:

   • Erreur: $\ln(a+b) = \ln a + \ln b$. C'est faux !
   • Correction: $\ln(a+b)$ ne se simplifie pas. C'est $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
   • Contre-exemple:

     Vérifie que tu suis

     Laquelle de ces expressions est correcte ?

     $\ln(x^2+1) = 2\ln(x) + \ln(1)$$\ln(x^2+1) = \ln(x^2) + \ln(1)$$\ln(x^2+1)$ ne se simplifie pas davantage

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des logarithmes et exponentielles est fondamental et représente une part significative de l'examen, souvent intégré dans l'étude de fonctions.

Format des questions réelles:

• Résolution d'équations/inéquations (application directe):

  • Souvent, on te demande de résoudre une équation du second degré simple (par exemple $t^2 - 3t + 2 = 0$), puis d'en déduire les solutions d'une équation du type $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 = 0$ ou $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. C'est une application directe du changement de variable.
  • Exemple d'annale: "1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $t^2 - 3t + 2 = 0$ 2) En déduire dans $]0, +\infty[$: a) Les solutions de l'équation : $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 = 0$ b) L'ensemble des solutions de l'inéquation : $(\ln x)^2 - 3(\ln x) + 2 > 0$" (Poids: environ 1.5 à 2 points)

• Calcul de limites (application directe et mobilisation):

  • Calcul de limites aux bornes du domaine de définition d'une fonction.
  • Utilisation des croissances comparées pour lever les formes indéterminées.
  • Exemple d'annale: "$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$", "$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$", "$\lim_{x \to -\infty} x e^x$". (Poids: environ 0.5 à 1 point par limite)

• Calcul de dérivées (application directe):

  • Dériver des fonctions simples impliquant $\ln(u)$ ou $e^u$.
  • Exemple d'annale: "Montrer que $h'(x) = \frac{\ln x - 1}{x}$" ou "Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = (x-1)e^x$". (Poids: environ 0.5 à 1 point)

• Étude de fonctions (mobilisation et synthèse):

  • C'est la partie la plus lourde. On te donne une fonction $f(x)$ (souvent du type $x - \ln x$, $x e^{-x}$, ou des variantes plus complexes) et on te demande:
    • Le domaine de définition.
    • Les limites aux bornes.
    • Les asymptotes (verticales, horizontales, obliques).
    • La dérivée $f'(x)$.
    • Le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations.
    • Les points d'intersection avec les axes.
    • Parfois, la convexité (point d'inflexion).
    • Le tracé de la courbe.
  • Exemple d'annale: "Soit $g(x) = \ln x - 1$. 1. Calculer $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$. 2. Calculer $g'(x)$. 3. Dresser le tableau de variations de $g$." (Poids: 4 à 8 points, selon la complexité et le nombre de sous-questions).

Barème et attendus de correction:

• Clarté et rigueur: Chaque étape de calcul doit être clairement présentée.
• Justification: Les limites de référence et les propriétés utilisées doivent être implicitement ou explicitement connues.
• Domaine de validité: Ne jamais oublier de vérifier les domaines de définition, surtout pour les fonctions $\ln$.
• Changement de variable: Bien expliciter le changement de variable et revenir à la variable initiale à la fin.
• Tableau de variations: Doit être complet avec les limites, les valeurs aux extrema et les flèches de variation.

En résumé, la maîtrise des propriétés algébriques, des dérivées et des limites de référence est la base. Ensuite, l'application de ces outils à la résolution d'équations/inéquations et à l'étude de fonctions est ce qui est le plus évalué. Entraîne-toi sur des exercices types et des annales pour bien assimiler la méthodologie.