Suites Numériques : Guide de Référence pour le 2ème Bac SGC

Ce chapitre sur les suites numériques est fondamental pour l'examen national, représentant environ 20% de la note en mathématiques. Une maîtrise solide de ces concepts est essentielle pour aborder sereinement les épreuves et garantir des points cruciaux. Ce cours se concentre sur les notions et les méthodes évaluées, en respectant les attentes du correcteur.

L'intuition

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Imagine une série d'étapes où chaque étape est un nombre. Pour passer d'une étape à la suivante, il y a une règle simple. Soit on ajoute toujours la même quantité (suite arithmétique), soit on multiplie toujours par le même facteur (suite géométrique). L'objectif est de comprendre ces règles pour prédire n'importe quelle étape ou pour calculer la somme de plusieurs étapes.

Le cours

Une suite numérique est une fonction $u: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$. Le nombre $u_n$ est appelé le terme de rang $n$.

1. Suites Arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique s'il existe un nombre réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier naturel $n$, on ait :

$u_{n+1} = u_n + r$

Terme général

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_p$, alors pour tout $n \ge p$, le terme $u_n$ est donné par :

$u_n = u_p + (n-p)r$

Dans le cas où le premier terme est $u_0$, la formule devient :

$u_n = u_0 + nr$

Somme des termes consécutifs

La somme $S$ de $N$ termes consécutifs d'une suite arithmétique, du terme $u_p$ au terme $u_k$, est donnée par :

$S = N \times \frac{u_p + u_k}{2}$

où $N = k - p + 1$ est le nombre de termes. Si la somme commence à $u_0$ et se termine à $u_n$, alors $N = n+1$, et la formule devient :

$S_n = (n+1) \frac{u_0 + u_n}{2}$

2. Suites Géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique s'il existe un nombre réel $q$, appelé raison, tel que pour tout entier naturel $n$, on ait :

$u_{n+1} = q \cdot u_n$

Terme général

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_p$, alors pour tout $n \ge p$, le terme $u_n$ est donné par :

$u_n = u_p \cdot q^{n-p}$

Dans le cas où le premier terme est $u_0$, la formule devient :

$u_n = u_0 \cdot q^n$

Somme des termes consécutifs

La somme $S$ de $N$ termes consécutifs d'une suite géométrique, du terme $u_p$ au terme $u_k$, est donnée par :

• Si $q=1$, alors $S = N \cdot u_p$.
• Si $q \neq 1$, alors :

$S = u_p \frac{1-q^{N}}{1-q}$

où $N = k - p + 1$ est le nombre de termes. Si la somme commence à $u_0$ et se termine à $u_n$, alors $N = n+1$, et la formule devient :

$S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

3. Monotonie d'une suite

Pour étudier la monotonie d'une suite $(u_n)$, on examine le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.

• Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, la suite est strictement croissante.
• Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, la suite est strictement décroissante.
• Si $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$, la suite est constante.

Pour les suites à termes strictement positifs, on peut également étudier le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ par rapport à 1.

• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est strictement croissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est strictement décroissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$, la suite est constante.

4. Limite d'une suite

Pour les suites géométriques $(u_n = u_0 \cdot q^n)$ :

• Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$. Si $u_0 > 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Si $u_0 < 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
• Si $q = 1$, alors $u_n = u_0$, donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$.
• Si $-1 < q < 1$ (c'est-à-dire $|q|<1$), alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
• Si $q \le -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite. Elle est divergente.

5. Application : Intérêts Composés

Un capital $C_0$ est placé à intérêts composés au taux annuel $t$ (exprimé en décimal, par exemple 4% = 0.04). Le capital $C_n$ après $n$ années forme une suite géométrique.

• Après 1 an : $C_1 = C_0 + C_0 \cdot t = C_0 (1+t)$
• Après 2 ans : $C_2 = C_1 (1+t) = C_0 (1+t)(1+t) = C_0 (1+t)^2$
• Après $n$ ans : $C_n = C_0 (1+t)^n$

La suite $(C_n)$ est une suite géométrique de premier terme $C_0$ et de raison $q = (1+t)$.

Exemple résolu

Soit $(u_{n})$ la suite arithmétique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $r = 3$.

1. Calculer $u_{10}$.
2. Calculer la somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}$.

Soit $(v_{n})$ la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $q = \frac{1}{2}$.

1. Étudier la monotonie de $(v_{n})$.
2. Déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$.

Un capital de 10000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 4%. On note $C_{n}$ le capital après $n$ années, avec $C_{0} = 10000$.

1. Montrer que $(C_{n})$ est une suite géométrique.
2. Donner l'expression de $C_{n}$ en fonction de $n$.
3. Calculer $C_{5}$.

Résolution pas à pas :

Partie 1 : Suite arithmétique

1. Calcul de $u_{10}$ : La formule du terme général d'une suite arithmétique est $u_n = u_0 + nr$. Ici, $u_0 = 5$ et $r = 3$. Pour $n=10$ : $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 5 + 30 = 35$.

2. Calcul de la somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}$ : La somme des termes d'une suite arithmétique est $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$. Le nombre de termes est $n+1 = 10+1 = 11$. Le premier terme est $u_0 = 5$. Le dernier terme est $u_{10} = 35$. $S = 11 \times \frac{5 + 35}{2} = 11 \times \frac{40}{2} = 11 \times 20 = 220$.

