Transmission de mouvement

L'intuition

Imagine que tu es sur ton vélo. Quand tu pédales, tu transmets un mouvement à la roue arrière. Si tu utilises une petite vitesse (grand pignon à l'arrière), tu pédales plus vite mais avec moins d'effort, et le vélo avance lentement. Si tu utilises une grande vitesse (petit pignon à l'arrière), tu pédales plus lentement mais avec plus d'effort, et le vélo avance plus vite.

C'est ça, la transmission de mouvement : adapter la vitesse et l'effort (le couple) pour que ça corresponde à ce que tu veux faire. Dans une voiture, le moteur tourne très vite mais n'a pas beaucoup de force pour démarrer. La boîte de vitesses va transformer cette vitesse élevée en une force suffisante pour faire avancer la voiture, quitte à réduire la vitesse de rotation des roues. C'est le même principe pour un treuil qui lève une charge lourde : le moteur tourne vite, mais il faut une grande force pour soulever la charge. On utilise un réducteur pour diminuer la vitesse de rotation et augmenter la force.

Le cours

La transmission de mouvement est essentielle dans les systèmes mécaniques pour adapter les caractéristiques du mouvement (vitesse, couple) entre un élément moteur et un élément récepteur.

I. Rapports de transmission et de réduction

Le rapport de transmission $r$ est une grandeur sans unité qui caractérise la modification de la vitesse de rotation entre l'entrée et la sortie d'un système.

$r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}}$

Où :

• $N_{entrée}$ et $N_{sortie}$ sont les vitesses de rotation en tours par minute (tr/min).
• $\omega_{entrée}$ et $\omega_{sortie}$ sont les vitesses angulaires en radians par seconde (rad/s).

Si $r > 1$, on parle de multiplicateur de vitesse. Si $r < 1$, on parle de réducteur de vitesse. Si $r = 1$, la vitesse est inchangée.

Le rapport de réduction est souvent défini comme $k = 1/r$.

II. Systèmes de transmission

A. Engrenages

Les engrenages transmettent le mouvement par contact direct des dents.

1. Engrenage simple (deux roues) Le rapport de transmission est donné par le rapport inverse du nombre de dents : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{Z_{menant}}{Z_{mené}}$

   Où $Z_{menant}$ est le nombre de dents de la roue motrice et $Z_{mené}$ est le nombre de dents de la roue réceptrice.

   • Sens de rotation : Si les deux roues sont en prise directe, elles tournent en sens inverse. Si un pignon intermédiaire est utilisé, les roues d'entrée et de sortie tournent dans le même sens.

2. Train d'engrenages Un train d'engrenages est une succession de plusieurs engrenages. Le rapport de transmission global est le produit des rapports de transmission de chaque étage, ou plus simplement : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\text{Produit des nombres de dents des roues menantes}}{\text{Produit des nombres de dents des roues menées}}$

   Les pignons intermédiaires (qui sont à la fois menés et menants) n'affectent pas le rapport de transmission global, mais ils peuvent modifier le sens de rotation.

   Exemple de train simple : Si la roue 1 (menante) entraîne la roue 2 (menée), et la roue 2 (menante) entraîne la roue 3 (menée), alors : $r_1 = Z_1/Z_2$ et $r_2 = Z_2/Z_3$. Le rapport global est $r = r_1 \cdot r_2 = (Z_1/Z_2) \cdot (Z_2/Z_3) = Z_1/Z_3$.

B. Poulies-courroie

Les systèmes poulies-courroie transmettent le mouvement par adhérence (ou par engrènement pour les courroies crantées).

Le rapport de transmission est donné par le rapport des diamètres des poulies :

$r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{D_{motrice}}{D_{réceptrice}}$

Où $D_{motrice}$ est le diamètre de la poulie motrice et $D_{réceptrice}$ est le diamètre de la poulie réceptrice. Les poulies tournent toujours dans le même sens si la courroie n'est pas croisée.

C. Roue et vis sans fin

Ce système permet d'obtenir de très grandes réductions de vitesse en un seul étage.

Le rapport de transmission est donné par :

$r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{z}{Z}$

Où $z$ est le nombre de filets de la vis sans fin (généralement 1 ou 2) et $Z$ est le nombre de dents de la roue. Le sens de rotation de la roue dépend du sens de l'hélice de la vis et du sens de rotation de la vis.

III. Transformation de mouvement

Certains systèmes transforment un mouvement de rotation en un mouvement de translation, ou inversement.

A. Système vis-écrou

Ce système transforme un mouvement de rotation (de la vis ou de l'écrou) en un mouvement de translation (de l'autre élément).

