Probabilités

L'intuition

Imagine que tu joues au "Jeu des 7 boules" à la fête foraine du Moussem de Tan-Tan. Il y a une urne avec des boules de différentes couleurs. Tu dois tirer une boule et si c'est la bonne couleur, tu gagnes un prix. Tu as envie de savoir si tu as une chance de gagner, et combien de fois tu devrais jouer pour espérer rentrer dans tes frais. C'est exactement à ça que servent les probabilités : quantifier le hasard, estimer tes chances, et même prévoir des gains ou des pertes sur le long terme. On ne peut pas prédire l'avenir, mais on peut mesurer la probabilité d'un événement.

Le cours

Vocabulaire de base

• Expérience aléatoire : C'est une expérience dont le résultat dépend du hasard et n'est pas prévisible. Par exemple, lancer un dé, tirer une carte d'un jeu, choisir une personne au hasard.
• Univers ($\Omega$) : C'est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Si tu lances un dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si tu lances une pièce, $\Omega = \{\text{Pile, Face}\}$.
• Événement : C'est un sous-ensemble de l'univers. Par exemple, "obtenir un nombre pair" en lançant un dé est l'événement $A = \{2, 4, 6\}$.
• Événement élémentaire : C'est un événement qui ne contient qu'un seul résultat possible. Par exemple, "obtenir 3" est un événement élémentaire.
• Événement certain : C'est l'univers lui-même. Sa probabilité est 1.
• Événement impossible : C'est l'ensemble vide ($\emptyset$). Sa probabilité est 0.
• Événements incompatibles (ou disjoints) : Deux événements A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide : $A \cap B = \emptyset$. Si tu lances un dé, "obtenir un nombre pair" et "obtenir 1" sont incompatibles.
• Événement contraire (ou complémentaire) : L'événement contraire de A, noté $\bar{A}$ (ou $A^c$), est l'ensemble de tous les résultats de $\Omega$ qui ne sont pas dans A. Si A est "obtenir un nombre pair", alors $\bar{A}$ est "obtenir un nombre impair".

Calcul des probabilités

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1.

Cas d'équiprobabilité

C'est le cas le plus courant au Bac. Il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même chance de se produire. C'est le cas avec un dé équilibré, une pièce équilibrée, ou des boules "indiscernables au toucher".

Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est donnée par :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à A}}{\text{Nombre total de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$

Le dénombrement est donc crucial ici. Tu dois savoir compter les cas possibles et les cas favorables.

Propriétés des probabilités

Soient A et B deux événements de l'univers $\Omega$.

1. Probabilité de l'événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

   C'est très utile quand il est plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire. Par exemple, "obtenir au moins un pile" est l'événement contraire de "n'obtenir aucun pile".

2. Probabilité de l'union de deux événements : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

   Si A et B sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cap B) = 0$, et la formule devient $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

   Si $P(A \cap B) = 0$, cela signifie que les événements A et B sont incompatibles. Dans ce cas, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. La formule générale tient compte du fait que l'intersection est comptée deux fois (une fois dans $P(A)$ et une fois dans $P(B)$), il faut donc la soustraire une fois.

Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle $P(A \text{ sachant } B)$ (notée $P_B(A)$ ou $P(A|B)$) est la probabilité que l'événement A se réalise, sachant que l'événement B est déjà réalisé. C'est comme si l'univers des possibles était réduit à B.

La formule est :

$P(A \text{ sachant } B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

avec $P(B) \neq 0$.

De cette formule, on peut déduire la formule de la probabilité de l'intersection :

$P(A \cap B) = P(A \text{ sachant } B) \times P(B)$

Et symétriquement, si $P(A) \neq 0$:

$P(A \cap B) = P(B \text{ sachant } A) \times P(A)$

Indépendance d'événements

Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Si A et B sont indépendants, alors :

• $P(A \text{ sachant } B) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$)
• $P(B \text{ sachant } A) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$)

Attention : Ne confonds pas "indépendants" et "incompatibles" !

• Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$.
• Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Si A et B sont incompatibles et non impossibles, ils ne peuvent pas être indépendants (sauf si l'un des événements a une probabilité nulle).

Arbre pondéré et formule des probabilités totales

L'arbre pondéré est un outil visuel très puissant pour représenter des expériences aléatoires successives ou des probabilités conditionnelles.

• Les branches du premier niveau représentent les événements du premier choix (par exemple, $B$ et $\bar{B}$). Les probabilités sur ces branches sont des probabilités simples ($P(B)$ et $P(\bar{B})$).
• Les branches du deuxième niveau représentent les événements du deuxième choix, conditionnés par le premier choix. Les probabilités sur ces branches sont des probabilités conditionnelles ($P(A \text{ sachant } B)$, $P(\bar{A} \text{ sachant } B)$, etc.).
• La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud doit être égale à 1.
• Pour obtenir la probabilité d'un chemin (par exemple $A \cap B$), on multiplie les probabilités le long du chemin : $P(A \cap B) = P(B) \times P(A \text{ sachant } B)$.

La formule des probabilités totales est utilisée pour calculer la probabilité d'un événement A qui peut se produire selon plusieurs "scénarios" (ou "chemins" dans l'arbre). Si $B_1, B_2, \dots, B_n$ forment une partition de l'univers (c'est-à-dire qu'ils sont deux à deux incompatibles et que leur union est l'univers entier), alors pour tout événement A :

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \dots + P(A \cap B_n)$

En utilisant la formule des probabilités conditionnelles, cela devient :

$P(A) = P(A \text{ sachant } B_1) \times P(B_1) + P(A \text{ sachant } B_2) \times P(B_2) + \dots + P(A \text{ sachant } B_n) \times P(B_n)$

Le cas le plus courant est avec deux événements $B$ et $\bar{B}$ qui forment une partition :

$P(A) = P(A \text{ sachant } B) \times P(B) + P(A \text{ sachant } \bar{B}) \times P(\bar{B})$

Variable aléatoire

Une variable aléatoire (souvent notée X) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Par exemple, si tu lances deux dés, X pourrait être la somme des deux dés. Si tu tires des boules, X pourrait être le nombre de boules rouges tirées.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est la liste de toutes les valeurs $x_i$ que X peut prendre, associées à leurs probabilités $p_i = P(X=x_i)$. La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1 : $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

Espérance mathématique

L'espérance mathématique $E(X)$ d'une variable aléatoire X est la moyenne pondérée des valeurs que peut prendre X par leurs probabilités. C'est une mesure de la "valeur moyenne" attendue de X si l'expérience est répétée un grand nombre de fois.

La formule est :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Interprétation de l'espérance (gain/coût moyen) : Si X représente un gain ou un coût, $E(X)$ représente le gain ou le coût moyen que l'on peut espérer par partie si l'expérience est répétée un grand nombre de fois.

• Si $E(X) > 0$, le jeu est favorable au joueur (gain moyen).
• Si $E(X) < 0$, le jeu est défavorable au joueur (perte moyenne).
• Si $E(X) = 0$, le jeu est équitable.

Si $E(X)=0$, le jeu est équitable. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd d'argent. Par exemple, si $x_1=1$ (gain de 1 DH) avec $p_1=0.5$ et $x_2=-1$ (perte de 1 DH) avec $p_2=0.5$, alors $E(X) = 1 \times 0.5 + (-1) \times 0.5 = 0$.

Exemple résolu

Reprenons un exercice d'annale :

Exercice : Une urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V) indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
2. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
3. Calculer la probabilité de tirer une boule de chaque couleur.
4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.

1. 1

   1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.

2. 2

   • Premier tirage :

3. 3

   • Probabilité de tirer une boule rouge (R1) : $P(R1) = \frac{5}{8}$

4. 4

   • Probabilité de tirer une boule verte (V1) : $P(V1) = \frac{3}{8}$

5. 5

   • Deuxième tirage (sans remise) :

6. 6

   • Si R1 est tirée : Il reste 4 R et 3 V (total 7 boules).