Partie 2 : Suite géométrique

1. Étude de la monotonie de $(v_{n})$ : La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 3 > 0$ et de raison $q = \frac{1}{2}$. Puisque $v_0 > 0$ et $0 < q < 1$, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante. Démonstration formelle : Calculons le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{q \cdot v_n}{v_n} = q = \frac{1}{2}$. Puisque $0 < \frac{1}{2} < 1$, et que tous les termes $v_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^n$ sont strictement positifs, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

2. Détermination de la limite de $(v_{n})$ quand $n$ tend vers $+\infty$ : La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$. Puisque $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, la limite de $q^n$ est 0 quand $n \to +\infty$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} (3 \cdot (\frac{1}{2})^n) = 3 \cdot 0 = 0$.

Partie 3 : Application aux intérêts composés

1. Montrer que $(C_{n})$ est une suite géométrique : Le capital $C_n$ après $n$ années est placé au taux annuel de 4%. Après $n+1$ années, le capital $C_{n+1}$ est le capital de l'année précédente $C_n$ augmenté des intérêts de cette année : $C_{n+1} = C_n + C_n \times 0.04 = C_n (1 + 0.04) = 1.04 \cdot C_n$. Puisque $C_{n+1} = 1.04 \cdot C_n$, la suite $(C_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1.04$.

2. Donner l'expression de $C_{n}$ en fonction de $n$ : La suite $(C_n)$ est géométrique de premier terme $C_0 = 10000$ et de raison $q = 1.04$. La formule du terme général est $C_n = C_0 \cdot q^n$. Donc, $C_n = 10000 \cdot (1.04)^n$.

3. Calculer $C_{5}$ : En utilisant l'expression de $C_n$ pour $n=5$ : $C_5 = 10000 \cdot (1.04)^5$. $C_5 \approx 10000 \cdot 1.2166529 \approx 12166.53$ DH.

La méthode

Voici les gestes attendus par le correcteur pour chaque type de question :

1. Identifier le type de suite (arithmétique ou géométrique) et ses paramètres ($u_0/u_p, r/q$) | Lire attentivement l'énoncé et extraire les informations clés.
2. Appliquer la formule appropriée (terme général, somme, monotonie, limite) | Choisir la bonne formule en fonction de la question posée.
3. Effectuer les calculs avec rigueur | Présenter les étapes de calcul de manière claire et vérifier les résultats.
4. Conclure et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice | Répondre précisément à la question posée, en utilisant les unités si nécessaire.

Pièges classiques

3la lah, khoya, matkhallatch bin les formules dyal les suites arithmétiques ou géométriques. Hadchi kaydir des points bzaf. Par exemple, machi $u_n = u_0 + n^r$ pour une suite géométrique, rah $u_n = u_0 \cdot q^n$. Ou la somme dyal arithmétique machi la même dyal géométrique. 7it kolla wa7da 3andha sa méthode dyalha.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur les suites numériques sont généralement directes et visent l'application des définitions et des formules. Elles sont souvent intégrées dans des problèmes concrets (placements financiers, croissance de population, etc.).

Format des questions et barème typique :

1. Calcul d'un terme spécifique d'une suite arithmétique ou géométrique.

   • Geste 1 : Identifier le type de suite et les paramètres ($u_0$, $r$ ou $q$). (0.25 pt)
   • Geste 2 : Appliquer la formule du terme général. (0.5 pt)
   • Geste 3 : Effectuer le calcul. (0.25 pt)
   • Total : 1 point

2. Calcul de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique.

   • Geste 1 : Identifier le type de suite, les paramètres et le nombre de termes. (0.25 pt)
   • Geste 2 : Appliquer la formule de la somme. (0.5 pt)
   • Geste 3 : Effectuer le calcul. (0.25 pt)
   • Total : 1 point

3. Étude de la monotonie d'une suite.

   • Geste 1 : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ si les termes sont positifs). (0.5 pt)
   • Geste 2 : Étudier le signe (ou comparer à 1) de la différence/rapport. (0.5 pt)
   • Geste 3 : Conclure sur la monotonie (croissante, décroissante, constante). (0.25 pt)
   • Total : 1.25 points

4. Détermination de la limite d'une suite (souvent géométrique).

   • Geste 1 : Identifier la raison $q$ de la suite géométrique. (0.25 pt)
   • Geste 2 : Appliquer la règle de la limite de $q^n$ en fonction de $q$. (0.5 pt)
   • Geste 3 : Conclure sur la limite de la suite. (0.25 pt)
   • Total : 1 point

5. Problème d'application (intérêts composés, croissance, etc.).

   • Geste 1 : Modéliser la situation par une suite (identifier $u_0$ et $r$ ou $q$). (0.5 pt)
   • Geste 2 : Appliquer les formules des suites pour répondre à la question. (0.75-1 pt)
   • Geste 3 : Interpréter le résultat dans le contexte du problème. (0.25 pt)
   • Total : 1.5-2 points

Ces points sont indicatifs et peuvent varier légèrement d'une année à l'autre, mais la structure des questions et l'importance de la rigueur dans l'application des méthodes restent constantes.