Le déplacement linéaire $L$ pour une rotation $N$ (en tours) est donné par :

$L = N \cdot p$

Où $p$ est le pas de la vis (distance parcourue en translation pour un tour complet de rotation).

La vitesse de translation $V$ est liée à la vitesse de rotation $N$ (en tr/min) par :

$V = N \cdot p$

(Attention aux unités : si $N$ est en tr/min et $p$ en mm/tour, $V$ sera en mm/min).

B. Système pignon-crémaillère

Ce système transforme un mouvement de rotation (du pignon) en un mouvement de translation (de la crémaillère).

Le déplacement linéaire $L$ de la crémaillère pour une rotation $\theta$ (en radians) du pignon est donné par :

$L = R \cdot \theta$

Où $R$ est le rayon primitif du pignon.

La vitesse de translation $V$ de la crémaillère est liée à la vitesse angulaire $\omega$ (en rad/s) du pignon par :

$V = R \cdot \omega$

On peut aussi utiliser le module $m$ et le nombre de dents $Z$ du pignon, car $R = mZ/2$. Donc $V = (mZ/2) \cdot \omega$.

IV. Puissance et couple

A. Puissance mécanique

La puissance mécanique $P$ est le produit du couple $C$ et de la vitesse angulaire $\omega$.

$P = C \cdot \omega$

Où $P$ est en Watts (W), $C$ en Newton-mètres (N.m) et $\omega$ en radians par seconde (rad/s).

Si la vitesse de rotation $N$ est en tr/min, on utilise la relation $\omega = (2\pi N)/60$. Donc :

$P = C \cdot \frac{2\pi N}{60}$

B. Conservation de la puissance (système idéal)

Dans un système de transmission idéal (sans pertes par frottement), la puissance d'entrée est égale à la puissance de sortie :

$P_{entrée} = P_{sortie}$

$C_{entrée} \cdot \omega_{entrée} = C_{sortie} \cdot \omega_{sortie}$

En utilisant la définition du rapport de transmission $r = \omega_{sortie} / \omega_{entrée}$ :

$C_{entrée} \cdot \omega_{entrée} = C_{sortie} \cdot (r \cdot \omega_{entrée})$

$C_{entrée} = C_{sortie} \cdot r$

Donc :

$C_{sortie} = \frac{C_{entrée}}{r}$

Cette relation montre que si le système est un réducteur de vitesse ($r < 1$), le couple de sortie est supérieur au couple d'entrée. C'est le principe des boîtes de vitesses ou des treuils : on réduit la vitesse pour augmenter la force (le couple).

C. Rendement

En réalité, il y a toujours des pertes d'énergie (frottements, échauffement). Le rendement $\eta$ (êta) d'un système de transmission est le rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée :

$\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{entrée}} = \frac{C_{sortie} \cdot \omega_{sortie}}{C_{entrée} \cdot \omega_{entrée}}$

Le rendement est toujours inférieur à 1 ($\eta < 1$).

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

SEV 1 : Analyse fonctionnelle et étude de la transmission de puissance [24 points] Tâche 3 : Vérification du déplacement de l'électrode On donne ci-dessous le schéma cinématique de la tête de soudage. Le constructeur du robot de soudage annonce que la précision du déplacement de l'électrode mobile ne dépasse pas 0,01 mm. En vue de vérifier cette déclaration, on vous demande de répondre aux questions suivantes. Données :

• Système vis-écrou : Pas p = 5 mm.
• Moteur MT: Vitesse $N_{MT}$ = 150 tr/min.

Q.07) Calcul de Nv Q.08) Calcul de Va Q.09) Détermination de ta en min puis en heures h h

Correction officielle pour Q07, Q08, Q09 : Q07) Calcul de Nv $N_v = N_{MT} \cdot r_e$ $N_v = 1440 \cdot 0,002 = 2,88$ tr/min

Q08) Calcul de Va $V_a = p \cdot N_v$ $V_a = 2 \cdot 1 \cdot 2,88 = 5,76$ mm/min

Q09) Détermination de ta en min puis en heures h h $t_a = L / V_a = 2 \cdot 10^3 / 5,76 = 347,222$ min $t_a = 347,222 / 60 = 5,787$ heures ou 5 heures 47 minutes

Analyse et résolution détaillée :

Le problème concerne un système de transmission avec un moteur, un réducteur (dont le rapport $r_e$ est donné par ailleurs dans l'annale comme $r_e = r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = 0,25 \cdot 0,033 \cdot 0,25 = 0,002$) et un système vis-écrou.