7. 7

   • $P(R2 \text{ sachant } R1) = \frac{4}{7}$

8. 8

   • $P(V2 \text{ sachant } R1) = \frac{3}{7}$

9. 9

   • Si V1 est tirée : Il reste 5 R et 2 V (total 7 boules).

10. 10

    • $P(R2 \text{ sachant } V1) = \frac{5}{7}$

11. 11

    • $P(V2 \text{ sachant } V1) = \frac{2}{7}$

12. 12

    L'arbre est le suivant :

13. 13

    (R1) --(5/8)--> (R2) --(4/7)--> (R1R2)

14. 14

    (R1) --(5/8)--> (V2) --(3/7)--> (R1V2)

15. 15

    (V1) --(3/8)--> (R2) --(5/7)--> (V1R2)

16. 16

    (V1) --(3/8)--> (V2) --(2/7)--> (V1V2)

17. 17

    2. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.

18. 18

    C'est la probabilité de l'événement $R1 \cap R2$. En suivant le chemin R1 puis R2 sur l'arbre :

19. 19

    $P(R1 \cap R2) = P(R1) \times P(R2 \text{ sachant } R1) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

20. 20

    3. Calculer la probabilité de tirer une boule de chaque couleur.

21. 21

    C'est l'événement $(R1 \cap V2) \cup (V1 \cap R2)$. Ces deux événements sont incompatibles.

22. 22

    $P(R1 \cap V2) = P(R1) \times P(V2 \text{ sachant } R1) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$

23. 23

    $P(V1 \cap R2) = P(V1) \times P(R2 \text{ sachant } V1) = \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

24. 24

    $P(\text{une de chaque couleur}) = P(R1 \cap V2) + P(V1 \cap R2) = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

25. 25

    4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.

26. 26

    • Valeurs possibles de X : X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2 (nombre de boules vertes).

27. 27

    • Calcul des probabilités :

28. 28

    • $P(X=0)$ : Tirer 0 boule verte signifie tirer 2 boules rouges ($R1 \cap R2$).

29. 29

    $P(X=0) = P(R1 \cap R2) = \frac{5}{14}$ (calculé en 2)

30. 30

    • $P(X=1)$ : Tirer 1 boule verte signifie tirer une de chaque couleur ($(R1 \cap V2) \cup (V1 \cap R2)$).

31. 31

    $P(X=1) = \frac{15}{28}$ (calculé en 3)

32. 32

    • $P(X=2)$ : Tirer 2 boules vertes signifie tirer $V1 \cap V2$.

33. 33

    $P(V1 \cap V2) = P(V1) \times P(V2 \text{ sachant } V1) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$

34. 34

    $P(X=2) = \frac{3}{28}$

35. 35

    • Loi de probabilité de X :

36. 36

    Vérification : $\frac{5}{14} + \frac{15}{28} + \frac{3}{28} = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} + \frac{3}{28} = \frac{28}{28} = 1$. La somme est bien 1.

37. 37

    • Calcul de l'espérance mathématique :

38. 38

    $E(X) = \sum x_i p_i = 0 \times \frac{5}{14} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28}$

39. 39

    $E(X) = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

40. 40

    L'espérance est 0.75. En moyenne, on s'attend à tirer 0.75 boule verte par tirage de deux boules.

Étape suivante

La méthode

Quand tu as un exercice de probabilités, suis ces étapes :