Q.07) Calcul de Nv

• Compréhension : On te demande la vitesse de rotation de la vis ($N_v$). Le moteur ($N_{MT}$) entraîne un réducteur, et la sortie de ce réducteur est la vis.
• Formule : La vitesse de sortie d'un réducteur est $N_{sortie} = r \cdot N_{entrée}$. Ici, $N_{entrée} = N_{MT}$ et $N_{sortie} = N_v$. Le rapport de transmission global du réducteur est $r_e$.
• Application numérique : $N_v = N_{MT} \cdot r_e$ $N_v = 1440 \text{ tr/min} \cdot 0,002$ $N_v = 2,88 \text{ tr/min}$

Q.08) Calcul de Va

• Compréhension : On te demande la vitesse de translation de l'électrode ($V_a$). L'électrode est déplacée par le système vis-écrou.
• Formule : Pour un système vis-écrou, la vitesse de translation $V$ est liée à la vitesse de rotation $N$ de la vis et au pas $p$ de la vis par $V = N \cdot p$.
• Application numérique : $V_a = N_v \cdot p$ $V_a = 2,88 \text{ tr/min} \cdot 5 \text{ mm/tour}$ $V_a = 14,4 \text{ mm/min}$

Note sur le corrigé officiel : Il y a une petite incohérence dans le corrigé officiel pour Q08. Il est écrit $V_a = 2 \cdot 1 \cdot 2,88 = 5,76$ mm/min. L'énoncé donne $p=5$ mm. Si $p=5$ mm, alors $V_a = 2,88 \text{ tr/min} \cdot 5 \text{ mm/tour} = 14,4 \text{ mm/min}$. L'erreur dans le corrigé semble être une confusion avec un pas $p=2$ mm ou une division par 2. Il faut toujours se fier aux données de l'énoncé. Si le pas est $p=5$ mm, alors $V_a = 14,4$ mm/min. Si le pas était $p=2$ mm, alors $V_a = 2,88 \cdot 2 = 5,76$ mm/min. Ou si le pas était $p=1$ mm et qu'il y avait un facteur 2 quelque part. Dans le doute, tu utilises les données fournies. Pour cet exemple, je vais suivre la logique de l'énoncé $p=5$ mm, donc $V_a = 14,4$ mm/min.

Q.09) Détermination de ta en min puis en heures h h

• Compréhension : On te demande le temps $t_a$ pour parcourir une certaine distance $L$. La distance $L$ n'est pas explicitement donnée dans l'extrait, mais le corrigé utilise $L = 2 \cdot 10^3$ mm (soit 2 mètres). C'est une donnée implicite de l'exercice complet.

• Formule : Le temps est la distance divisée par la vitesse : $t = L / V$.

• Application numérique : Avec $L = 2000$ mm et $V_a = 14,4$ mm/min : $t_a = 2000 \text{ mm} / 14,4 \text{ mm/min}$ $t_a \approx 138,89 \text{ min}$

  Pour convertir en heures : $t_a = 138,89 \text{ min} / 60 \text{ min/h}$ $t_a \approx 2,315 \text{ heures}$ Soit 2 heures et $0,315 \cdot 60 \approx 19$ minutes.

Note sur le corrigé officiel : Si on reprend le $V_a = 5,76$ mm/min du corrigé, alors $t_a = 2000 / 5,76 = 347,222$ min, ce qui correspond au corrigé. Cela confirme que le pas utilisé dans le corrigé pour $V_a$ était implicitement $2$ mm, ou qu'il y a un facteur 2 quelque part non explicité. L'important est de suivre une logique cohérente avec les données que tu as.

La méthode

Pour résoudre les exercices de transmission de mouvement, suis ces étapes :

1. Identifier le type de transmission : Engrenages, poulies-courroie, vis-écrou, pignon-crémaillère, roue et vis sans fin.
2. Repérer les éléments menants et menés : C'est crucial pour appliquer les bonnes formules de rapport.
3. Calculer le rapport de transmission $r$ :
   • Engrenages : $r = Z_{menant} / Z_{mené}$. Pour un train, $r = \prod Z_{menant} / \prod Z_{mené}$.
   • Poulies-courroie : $r = D_{motrice} / D_{réceptrice}$.
   • Roue et vis sans fin : $r = z / Z$.
4. Relier les vitesses : $N_{sortie} = r \cdot N_{entrée}$ ou $\omega_{sortie} = r \cdot \omega_{entrée}$.
5. Pour les transformations rotation-translation :
   • Vis-écrou : $L = N \cdot p$ ou $V = N \cdot p$.
   • Pignon-crémaillère : $L = R \cdot \theta$ ou $V = R \cdot \omega$.
6. Calculer les couples et puissances :
   • Puissance : $P = C \cdot \omega$.
   • Couple (sans pertes) : $C_{sortie} = C_{entrée} / r$.
   • Couple (avec rendement) : $P_{sortie} = \eta \cdot P_{entrée} \implies C_{sortie} \cdot \omega_{sortie} = \eta \cdot C_{entrée} \cdot \omega_{entrée}$. Donc $C_{sortie} = \eta \cdot C_{entrée} / r$.
7. Vérifier les unités : Assure-toi que toutes les grandeurs sont dans le bon système d'unités (rad/s pour $\omega$, N.m pour $C$, W pour $P$, mm pour $L$, mm/min pour $V$, etc.).

Pièges classiques

• Confusion menant/mené : Toujours bien identifier quelle roue est motrice (menante) et quelle est réceptrice (menée). Une erreur ici inverse le rapport.
• Sens de rotation : Pour les engrenages, deux roues en prise directe tournent en sens inverse. Pour les poulies-courroie, c'est le même sens (sauf courroie croisée).
• Unités : Le piège le plus courant.
  • Vitesse de rotation $N$ en tr/min ou tr/s. Vitesse angulaire $\omega$ en rad/s. N'oublie pas la conversion : $\omega = (2\pi N)/60$ si $N$ est en tr/min, ou $\omega = 2\pi N$ si $N$ est en tr/s.
  • Pas $p$ en mm/tour, vitesse $V$ en mm/min.
  • Couple en N.m, puissance en W.
• Rapport de transmission vs. rapport de réduction : Certains exercices peuvent demander l'un ou l'autre. Sois attentif à la terminologie. Le rapport de réduction est souvent $k = N_{entrée} / N_{sortie} = 1/r$.
• Pignons intermédiaires dans un train d'engrenages : Ils ne changent pas le rapport de transmission global en termes de valeur, mais ils peuvent changer le sens de rotation. Ne les inclue pas dans le produit des dents menantes/menées si tu calcules le rapport global directement.
• Rendement : N'oublie pas de l'intégrer dans les calculs de couple ou de puissance si le système n'est pas idéal. $P_{sortie} = \eta \cdot P_{entrée}$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur la transmission de mouvement est évalué principalement dans la partie "Mécanique" (environ 30% de l'examen) et "Analyser & modéliser un système pluritechnologique" ainsi que "Résoudre / calculer" (environ 70% des habiletés).

Les questions typiques sont :

• Calcul de rapports de transmission/réduction : C'est la base, souvent pour des engrenages, des poulies-courroie ou des systèmes roue et vis sans fin. Tu devras appliquer les formules $r = Z_{menant}/Z_{mené}$ ou $r = D_{motrice}/D_{réceptrice}$.
  • Exemple d'annale : Q.03, Q.04, Q.05, Q.06 du corrigé 2025 (calcul de $r_1, r_2, r_3$ et $r_e$).
  • Exemple d'annale : Q.09, Q.10, Q.11 du corrigé 2024 (calcul de $r$ pour un train d'engrenages).
• Calcul de vitesses de rotation ou de translation : En utilisant les rapports de transmission et les formules de transformation de mouvement (vis-écrou, pignon-crémaillère).
  • Exemple d'annale : Q.07 du corrigé 2025 (calcul de $N_v$), Q.08 (calcul de $V_a$).
  • Exemple d'annale : Q.11, Q.12 du corrigé 2024 (calcul de $N_s$ et $N_r$).
• Calcul de couples et de puissances : En appliquant les formules $P = C \cdot \omega$ et la relation entre les couples et le rapport de transmission, éventuellement avec le rendement.
  • Exemple d'annale : Q.13, Q.14 du corrigé 2024 (calcul de $P_r$ et $C_r$).
• Analyse de chaînes cinématiques : Compléter des schémas cinématiques, identifier les liaisons, les fonctions des pièces. Cela relève plus de l'analyse structurelle mais est souvent lié à la transmission.
  • Exemple d'annale : Q.4, Q.5, Q.6 de l'extrait (compléter tableau des liaisons, schéma cinématique, chaîne cinématique).
  • Exemple d'annale : Q.04 du corrigé 2025 (schéma cinématique).
• Vérification de performances : Comparer les valeurs calculées avec des exigences du cahier des charges (précision, vitesse, couple).
  • Exemple d'annale : Q.15 du corrigé 2024 (vérifier si le choix du moteur est correct).

Le barème est généralement clair : des points pour la formule, des points pour l'application numérique, et parfois des points pour l'unité ou l'interprétation. La rigueur dans les calculs et la présentation est donc essentielle.