1. Identifier l'expérience aléatoire et l'univers $\Omega$ : Quels sont tous les résultats possibles ?
2. Déterminer s'il y a équiprobabilité : Si oui, tu utiliseras la formule $\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
3. Modéliser la situation :
   • Si c'est un tirage simultané ou successif sans remise, pense aux combinaisons ou aux arrangements/permutations pour le dénombrement.
   • Si c'est une succession d'événements, l'arbre pondéré est souvent la meilleure approche. Il te permet de visualiser les chemins et de calculer les probabilités d'intersection.
4. Définir clairement les événements : Nomme-les avec des lettres (A, B, R1, V2, etc.).
5. Calculer les probabilités demandées :
   • Utilise les formules de base ($P(\bar{A})$, $P(A \cup B)$).
   • Pour les probabilités conditionnelles, applique $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
   • Pour les probabilités d'intersection, utilise $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$ ou la multiplication le long des branches de l'arbre.
   • Pour la probabilité d'un événement qui peut se produire de plusieurs façons, utilise la formule des probabilités totales (somme des probabilités des chemins menant à cet événement).
6. Pour les variables aléatoires :
   • Lister les valeurs possibles de la variable X.
   • Calculer la probabilité pour chaque valeur $P(X=x_i)$. Tu devras souvent utiliser les résultats des questions précédentes.
   • Présenter la loi de probabilité sous forme de tableau. Vérifie que la somme des probabilités est 1.
   • Calculer l'espérance $E(X) = \sum x_i p_i$.

Pièges classiques

• Confondre "indépendants" et "incompatibles" :
  • Incompatibles : $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$. Ils ne peuvent pas se produire en même temps.
  • Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. La réalisation de l'un n'affecte pas l'autre.
  • Exemple : Si tu lances un dé, "obtenir un 6" et "obtenir un nombre pair" ne sont PAS incompatibles (le 6 est pair). Ils ne sont pas indépendants non plus. "Obtenir un 6" et "obtenir un nombre impair" sont incompatibles.
• Erreur de dénombrement : C'est la source la plus fréquente d'erreurs.
  • Tirage avec remise : Les tirages sont indépendants. Utilise les puissances ($n^k$).
  • Tirage sans remise : Les tirages sont dépendants. Utilise les arrangements ou combinaisons.
  • Ordre important (arrangement) ou ordre non important (combinaison) ? Lis bien l'énoncé. Si on dit "tirer 2 boules" sans préciser l'ordre, c'est une combinaison. Si on dit "tirer successivement", l'ordre peut être important (ou tu peux le gérer avec l'arbre).
• Oublier de réduire l'univers pour les probabilités conditionnelles : Quand tu calcules $P(A \text{ sachant } B)$, l'univers n'est plus $\Omega$ mais $B$.
• Ne pas vérifier la somme des probabilités : Pour une loi de probabilité ou les branches d'un nœud d'un arbre, la somme doit toujours être 1. C'est une vérification rapide qui peut te sauver des points.
• Interpréter l'espérance comme un résultat certain : L'espérance est une moyenne sur le long terme. Sur une seule partie, tu ne vas pas gagner $E(X)$ DH.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des probabilités représente environ 20% de la note finale. Les questions sont généralement directes et suivent les méthodes enseignées.

Formats de questions réels et barème typique :

1. Calcul de probabilités simples ou d'événements composés (union, intersection, contraire) :
   • Exemple : "Calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$, $P(A \cup B)$."
   • Barème : 0.5 à 1 point par probabilité. Souvent, il faut d'abord bien dénombrer.
2. Probabilités conditionnelles et indépendance :
   • Exemple : "Calculer $P(A \text{ sachant } B)$. Les événements A et B sont-ils indépendants ?"
   • Barème : 0.75 à 1.5 points. La justification de l'indépendance est cruciale ($P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ ?).
3. Utilisation de l'arbre pondéré et de la formule des probabilités totales :
   • Exemple : "Construire un arbre pondéré. Calculer la probabilité d'un événement E (en utilisant la formule des probabilités totales)."
   • Barème : 1 point pour l'arbre (bien étiqueté), 1 à 1.5 points pour le calcul de probabilité.
4. Variable aléatoire, loi de probabilité et espérance :
   • Exemple : "Soit X la variable aléatoire égale au nombre de... Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer $E(X)$."
   • Barème : 1.5 à 2 points. 0.75 pour la loi (tableau correct), 0.75 pour l'espérance.

Les exercices sont souvent contextualisés (urnes, dés, entreprises, sondages). L'important est de traduire le problème en termes mathématiques précis. Entraîne-toi avec les annales, les questions se ressemblent beaucoup d'une année à l'autre.